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2015年全国高中数学联赛(无答案)



2015 年全国高中数学联赛
一、 填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.设 a , b 为不相等的实数,若二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 满足 f (a) ? f (b) ,则 f (2) 的值是

1 ? cos 4 ? 的值为 sin ? 3.已知复数数列 {zn }

满足 z1 ? 1, zn?1 ? zn ? 1 ? ni(n ? 1, 2,?) ,其中 i 为虚数单位, zn 表示 zn 的共轭
2.若实数 ? 满足 cos ? ? tan ? ,则 复数,则 z2015 的值是 4.在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,边 DC 上(包括点 D, C ) 的动点 P 与 CB 延长线上(包括点 B ) 的 动点 Q 满足 | DP |?| BQ | ,则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA ? PQ 的最小值为 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? {( x, y) | (| x | ? | 3y | ? 6)(| 3x | ? | y | ? 6) ? 0}所对应的平面区 域的面积为 7.设 ? 为正实数,若存在 a, b(? ? a ? b ? 2? ) ,使得 sin ? a ? sin ?b ? 2 ,则实数 ? 的取值范围是 8.对四位数 abcd (1 ? a ? 9,0 ? b, c, d ? 9) ,若 a ? b, b ? c, c ? d ,则称 abcd 为 P 类数,若

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

a ? b, b ? c, c ? d ,则称 abcd 为 Q 类数,用 N ( P) 与 N (Q) 分别表示 P 类数与 Q 类数的个数,则 N ( P)? N ( Q的值为 )
二、 本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分 16 分) 若实数 a, b, c 满足 2 ? 4 ? 2 , 4 ? 2 ? 4 ,求 c 的最小值.
a b c a b c

10(本小题满分 20 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是四个有理数,使得 {ai a j |1 ? i ? j ? 4} ? {?24, ?2, ? 的值.

3 1 , ? ,1,3} ,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 2 8

11(本小题满分 20 分)

x2 ? y 2 ? 1的左,右焦点,设不经过焦点 F1 的直线 l 与椭 2 圆 C 交于两个不同的点 A, B ,焦点 F2 到直线 l 的距离为 d .如果直线 AF1 , l , BF1 的斜率成等差数列,求 d 的取值范围.
在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

加 试
本卷共 4 题,共 180 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 12(本小题满分 40 分) 设 a1 , a2 ,?, an (n ? 2) 是实数,证明:可以连取 ?1 , ? 2 ,?, ? n ?{1, ?1} 使得

(? ai )2 ? (? ? i ai )2 ? (n ? 1)(? ai2 )
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

13(本小题满分 40 分) 设 S ? {A 1, A 2 ,?, A n } ,其中 A 1 , A2 ,?, An 是 n 个互不相同的有限集合 ( n ? 2) ,满足对任意

Ai , Aj ? S ,均有 Ai ? Aj ? S ,若 k ? min | Ai |? 2 ,证明:存在 x ? ? Ai ,使得 x 属于 A1 , A2 ,?, An 中的
1? i ? n

n

i ?1

n 至少 个集合(这里 | X | 表示有限集合 X 的元素个数) k

14(本小题满分 50 分)

? 上一点,点 K 在线段 AP 上,使得 BK 平分 ?ABC ,过 K , P, C 三点 如图, ?ABC 内接于圆 O, P 为 BC
的圆 ? 与边 AC 交于点 D ,连结 BD 交圆 ? 于点 E ,连结 PE 并延长与边 AB 交于点 F ,证明:

?ABC ? 2?FCB

15(本小题满分 50 分) 求具有下述性质的所有正整数 k :对任意正整数 n, 2
( k ?1) n?1

不整除

( kn )! . n!



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