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高考圆锥曲线专题研究


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高考圆锥曲线专题研究
1、吃透圆锥曲线的两个定义: 第一定义中要重视限制条件:椭圆中,与两个定点 F ,F 的距 离的和等于常数 当 < ,且 ﹥ ;当 = 时,轨迹是线段 F F ;

时,不存在任何图形。双曲线中,与两定点 F ,F 的距离 ,且 <|F F |;若 =|F F |,则轨迹

的差的绝对值等于常数

是以 F ,F 为端点的两条射线;若

﹥|F F |,则轨迹不存在。若

去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 (左焦点对 应左准线, 右焦点对应右准线) , 且 “点点距为分子、 点线距为分母” , 商为离心率 。要熟练进行点点距与点线距之间的相互转化。 范例 1:①已知定点 P 的轨迹中是椭圆的是 ( A. C. ②方程 的左支) ③如已知点 及抛物线 上一动点 P (x,y) ,则 y+|PQ| ) B. D. (答:C); 表示的曲线是_____ (答: 双曲线 ,在满足下列条件的平面上动点

的最小值是_____(答:2) 2、理清圆锥曲线的标准方程与参数方程关系和功能: (1) 椭圆: 焦点在 轴上时 数方程,其中 为参数)。 (2)双曲线:焦点在 轴上: 程,其中 为参数)。
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(参

=1

(参数方

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(3)抛物线:焦点在 x 轴正半轴: 数方程,其中 t 为参数)。 范例 2: ①若 的最小值是_ , 且 __(答: ) , 则 的最大值是____,

(参

② 已 知 A, B 为 抛 物 线 y 2 ? 2 p x 上 异 于 顶 点 O 的 两 个 动 点 , 且
OA ? OB, OM ? AB 于点 M ,求动点 M 的轨迹。

点评:圆锥曲线参数方程的主要功能:①处理最值问题;②求动 点的轨迹问题。 3、掌握圆锥曲线相关的几何性质: 椭圆的几何性质主要体现在:四点(焦点、顶点)四线(准线、 对称轴)两形(焦点三角形、 a, b, c 三边关系三角形)。重点研究:① 离心率;②焦半径;③焦点弦;④弦长公式。 双曲线的几何性质主要体现在:四点(焦点、顶点)六线(准线、 对称轴、渐近线)两形(焦点三角形、 a, b, c 三边关系三角形)。重点 研究:①离心率;②焦半径;③焦点弦;④弦长公式。 抛物线的几何性质主要体现在:一动(动点)三定(定点:焦点, 定直线:准线,定值:离心率 e ? 1 )。重点研究:焦点弦的相关性质。 范例 4:①以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最 大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: ②椭圆 M, 使 内有一点 );

, F 为右焦点, 在椭圆上有一点 ) 。 ,2],则两

之值最小, 则点 M 的坐标为___ ____ (答: ③设双曲线 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ );

条渐近线夹角θ的取值范围是________(答: ④已知抛物线方程为

,若抛物线上一点到 轴的距离等于 __;

5,则它到抛物线的焦点的距离等于__
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5、理解直线与圆锥曲线的位置关系及处理办法: (1)设直线方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆锥曲线方程为 f ? x, y ? ? 0 , 则联立方程组并整理得: ax2 ? bx ? c ? 0 . ①若 a ? 0 ,对双曲线,方程 Ax ? By ? C ? 0 为平行于渐近线的任一 直线; 对抛物线,方程 Ax ? By ? C ? 0 为平行于对称轴的任一 直线。 ②若 a ? 0 ,且 ? ? 0 ,则方程 Ax ? By ? C ? 0 为圆锥曲线 f ? x, y ? ? 0 的 一条切线。 (2)若直线与圆锥曲线相交,则一般的解题思路为:直线与曲线 联立方程组,转化为一元二次方程: ax2 ? bx ? c ? 0 ,目的是韦达定理 得: x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 。然后再结合其它已知条件可得解。 范例 5:①若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的 交点,则 k 的取值范围是___ ②求椭圆 ( ); ③(2011 年崇左市第五次月考理 21)已知抛物线 y 2 ? mx 的焦点 到准线的距离为 1, 且抛物线开口向右。 求的 m 值;P 是抛物线 y 2 ? mx 上的动点,点 B, C 在轴 y 上,圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC 中,求 ?PBC
2

b a

c a

2

2

____(答:(-

,-1)); 的最短距离

上的点到直线

面积的最小值。 6、圆锥曲线中的焦点三角形问题: 解题策略:①第一定义;②正弦、余弦定理;③三角形的面积公 式。 设 形 为椭圆或双曲线上的一点, 的面积为 ,则椭圆 为两焦点, 焦点三角 = PF1 PF2 sin ? ;
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1 2

