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2014届高考立体几何解答题训练



2014 届立体几何大题训练
1.如图,已知△ ABC 是正三角形,EA,CD 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a,DC=a,F 是 BE 的 中点. (1)FD∥ 平面 ABC;(2)AF⊥ 平面 EDB.
E

D F A C

B

2.已知线段 PA⊥ 矩形 ABCD 所在平面,M、N

分别是 AB、PC 的中点。 (1)求证:MN//平面 PAD; (2)当∠ PDA=45° 时,求证:MN⊥ 平面 PCD;

3.如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求证: (1)直线 EF// 面 ACD; (2)平面 EFC ? 面 BCD. B F

E

D C 4.在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底 面 ABC (1)若 D 是 BC 的中点,求证 AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1, 求证 截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)AM=MA1 是截面 MBC1⊥平面 BB1C1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由
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A

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C

D A

B

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E M

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]

C1 A1

B1

5. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A,D1C,AD 的中点. 求证:(1)MN//平面 ABCD; (2)MN⊥平面 B1BG.
A _
1 _

D _

1 _

B _

1 _

M _

C _

1 _

N _ A _ G _ D _

6. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. A1

B _

C _

D1 B1

C1

E A

D F B

C

7、如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯 形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点 D1 (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥面 FCC1; A1 (2)证明:平面 D1AC⊥面 BB1C1C。 E1 E A F D

C1 B1 C B

8.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= 2a ,点 E, F 分别在 PD,BC 上,且 PE:ED=BF:FC。 (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求证:EF//平面 PAB。

9.如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E 分别是 BC、AC 的中点,F 为 PC 上的一点,且 PF:FC=3:1. (1)求证:PA⊥BC; (2)试在 PC 上确定一点 G,使平面 ABG∥平面 DEF; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积. P

A E 10、直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? BB1 ? 1 , AB1 ? 3 . (1)求证:平面 AB1C ? 平面 B1CB ; (2)求三棱锥 A1 ? AB1C 的体积. A
1

F D C

B

C
1

B
1

C A B

11、如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,D、E 分别为 CC1、A1B1 的中点. (1)求证 C1E∥平面 A1BD; (2)求证 AB1⊥平面 A1BD;

A C B

A1 E D B1 C1

12.如图, 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB=2, AA1=1, D 是 BC 的中点, 点 P 在平面 BCC1B1 内, PB1=PC1= 2 . (I)求证:PA1⊥BC;(II)求证:PB1//平面 AC1D;

13.如图, 平行四边形 ABCD 中,?DAB ? 60? ,AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。

14. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧棱 PA ? PD ,底面 ABCD 是直角梯形,其中 BC // AD , ?BAD ? 900 , AD ? 3BC , O 是 AD 上一点. (Ⅰ)若 CD // 平面PBO ,试指出点 O 的位置; (Ⅱ)求证: 平面PAB ? 平面PCD .

P

A

O C
第 14 题

D

B

15 、如图所示:四棱锥 P-ABCD 底面一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD, E 为 PC 的中点. (1)证明:EB∥平面 PAD; (2)若 PA=AD,证明:BE⊥平面 PDC;

P
Q

E
D

C B

A

16.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。 (I)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (II)求证:AC1//平面 CDB1。

17. 如图, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 ABCD⊥平面 ABE, BE=BC, F 为 CE 上的一点, 且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求证:AE∥平面 BFD. F A E 18.如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB1 , AC1 ? 平面 A1 BD, D 为 AC 的中点. (1)求证: B1C // 平面 A 1BD ; (2)求证: B1C1 ? 平面 ABB 1A 1; A1
(第 17 题)

D

C

B

B1

C1

(3)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD ? 平面 BDE ,并说明理 由.

B D A 20. 如图,E 、F 分别为直角三角形 ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 的中点, 沿 EF 将 ?AEF 折起到 ?A ' EF 的位置,连结 A ' B 、 A ' C , P 为 A ' C 的中点. (1)求证: EP // 平面 A ' FB ; (2)求证:平面 A ' EC ? 平面 A ' BC ;

C

21.如图,四棱锥 P—ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 E、O 分别为 PC、BD 的中点. 求证:(1)EO∥平面 PAD; (2)平面 PDC⊥平面 PAD.
P

E

D O

C

22.在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的 中点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; P (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (Ⅲ)求证 CE∥平面 PAB.
E F A B C D

A

B

24、已知:等边 ?ABC 的边长为 2 ,D, E 分别是 AB, AC 的中点,沿 DE 将 ?ADE 折起,使 AD ? DB ,连 AB, AC ,得如图所示的四棱锥 A ? BCED (Ⅰ)求证: AC ? 平面 ABD (Ⅱ)求四棱锥 A ? BCED 的体积 D

A

E

B

C

E F 分别是 A1B 、AC 26. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A 点 D 在 B1C1 上,A1D ? B1C 1B 1C1 中, 、 1 的中点, 。 ? 平面 BB1C1C . 求证:(1)EF∥平面 ABC;w.(2)平面 A 1FD

DD1

27、如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为、 DB 的中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ;(2)求证: EF ? B1C ;(3)求 三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1 E D1 B1 C1

D F A B

C

28.正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面边长与侧棱长都是 2, D, E 分别 是 BB1 , CC1 的中点. (Ⅰ)求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的全面积; (Ⅱ)求证: BE ∥平面 ADC1 ; (Ⅲ)求证:平面 ADC1 ⊥平面 ACC1 A 1.

C1

A1 E

B1

D C A

B
0

?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90 , 29. 已知直三棱柱 ABC ? A 且A B ? A A 1B 1C1 中,
分别为 B1 A, C1C, BC 的中点, (1)求证: DE //平面 ABC ; (2)求证: B1F ? 平面 AEF ; (3)求三棱锥 E-AB 1 F 的体积。

1

D, E, F ? 2,

A1 B1 D

C1

E

A B

F

C

30.已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=4,E 为 CD 的中点,沿 AE 将 AED 折起,使 DB=2 3 ,O、H 分别为 AE、 AB 的中点. (1)求证:直线 OH//面 BDE; (2)求证:面 ADE ? 面 ABCE. D E C E O A B A H B C

D

31.(本小题满分 14 分)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,底面 ABCD 为直角梯形,AB∥ CD,AB ? AD, CD=DD1 =4,AD=AB=2,E、F 分别为 BC、CD1 中点. (I)求证:EF∥ 平面 BB1D1D; (Ⅱ )求证:BC ? 平面 BB1D1D; D1 C1 (Ⅲ)求四棱锥 F-BB1D1D 的体积. A1 D C E A B F

B1

第 31 题图 32、如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE//AB,?ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点。 (I)求证: AF // 平面 BCE ; (II)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;

[来源:学.科.网]

.如图已知平面 ? , ? ,且 ?

? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C , D 是垂足.

(Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 的位置关系,并证明你的结论.

?
C
B

P

?
D
A

34. 如图, 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长和侧棱长均为 1,?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60 , O1 为 A1C1 中 点. (I)求证: AO1 // 平面C1 BD. ; D1 C1 (II)求证: BD ? A1C ; O1 (III)求四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的体积. A1 B1
ks5u

D A 5. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? AA1 , M 为 CC1 的中点. (Ⅰ)求证: BM ? AB1 ; (Ⅱ)试在棱 AC 上确定一点 N ,使得 AB1 // 平面 BMN . B

C

C

M

C1

A

A1
1

B
36. 正三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,点 D 是 BC 的中点, BC ? 2BB1 .设
B1 D BC1 ? F .

B1

(Ⅰ)求证: A1C ∥平面 AB1 D ;(Ⅱ)求证: BC1 ⊥平面 AB1 D .