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双曲线 S ? b2 cot ? c y0 ?
2

?

1 PF1 PF2 sin ? 。 2

范例 6:①短轴长为

,离心率

的椭圆的两焦点为 、 , 的周长为________ (答: 6) ; ,F1、F2 是它的左右焦点, 是 与 等

过 作直线交椭圆于 A、 B 两点, 则 ②双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

若过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、 B 两点, 且 差中项,则 =__________(答: );

③已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一 点,且 ); 7、圆锥曲线中的弦长问题: 若直线 则 = ,则 = 与圆锥曲线相交于两点 A( = 。 )、B( ), , .求该双曲线的标准方程(答:

;若弦 AB 所在直线方程设为

弦长求法的一般步骤:①确定直线的斜率;②确定直线方程;③ 直线与曲线联立方程组并转化为一元二次方程,利用韦达定理;④代 入弦长公式。 范例 7:①如果椭圆 弦所在的直线方程是 弦被点 A(4,2)平分,那么这条 (答: ); 相交于 A、B 两点,

②已知直线 y=-x+1 与椭圆

且线段 AB 的中点在直线 L: x-2y=0 上, 则此椭圆的离心率为_______ (答: ); 上有不同的两点关于 );

③试确定 m 的取值范围, 使得椭圆 直线 对称(答:

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§◎§特别提醒: 因为

是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 !

条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 8、圆锥曲线中常用方法与重要结论: (1)双曲线 (2)以 曲线方程为 的渐近线方程为 为渐近线(即与双曲线 为参数, ≠0)。 ;

共渐近线)的双

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ; (4) 椭圆、 双曲线的通径 (过焦点且垂直于对称轴的弦) 为 焦准距(焦点到相应准线的距离)为 距为 ; (5)通径是所有焦点弦(经过焦点的弦简称焦点弦)中最短的 弦; (6)抛物线的焦点弦公式: AB ? x1 ? x 2 ? p 。 范例 8: ①过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) , B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8); ②已知斜率为 1 的直线 L 过椭圆 于 A、B 两点,则弦 AB 的长为 9、熟悉动点的轨迹问题的求法: (1) 求动点轨迹方程的一般步骤: ①建系设元、 ②建立数学模型、 ③模型符号化、④化简整理、⑤确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:将几何关系直接翻译成代数方程,即直接利用条件 建立 之间的关系 ;
x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F,交椭圆 4
2



,抛物线的通径为

,焦准



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②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据 条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。 ③定义法: 动点的轨迹满足某种已知曲线,直接由曲线定义写 出轨迹方程; ④代入转移法(设而不求):动点 在关系,且 将 在某已知曲线上,则用 与已知动点 的代数式表示 存 ,再

代入已知曲线即得所求轨迹方程; 即把所求动点的坐标与已知

动点的坐标建立联系。 ⑤参数法: 动点 坐标可以引进参数方程。 的距离之和等

范例 9: ①如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 于 4,求 P 的轨迹方程. 答: 或

[直接法]; ,端点 A、B

②如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)

到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线, 则此抛物线方程为 ③由动点 P 向圆
0

[待定系数法]; 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B, 答: ;[定义法:圆

∠APB=60 ,则动点 P 的轨迹方程为 的定义,动点 P 到定点 O 的距离];

④点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 M 的轨迹方程是__ _____ (答: 和⊙N:

的距离小于 1, 则点 )[定义法]; 都外切,

⑤ 一动圆与两圆⊙M: 则动圆圆心的轨迹为

(答:双曲线的一支)[定义法];

⑥AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB, 垂足为 N, 是 MN 的中点, 则动点 的轨迹为 ⑦过抛物线 [参数法];