答案与评分标准
1.证明(1)取 AB 的中点 M,连 FM,MC, ∵ F、M 分别是 BE、BA 的中点, ∴ FM∥ EA,FM=

1 EA. 2

∵EA、CD 都垂直于平面 ABC, ∴CD∥ EA,∴CD∥ FM. ………………3 分 又 DC=a,∴ FM=DC. ∴ 四边形 FMCD 是平行四边形, ∴ FD∥ MC.即 FD∥ 平面 ABC.……………7 分 (2)∵M 是 AB 的中点,△ ABC 是正三角形, ∴CM⊥ AB,又 CM⊥ AE, ∴CM⊥ 面 EAB,CM⊥ AF,FD⊥ AF, ………………………………11 分 又 F 是 BE 的中点,EA=AB,∴AF⊥ EB. 即由 AF⊥FD,AF⊥ EB,FD∩EB=F, 可得 AF⊥ 平面 EDB. ……………………………………………………14 分 2. (1)取 PD 的中点 E,连接 AE、EN ∵ EN 平行且等于

1 1 DC,而 DC 平行且等于 AM 2 2

∴ AMNE 为平行四边形 MN∥ AE ∴ MN∥ 平面 PAD (2)∵ PA⊥ 平面 ABCD∴ CD⊥ PA 又 ∵ ABCD 为矩形 ∴ CD⊥ AD, ∴ CD⊥ AE,AE∥ MN,MN⊥ CD ∵ AD⊥ DC,PD⊥ DC ∴ ∠ ADP=45° , 又 E 是斜边的 PD 的中点∴ AE⊥ PD, ∴ MN⊥ PD∴ MN⊥ CD,∴ MH⊥ 平面 PCD. 3、证明:(1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD 4、(1)证明 ∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C,∴AD⊥侧面 BB1C1C ∴AD⊥CC1 (2)证明 延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1N ∵AM=MA1,∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1 ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C (3)解 结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性 过 M 作 ME⊥BC1 于 E,∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C ∴ME⊥侧面 BB1C1C,又∵AD⊥侧面 BB1C1C
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∴ME∥AD,∴M、E、D、A 共面 ∵AM∥侧面 BB1C1C,∴AM∥DE ∵CC1⊥AM,∴DE∥CC1 ∵D 是 BC 的中点,∴E 是 BC1 的中点 ∴AM=DE= CC1 ?

1 2

1 AA1,∴AM=MA1 2

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5. 证明:(1)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得 1 NE∥D1D 且 NE= D1D, ………………………………2 分 2 1 又 AM∥D1D 且 AM= D1D………………………………4 分 2 所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形 所以 MN∥AE, ……………………… ………6 分 ? 又 AE 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD ……8 分 (2)由 AG=DE , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB 可得 ?EDA 与 ?GAB 全等 ……………………………10 分 所以 ?ABG ? ?DAE , ……………………………………………………………11 分 又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF ,所以 ?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG , ………………………………………………12 分 又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1BG , ……………………………………………………13 分 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG ………………………………………… …15 分 6.(1)证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又 E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . ? EF // B1D1 . EF∥平面 CB1D1. 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,? AA1⊥B1D1. 又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,? (2) 又 又

在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,? B1D1⊥平面 CAA1C1. B1D1? ? 平面 CB1D1,? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

7、证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, 所以 CDA1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, E1 所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , A 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形, A1 D1 C1 B1 D E F B C E F B A1 D1 F1 D C C1 B1

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?

E1

所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, A

所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 8.(1)证明:∵底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴AB=AD=AC=a.在△PAB 中, ∵PA2+AB2=2a2=PB2, ∴PA⊥AB,同时 PA⊥AD,又 AB ? AD=A, ∴PA⊥平面 ABCD.……………………4 分 (2)作 EG//PA 交 AD 于 G,连接 GF. ………………6 分 则

AG PE BF ? ? , GD ED FC

∴GF//AB.……………………8 分 又 PA ? AB=A,EG ? GF=G, ∴平面 EFG//平面 PAB,……………………9 分 又 EF ? 平面 EFG, ∴EF//平面 PAB.……………………10 分 9.(1) 在△PAC 中,∵PA=3,AC=4,PC=5,
2 2 2 ∴ PA ? AC ? PC ,∴ PA ? AC ;又 AB=4,PB=5,∴在△PAB 中,

同理可得 PA ? AB ∵ AC ? AB ? A ,∴ PA ? 平面ABC ∵ BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC. (2) 如图所示取 PC 的中点 G, 连结 AG,BG,∵PF:FC=3:1,∴F 为 GC 的中点 又 D、E 分别为 BC、AC 的中点, ∴AG∥EF,BG∥FD,又 AG∩GB=G,EF∩FD=F ∴面 ABG∥面 DEF 即 PC 上的中点 G 为所求的点。 (3) V=

5 39 4

10、(1)直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 则 BB1⊥AB,BB1⊥BC, 又由于 AC=BC=BB1=1,AB1= 3 ,则 AB= 2 , 则由 AC +BC =AB 可知,AC⊥BC, 又由上 BB1⊥底面 ABC 可知 BB1⊥AC,则 AC⊥平面 B1CB, 所以有平面 AB1C⊥平面 B1CB; ----------------------------------- 8 分 (2)三棱锥 A1—AB1C 的体积 V A1 ? AB1C ? VB1 ? A1 AC ?
2 2 2

1 1 1 ? ? 1 ? .----------14 分 3 2 6

// 1 A A.……2 分 11、(1)设 AB1 与 A1B 相交于 F,连 EF,DF.则 EF 为△ AA1B1 的中位线,∴ EF ? 1 2

// 1 A A,∴ // C D,则四边形 EFDC 为平行四边形,∴ ∵ C1D ? EF ? DF∥ C1E. 1 1 1 2

……4 分

∵ C1E ? 平面 A1BD,DF ? 平面 A1BD,∴ C 1E ∥ 平面 A1BD. ……6 分 (2)取 BC 的中点 H,连结 AH,B1H, 由正三棱柱 ABC-A1B1C1,知 AH⊥ BC, ……8 分 ∵ B1B⊥ 平面 ABC,∴ B1B⊥ AH.∵ B1B∩BC=B,∴ AH⊥ 平面 B1BCC1.∴ AH⊥ BD. ……10 分 1 在正方形 B1BCC1 中,∵ tan∠ BB1H=tan∠ CBD= ,∴ ∠ BB1H=∠ CBD.则 B1H ⊥ BD.……12 分 2 ∵ AH⊥ ∩B1H=H,∴ BD⊥ 平面 AHB1.∴ BD⊥ AB1. 在正方形 A1ABB1 中,∵ A1B⊥ AB1.而 A1B∩BD=B,∴ AB1⊥ 平面 A1BD. 12.解:(I)证明:取 B1C1 的中点 Q,连结 A1Q,PQ, ∴△PB1C1 和△A1B1C1 是等腰三角形, ∴B1C1⊥A1Q,B1C1⊥PQ, ∴B1C1⊥平面 AP1Q, ∴B1C1⊥PA1, ∵BC∥B1C1,∴BC⊥PA1. ……14 分

…………2 分 …………4 分 …………6 分 …………7 分

(II)连结 BQ,在△PB1C1 中,PB1=PC1= 2 ,B1C1=2,Q 为中点, ∴PQ=1,∴BB1=PQ,…………9 分 ∴BB1∥PQ,∴四边形 BB1PQ 为平行四边形, ∴PB1∥BQ. …………11 分 ∴BQ∥DC1, ∴PB1∥DC1,…………12 分 又∵PB1 ? 面 AC1D, ∴PB1∥平面 AC1D. …………14 分 13.证:(I)证明:在 ?ABD 中,

AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60?

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD

平面 EBD

? AB ? 平面 EBD DF ? 平面 EBD,? AB ? DE
(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD, 从而 DE ? D 在 Rt ?DBE 中,

DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE ?


1 DB ? DE ? 2 3 2

AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

BE ? BC ? AD ? 4,? S ?ABE ?

1 AB ? BE ? 4 2

DE ? BD, 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? ,平面 ABD
而 AD ? 平面 ABD,? ED ? AD,? S ?ADE ?