的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点,则弦 )[设而不求法]。

AB 的中点 M 的轨迹方程是________(答:
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10、与圆锥曲线有关的常见向量结论: (1)在 边的中线; (2) 给出以下情形之一:① ③若存在实数 线. (3) 给出 , 等于已知 知 是锐角。 (4)给出 (5)在 中,给出 ,等于已知 是 的平分线。 的外 ,等于已知 ,即 是直角,给出 , 等于已 ;②存在实数 ,等于已知 ; 三点共 中,给出 ,等于已知 是 中

是钝角 , 给出

,等于已知 是

心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的 交点); (6) 在 中,给出 ,等于已知 是 的重

心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (7) 在 中, 给出 , 等于已知 是

的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (8) 在 过 中, 给出 等于已知 通

的内心; 11、圆锥曲线中常见类型题解题展示: 类型一 (存在性问题) 已知点 C (1, 0) , 点 A、 B 是⊙O:x 2 ? y 2 ? 9
??? ? ??? ?

上任意两个不同的点,且满足 AC ? BC ? 0 ,设 P 为弦 AB 的中点, (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x ? ?1 的距

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离恰好等于到点 C 的距离?若存在, 求出这样的点的坐标; 若不存在, 说明理由. 解:(1)法一:连结 CP,由 AC ? BC ? 0 ,知 AC⊥BC
2 2 ∴|CP|=|AP|=|BP|= | AB | ,由垂径定理知 | OP |2 ? | AP y | ?| OA |

??? ? ??? ?

1 2

即 | OP |2 ? | CP |2 ? 9

??????3 分

A P B x
O

设点 P(x,y),有 ( x 2 ? y 2 ) ? [( x ? 1)2 ? y 2 ] ? 9
C

化简,得到 x 2 ? x ? y 2 ? 4

??????6 分

法二:设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,P ( x, y) , 根据题意,知 x12 ? y12 ? 9, x2 2 ? y2 2 ? 9 , 2 x ? x1 ? x2 , 2 y ? y1 ? y2 , ∴ 4 x 2 ? x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 , 4 y 2 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y2 2 故
??? ? ??? ?
4 x 2 ? 4 y 2 ? ( x12 ? y12 ) ? (2 x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ? 18 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 )

①???3 分 又 AC ? BC ? 0 ,有 (1 ? x1 , ? y1 ) ? (1 ? x2 , ? y2 ) ? 0 ∴ (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 0 ,故 x1 x2 ? y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 x ? 1 代入①式,得到 4 x2 ? 4 y 2 ? 18 ? 2(2 x ? 1) 化简,得到 x 2 ? x ? y 2 ? 4 ??????6 分
p ? 1 ,∴ p ? 2 ,故抛物线方 2

(2)根据抛物线的定义,到直线 x ? ?1 的距离等于到点 C(1,0) 的距离的点都在抛物线 y 2 ? 2 px 上,其中 程为 y 2 ? 4 x ???8 分
2 ? ? y ? 4x 由方程组 ? 2 得 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 2 ? ?x ? x ? y ? 4

??10 分

由于 x ? 0 ,故取 x ? 1 ,此时 y ? ?2 , 故满足条件的点存在的,其坐标为 (1, ?2) 和 (1, 2) 12 分 ??????

类型二(定性问题):已知点 C(4,0) 和直线 l : x ? 1 ,作 PQ ?l , 垂足
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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 为 Q,且 ( PC ? 2 PQ) ? ( PC ? 2 PQ) ? 0.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)过点 C 的直线 m 与点 P 轨迹交于两点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
x1 x2 ? 0 ,点 B(1,0) ,若 ?BMN 的面积为 36 5 ,求直线 m 的方程. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ?2 解:(Ⅰ) 由已知 ( PC ? 2 PQ) ? ( PC ? 2 PQ) ? 0, 知 PC ? 4 PQ ? 0 . ??? ? ??? ? 所以 PC ? 2 PQ ?????????????????2 分

设 P( x, y ) ,代入上式得 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 2 x ? 1
x2 y 2 平方整理得. ? ? 1. ?????????????4 分 4 12

(Ⅱ)由题意可知设直线 m 的斜率不为零,且 C(4,0) 恰为双曲线 的右焦点, 设直线 m 的方程为 x ? ty ? 4 ,
? x2 y 2 ? ?1 ? (3t 2 ? 1) y 2 ? 24ty ? 36 ? 0 ???????5 分 由? ? 4 12 ? x ? ty ? 4 ?