1 AD ? DE ? 4 2

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3

14. (Ⅰ)解:因为 CD // 平面PBO , CD ? 平面ABCD ,且 平面ABCD 平面PBO ? BO , 所以 BO // CD ……………………………………………………………………………………………(4 分) 又 BC // AD ,所以四边形 BCDO 为平行四边形,则 BC ? DO ……………………………………(6 分) 而 AD ? 3BC ,故点 O 的位置满足 AO ? 2OD ………………………………………………………(8 分) (Ⅱ)证: 因为侧面 PAD ? 底面 ABCD , AB ? 底面ABCD ,且 AB ? 交线AD , 所以 AB ? 平面PAD ,则 AB ? PD …………………………………………………………………(10 分) 又 PA ? PD ,且 PA ? 面PAB, AB ? 面PAB, AB

PA ? A ,所以 PD ? 平面PAB …………(14 分)

而 PD ? 平面PCD ,所以 平面PAB ? 平面PCD …………………………………………………(16 分) 15、(1)取 PD 中点 Q,连 EQ、AQ,则∵QE∥CD,CD∥AB,∴QE∥AB, 又 QE ?

1 CD ? AB 2

?ABEQ 是平行四边形 ,? BE ∥AQ

又 AQ ? 平面PAD

? BE ∥平面 PAD
∴AQ⊥CD 若 PA=AD,∴Q 为 PD 中点,

(2)PA⊥底面 ABCD ∴CD⊥PA,又 CD⊥AD∴CD⊥平面 PAD ∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面 PCD∵BE∥AQ,∴BE⊥平面 PCD

16.证明:(I)证明:∵ABC—A1B1C1 是三直棱柱, ∴平面 ABC⊥平面 A1ABB1,∵AC=BC,点 D 是 AB 的中点, ∴CD⊥AB,平面 ABC∩平面 A1ABB1=AB,∴CD⊥平面 A1ABB1。 (II)证明:连结 BC1,设 BC1 与 B1C 的交点为 E,连结 DE。 ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE//AC1。 ∵DE ? 平面 CDB1,AC ? 平面 CDB1, ∴AC1//平面 CDB1。 17.(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABE,平面 ABCD∩平面 ABE=AB,AD⊥AB, ∴AD⊥平面 ABE,AD⊥AE. ∵AD∥BC,则 BC⊥AE. 又 BF⊥平面 ACE,则 BF⊥AE. F ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面 BCE,∴AE⊥BE. (2)设 AC∩BD=G,连接 FG,易知 G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE. A E B D G C

而 BC=BE,∴F 是 EC 中点. …………………10 分 在△ACE 中,FG∥AE, ∵AE ? 平面 BFD,FG ? 平面 BFD, ∴ AE∥平面 BFD. ………………………14 分

18、解:(1)证明:连接 AB1 与 A 1B 相交于 M ,则 M 为 A 1B 的中点,连结 MD ,又 D 为 AC 的中点, ∴ B1C // MD ,又 B1C ? 平面 A 1BD ,∴ B 1BD .…………4 分 1C // 平面 A (2)∵ AB ? B1B ,∴四边形 ABB 1A 1 为正方形,∴ A 1 BD ,∴ AC1 ? A 1 B ? AB 1 ,又∵ AC1 ? 面 A 1B , ∴ A1B ? 面 AB 1C1 ,∴ A 1 B ? B1C1 , 又在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 BB1 ? B1C1 ,∴ B1C1 ? 平面 ABB 1 A .………………8 分 (3)当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1 BD ? 平面 BDE ,

? D 、 E 分别为 AC 、 C1C 的中点,∴ DE // AC1 ,? AC1 平面 A1BD ,
∴ DE ? 平面 A 1BD ,又 DE ? 平面 BDE ,∴平面 A 1 BD ? 平面 BDE .…………14 分

20.(1)证明: E、P 分别为 AC、A′C 的中点, ? EP∥A′A,又 A′A ? 平面 AA′B,EP ? 平面 AA′B ∴即 EP∥平面 A′FB …………………………………………7 分 (2) 证明:∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC ∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面 A′EC BC ? 平面 A′BC ∴平面 A′BC⊥平面 A′EC …………………………………………14 分 21.(1)证法一:连接 AC. 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AC 过点 O,且 O 为 AC 的中点. 又因为点 E 为 PC 的中点,所以 EO//PA.…………………………………………………………4 分 因为 PA? 平面 PAD,EO? / 平面 PAD,所以 EO∥面 PAD.……………………………………7 分 证法二:取 DC 中点 F,连接 EF、OF. 因为点 E、O 分别为 PC 和 BD 的中点,所以 EF//PD,OF//BC. 在矩形 ABCD 中,AD//BC,所以 OF//AD. 因为 OF? / 平面 PAD,AD? 平面 PAD,所以 OF//平面 PAD. 同理,EF//平面 PAD. 因为 OF∩EF=F,OF、EF? 平面 EOF, 所以平面 EOF//平面 PAD. …………………………………………………………………………4 分 因为 EO? 平面 OEF,所以 EO∥平面 PAD.……………………………………………………7 分 证法三:分别取 PD、AD 中点 M、N,连接 EM、ON、MN. ∥1CD,ON ∥1AB. 因为点 E、O 分别为 PC 和 BD 的中点,所以 EM = =2 2

∥CD,所以 EM ∥ON. 在矩形 ABCD 中,AB = = 所以四边形 EMNO 是平行四边形.所以 EO//MN.………………………………………………4 分 因为 MN? 平面 PAD,EO? / 平面 PAD,所以 EO∥面 PAD. …………………………………7 分 (2)证法一:因为四边形 ABCD 为矩形,所以 CD⊥AD.…………………………………………9 分 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD? 平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD.………………………………………………………………………………12 分 又因为 CD? 平面 PDC, 所以平面 PDC⊥平面 PAD. ………………………………………………………………………14 分 证法二:在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PF⊥平面 ABCD. 因为 CD? 平面 ABCD,所以 PF⊥CD. ………………………………………………………9 分 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 CD⊥AD.……………………………………………………11 分 因为 PF∩AD=F,所以 CD⊥平面 PAD.………………………………………………………12 分 又因为 CD? 平面 PDC, 所以平面 PDC⊥平面 PAD.………………………………………………………………………14 分 22. 解:(Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60° ,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° ,
P

∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=

1 1 1 1 5 AB ? BC ? AC ? CD ? ?1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3. 2 2 2 2 2
F A B C

E

1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3
(Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ……………… 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ……… 9 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.…… 10 分 (Ⅲ)证法一: 取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA. ∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. ……… 12 分 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. ……… 14 分 ∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC, ∴EC∥平面 PAB. ……… 15 分

M

D

P

E F A B C D

N

23. 24、证明 :(Ⅰ)连 DC ,在等边 ?ABC 中有 BD ? CD ,而 BD ? AD , AD ? DC ? D

? BD ? 面ADC, 又AC ? 面ADC

? BD ? AC ----3 分

在 ?ADB 中, AD ? DB ? 1, ?ADB ? 90? ,则 AB ? 2 ,由对称性知, AC ? 2 在 ?ABC 中, AB ? 2,AC ? 2,BC ? 2,则 AB ? AC 又 BD ? AB ? B ,? AC ? 面ABD ----7 分 (Ⅱ)在梯形 BCED 中,易知 S ?CDE : S ?BCD ? 1: 2 A

3 ?V A? BCD ? 2V A? DCE ----10?VA? BCED ? VA? BCD 2 B 1 1 1 1 2 又 V A? BCD ? VC ? ADB ? ? ? AD ? DB ? AC ? ? ? 2 ? 3 2 3 2 6 3 2 2 ?V A? BCED ? ? ? -------14 分 2 6 4
25.(1)连结 BD 交 AC 于 O 点,连结 EO ,