若 3t 2 ?1 ? 0 ,则直线 m 与双曲线只有一个交点,这与 x1 x2 ? 0 矛盾, 故 3t 2 ?1 ? 0 .
?24t ? y ? y ? 1 2 ? 3t 2 ? 1 由韦达定理可得 ? ???????????6 分 ? 36 ?y y ? 1 2 ? 3t 2 ? 1 ? ? x1 x2 ? (ty1 ? 4)(ty2 ? 4) ? t 2 y1 y2 ? 4t ( y1 ? y2 ) ? 16
? t2 36 ?24t 3t 2 ? 4 1 ???8 分 2 ? 4 t ? 16 ? 0 ? ? 0 ? t ? , 3t 2 ? 1 3t 2 ? 1 3t 2 ? 1 3

? S?ABC
? t2 ?

2 2 1 3 (24t ) ? 4 ? 36 ? 3t ? 1? 18 1 ? t 2 18 1 ? t 2 ? BC y1 ? y2 ? ? ? ? 36 5 2 2 1 ? 3t 2 3t 2 ? 1 3t 2 ? 1

19 1 1 1 1 或t 2 ? ,? t 2 ? , ? t 2 ? ? t ? ? . ??????10 分 45 4 3 4 2

故直线 l 的方程为 2 x ? y ? 8 ? 0或2 x ? y ? 8 ? 0 . ?????12 分
y2 x2 类型三(定值问题):设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ?? ? ?? ? x y x y 上的两点,已知向量 m ? ( 1 , 1 ) , n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n = 0 且椭圆的离心 b a b a
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率e ?

3 , 短轴长为 2 , O 为坐标原点. 2

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F ? 0, c ? ,(c 为半焦距),求直线

AB 的斜率 k 的值;
(Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明; 如果不是,请说明理由.
c a 2 ? b2 3 ? ? a ? 2, c ? 3 解:(Ⅰ) 2b ? 2.b ? 1, e ? ? a a 2 y2 椭圆的方程为 ? x 2 ? 1 ??????????3 分 4

(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y ? kx ? 3
? y ? kx ? 3 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0.................4分 ?y 2 ? ? x ?1 ?4 x1 ? x2 ? ?2 3k ?1 , x1 x 2 ? 2 . 2 k ?4 k ?4 .................5分

由已知 m ? n ? 0 得:
x1 x2 y1 y2 1 ? 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) 2 b a 4 ? (1 ?
?

k2 3k 3 ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 4 4

.................6分

k2 ? 4 1 3k ?2 3k 3 (? 2 )? ? ? ? 0, 解得k ? ? 2 ????7 4 k ?4 4 k2 ? 4 4



(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 m ? n ? 0
y12 x ? ? 0 ? y12 ? 4 x12 ,又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 4 2 4x 2 x12 ? 1 ? 1 ? x1 ? , y1 ? 2 4 2 1 1 ??????8 分 s ? x1 y1 ? y2 ? x1 2 y1 ? 1 为定值. 2 2
2 1

(2)当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b
?y ? kx? b ? 2k b ? 2 2 2 2 ? ( k ? 4 ) x ? 2 k bx ? b ? 4 ? 0 得到 x ? x ? ?y 1 2 2 k2 ? 4 ? ? x ?1 ?4

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x1 x 2 ?

b ?4 ??10 分 k2 ? 4 yy (kx ? b)( kx2 ? b) x1 x2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x2 ? 1 ? 0代入整理得 : 2b2 ? k 2 ? 4 4 4 1 b 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 4b 2 S? AB ? | b | ( x 1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? ?1 2 1? k 2 2 k2 ? 4 2|b|
2

为定值?12 分
x2 y2 类型四(取值范围问题)设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a b