D

E C

因为 O 为 BD 中点, E 为 PD 中点,所以 EO // PB , …………………2 分
EO ? 平面AEC , PB ? 平面AEC ,所以 PB // 平面AEC ,………………6 分

(2)因为 PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD ,所以 PA ? CD , 又因为 AD ? CD ,且 AD
PA ? A ,所以 CD ? 平面PAD .…………8 分

因为 AE ? 平面PAD ,所以 CD ? AE .………………………………………………………………10 分 因为 PA ? AD, E为PD中点 ,所以 AE ? PD . 因为 CD
PD ? D ,所以 AE ? 平面PDC .……………………………………………………………12 分

又因为 AE ? 平面PAD ,所以 平面PDC ? 平面AEC .………………………………………………14 分 26.

27、证明:(1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(2)

D1 A1 E B1

C1

B1C ? AB ? ? B1C ? BC1 ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? AB BC1 ? B ?
B1C ? 平面ABC1D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1D1 ?
A

D F B

C

B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ?
(3)

CF ? 平面BDD1B1 ?CF ? 平面EFB1
EF ?


C F? B F ? 2

1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
=

1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2

28.解:(1)解由三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 是正三棱柱,且棱长均为 2, 可知底面是正三角形,侧面均为正方形, 3 2 故三棱柱 ABC ? A ? 2 ? 3 ? 22 ? 12 ? 2 3 . 1B 1C1 的全面积 S ? 2 ? 4 (2) 在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,因为 D, E 分别是 BB 1 , CC1 的中点,

C

1

1 1 BB1 ? CC1 ? EC1 ,又 BD ∥ EC1 , 2 2 所以四边形 BDC1E 是平行四边形,故 BE ∥ DC1 ,
可知 BD ? 又 DC1 ? 平面 ADC1 , BE ? 平面 ADC1 ,

A

1

B1 E

o

D

C

所以 BE ∥平面 ADC1 .

O, (3) 连 AC 1 ,设 AC1 与 AC 1 相交于
则由侧面 ACC1 A 1 为正方形,可知 AC1 与 AC 1 互相平分. 在 Rt △ B1C1D 中, DC1 ? 连 OD ,可得 OD ? AC1 . 连 CD, A1D ,同理可证 OD ? AC 1 ,

DB12 ? B1C12 ? 5 ,

同理可得 AD ? 5 ,故 DC1 ? AD ,

O ,故 OD ? 平面 ACC1 A1 . 又 AC1 与 AC 1 相交于
因为 OD ? 平面 ADC1 , 故平面 ADC1 ? 平面 ACC1 A 1. 29. 解:(1)取 BB1 中点 G,连 DG,EG ∵B1D=AD, B1G=GB,∴DG//AB,同理 GE//BC, ∵DG ? GE=G,AB ? BC=B,∴平面 DGE//平面 ABC , ∵DE ? 平面 DGE,∴DE//平面 ABC . (2) ∵AB=AC=2 在 B1 FE 中 EC=1

………………5 分

? BAC= 90
∴ B1E =3 ,

,

∴BC=2 2

B1F = 6

∴ B1F ? FE

又∵ AF ? BC. AF ? BB1 ∵ B1F ? FE , AF ? B1F (3)EF= 3 B1F ? 6 .

∴ AF ? 平面 B1C ,∴ AF ? B1F , ∴ B1F ? 平面 AFE ………………10 分 …14 分

B1E ? 3 , VA? EFB1 =1

30.解:(1)证明∵O、H 分别为 AE、AB 的中点 ∴OH//BE,又 OH 不在面 BDE 内 ∴直线 OH//面 BDE (2) O 为 AE 的中点 AD=DE,∴DOAE
2 ∵DO= 2 ,DB=2 3 ,BO =10

∴ DB ? DO ? BO
2 2

2

∴ DO ? OB 又因为 AE 和 BO 是相交直线 所以,DO 面 ABCE, 又 OD 在面 ADE 内 ∴面 ADE 面 ABCE. 31.证明: (I)连结 BD1,∵E、F 分别为 BC、CD1 中点; ∴EF∥ BD1, ………………2 分 又∵BD1 ? 平面 BB1D1D ,EF ? 平面 BB1D1D ∴EF∥ 平面 BB1D1D; ………………4 分(少一条件扣 1 分) (Ⅱ )取 CD 中点 M,连结 BM,则 DM=CM=2, ∵AB∥ CD,AB ? AD, ∴四边形 ABMD 是正方形,则 DM=CM=BM=2, ∴BC ? BD, ………………7 分(或由计算证明) 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,有 BC ? BB1,且 BD∩BB1=B, ∴BC ? 平面 BB1D1D; ………………9 分

D1 (Ⅲ)取 BD1 中点 N,连结 FN,则 FN∥ BC, 由(Ⅱ )知 BC ? 平面 BB1D1D,∴FN ? 平面 BB1D1D, 则 FN 是四棱锥 F-BB1D1D 的高,且 FN ? ∵S 四边形 BB D D= 8 2
1 1

………………10 分 A1 N D M F

C1

1 BC ? 2 2

B1

16 ∴V ? 3

C E

………………14 分 A B 第 31 题图

32. 33、解:(Ⅰ)因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB .同理 PD ? AB . 又 PC PD ? P ,故 AB ? 平面 PCD . 5分 (Ⅱ)设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ,连结 CH 、 DH .因为 AB ? 平面 PCD , 所以 AB ? CH , AB ? DH ,所以 ?CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角. 又 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,所以 CD 2 ? PC 2 ? PD 2 ? 2 ,即 ?CPD ? 90? . 在平面四边形 PCHD 中, ?PCH ? ?PDH ? ?CPD ? 90? , 所以 ?CHD ? 90? .故平面 ? ? 平面 ? . 14 分 35. 解:(Ⅰ )证明:取 BC 的中点 D ,连接 AD 因为 ?ABC 是正三角形, 所以 AD ? BC 又 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,

C N A E

M

C1

A1
1

所以 B1B ? 面 ABC ,所以 B1B ? AD 所以有 AD ? 面 BB1C1C 因为 BM ? 面 BB1C1C 所以 BM ? AB1 ; (Ⅱ ) N 为 AC 的三等分点, CN : NA ? 1: 2 . 连结 B1C , B1C

BM ? E ,

∵ CEM ∽ B1EB ,∴

CE CM 1 ? ? . EB1 BB1 2



CN CE 1 ? ? , ∴ AB1 // NE NA EB1 2

又∵EN ? 面 BMN , AB1 ? 面 BMN ∴ AB1 // 平面 BMN 36.证明:(Ⅰ)连结 A1 B ,设 A1 B 交 AB1 于 E ,连结 DE . ∵点 D 是 BC 的中点,点 E 是 A1 B 的中点, ∴DE∥ A1C . …………3 分

∵ A1C ? 平面 AB1 D , DE ? 平面 AB1 D , ∴ A1C ∥平面 AB1 D . …………6 分

(Ⅱ)∵ ?ABC 是正三角形, 点 D 是 BC 的中点, ∴ AD ? BC . ∵平面 ABC ? 平面 B1 BCC1 ,平面 ABC ∴ AD ? 平面 B1 BCC1 . ∵ BC1 ? 平面 B1 BCC1 , ∴ AD ? BC1 . ………………………………9 分 平面 B1 BCC1 ? BC , AD ? 平面 ABC ,

∵点 D 是 BC 中点, BC ? 2BB1 , ∴ BD ?
2 BB1 . 2

A



BD CC1 2 ? ? , BB1 BC 2

B

E

A1 D F C

∴Rt△ B1 BD ∽Rt△ BCC1 . ∴ ?BDB1 ? ?BC1C . ∴ ?FBD ??BDF = ?C1BC ? ?BC1C ? 900 . ∴ BC1 ? B1 D, ∵ B1 D
AD ? D ,

B1
(第 17 题)

C1

…………………………………13 分

∴ BC1 ⊥平面 AB1 D .

………………………………15 分



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