焦点分别为 F1 , F2 , 上顶点为 A , 过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴 于点 Q ,且 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切, 求椭圆 C 的方程; (III)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭 圆 C 交于 M 、 N 两点,在 x 轴上是否存在点 P(m,0) 使得以 PM , PN 为邻 边的平行四边形是菱形, 如果存在, 求出 m 的取值范围, 如果不存在, 说明理由. 解: (Ⅰ) 设Q (x0, 0) , 由 F2(c, 0) ,A (0, b) 知 F2 A ? (?c, b), AQ ? ( x0 ,?b)
? F2 A ? AQ,? ?cx0 ? b 2 ? 0, x0 ? ? b2 c
y A



由于 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 即 F1 为 F2Q 中点.
? ? b2 O F F Q 故 ? ? c ? ?2c ? b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? c 2 c 1 故椭圆的离心率 e ? ???????3 分 2 c 1 1 1 3 (Ⅱ)由⑴知 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a ,0) Q (? a,0) , a 2 2 2 2 1 1 △AQF 的外接圆圆心为(- a ,0),半径 r= |FQ|= a 2 2 1 | ? a ?3| 所以 2 ? a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 , 2 x2 y2 所求椭圆方程为 ? ? 1 ???????6 分 4 3
1 2

x

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(III)由(Ⅱ)知 F2 (1,0) ,设 l : y ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 )
? y ? k ( x ? 1) 由? 得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ????7 分 ? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?4 8k 2 则 x1 ? x 2 ? , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?????8 分 3 ? 4k 2
PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x 2 ? m, y 2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y 2 )

由于菱形对角线垂直,则 ( PM ? PN ) ? MN ? 0 故 k ( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 则 k 2 ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0

????9 分

8k 2 8k 2 ? 2 ) ? ? 2m ? 0 ,由已知条件知 k ? 0 且 k ? R 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 k2 1 ?m ? ? ???????11 分 2 3 3 ? 4k ?4 k2 1 ?0 ? m ? 4 1 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 0 ? m ? .??12 分 4
k2 (

类型五(定点问题)已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上 的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且 QP?QF ? FP?FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 M、N 是抛物线 C 的准线上的两个动点,且它们的横坐标 之积为-4 ,直线 MO,NO 与抛物线的交点分别为点 A、B,求证:动直线 AB 恒过一个定点. 解:略。
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

12、圆锥曲线中的高考链接: 1、(2009 年浙江理 21)已知椭圆 C1 :
y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右 a 2 b2

顶点为 A(1,0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1. (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x 2 ? h (h ? R)
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上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N . 当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值. 分析:本题属于类型四(取值范围问题)
?b ? 1 ?a ? 2 解析:(I)由题意得 ? ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? b2 ? 2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a

y2 ? x 2 ? 1, 4

(II) 不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t 2 ? h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切 线斜率为 y? 的 方
4 ? ? t 21?
x ?t

? 2t , 直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h , 将上式代入椭圆 C1


x2 ?


4t
2


?(t



4 x 2 ? (2tx ? t 2 ? h)2 ? 4 ? 0
2


0



? h) 2, x ?(

t

?) h ? 4

4 2 2 所以 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0,

x1 ? x2 t (t 2 ? h) ? , 2 2(1 ? t 2 ) t ?1 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x4 ? ,由题意得 x3 ? x4 , 2

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ?

即: t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 ,其中的 ? 2 ? (1 ? h)2 ? 4 ? 0,? h ? 1 或 h ? ?3 ; 当
h ? ?3





h?2?

0? h2 ,? 4

0 此 不 等 式 , 因

4 2 2 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0 不成立;因此 h ? 1,当 h ? 1 时代入方程

t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0
?1 ? 1 ? ?t 4 ? ?6 ?h 2



t ? ?1

, 将

h ?1 t ? ,?

代 1 入 不 等 式

2 (?2 t ? 2 ? h ) 成立,因此 4 0 1. h 的最小值为 ??

2、(2009 年四川理 20)已知椭圆 分别为 F1 , F2 ,离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点 a2 b

2 ,右准线方程为 x ? 2 。(I)求椭圆的标 2

准 方 程 ; ( II ) 过 点 F1 的 直 线 l 与 该 椭 圆 交 于 M , N 两 点 , 且
????? ???? ? 2 26 F2 M ? F2 N ? ,求直线 l 的方程。 3

分析:本题属于类型二(定性问题):

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?c 2 ? ? a 2 ,解得 a ? 2,c=1 。? b ? a 2 ? c 2 ? 1 。 解:(Ⅰ)由条件有 ? ? 2 ?a ? 2 ? ?c x2 所以,所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 。??????????4 分 2
(, ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 (?1,0) 、 F 。 2 10

若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 将 x ? ?1 代入椭圆方程得 y ? ? 不妨设 M (?1,
2 。 2

2 2 , )、 N ( ? 1, ? ) 2 2 uuuu v uuuv 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4, 0) . 2 2 uuuu v uuuv ? F2 M ? F2 N ? 4 ,与题设矛盾。

?直线 l 的斜率存在。

设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+1)。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 2 ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。 ? y ? k ( x ? 1) ? ?4k 2 由 根 与 系 数 的 关 系 知 x1 ? x2 ? , 从 而 1 ? 2k 2 2k y1 ? y ? 2 ?2 ) 2 , 2 k (x ? x 1? 1 ? 2k

又? F2 M ? ( x1 ? 1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ? 1, y2 ) ,
????? ???? ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) 。 ????? ???? ?2 ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2

?????

???? ?

?(

8k 2 ? 2 2 2k 2 ) ?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 4k 4 ? 4k 2 ? 1 4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 2 26 2 ? ?( ) ,化简得 40k 4 ? 23k 2 ? 17 ? 0 4 2 4k ? 4k ? 1 3 17 解得 k 2 ? 1 或者 k 2 ? ? (舍),? k ? ?1 40

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∴所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或者 y ? ? x ?1 分

???????12

3、(2009 年重庆理 21)已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线 方程为 y ?
4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆上的动点. 3 2

(Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点,
???? ???? ? ???? ??? ? ??? ? OQ ? OM ? ON , QA?BA ? 0 . 点 Q 满足条件: 求 N 是点 M 在 x 轴上的射影,

线段 QB 的中点 P 的轨迹方程; 分析:本题属于类型二(定性问题): 解: (Ⅰ)由题设条件知焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为 >b> 0 ).
4 3 a2 4 3 3 得 ? , 由e ? 得 c 3 3 2 y2 c 3 2 ? , 解得 a ? 2, c ? 3 , 从而 b = 1, 椭圆的方程为 x ? ? 1 a 2 4 2 y 又 易 知 C , D 两 点 是 椭 圆 x2 ? ? 1 的 焦 点 , 所 4

x2 y 2 ? ? 1(a a 2 b2

设 c ? a 2 ? b2 , 由准线方程 y ?

以, MC ? MD ? 2a ? 4 从 而 MC ? MD ? (
MC ? MD 2 ) 2 ? 22 ? 4 , 当 且 仅 当

MC ? MD ,即点 M 的坐标为 (?1,0)

时上式取等号, MC ? MD 的最大

值为 4 . (II)如(20)图,设 M( xm , ym ), B( xB , yB )
???? ? ???? ???? Q( xQ , yQ ) .因为 N ( xN , 0), OM ? ON ? OQ ,故
xQ ? 2 xN , yQ ? yM ,
2 2 xQ ? yQ ? (2 xM )2 ? y y ? 4 ??? ? ??? ? 因为 QA ? BA ? 0,



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(1 ? xQ ? yQ ) ? (1 ? xN ? yn ) ? (1 ? xQ )(1 ? xN ) ? yQ yN ? 0,

所以 xQ xN ? yQ yN ? xN ? xQ ? 1 .



记 P 点 的 坐 标 为 ( xP , yP ) , 因 为 P 是 BQ 的 中 点 , 所 以
2 xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 ? yN ? 1 ,结合①,②得: 又因为 xN

1 2 2 xP ? yP ? (( xQ ? xN )2 ? ( yQ ? yN )2 ) 4 1 2 1 3 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ yN )) ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) ? ? xP 4 4 4 1 2 故动点 P 的轨迹方程为: ( x ? ) ? y 2 ? 1 2

4、(2010 年全国理科 21)已知抛物线 C y 2 =4x 的焦点为 F, 过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对 称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB = ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. 分析:本题属于类型五(定点问题)
??? ? ??? ? 8 9

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