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类比推理在高中数学教学中的应用



学科论文

浅谈类比思想在文科数学教学中的应用

姓 名 单 位 学 科

冯 娟 阜 阳 市 第 二 中 学 数学

2013 年 5 月

浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 阜阳二中数学组: 冯 娟 摘要 :类比是一切理解和思维的基础,作为一种逻辑方法,它在教学中有广泛
的应用。在数学教学中应用类比法,可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、 定理、公式、题型等,达到正确认识,确定行之有效的解题策略的目的;这样既 可以加强“双基”,又有利于培养学生良好的思维品质。

关键词:类比推理

猜想

证明 数学学习

笔者现阶段所教授的是高三文科普通班,学生基础相对比较薄弱。学生对数 学这一学科几乎到了“谈数色变”的程度。在平时的教学中,常常有学生抱怨: 我怎么想不到这样的方法?笔者认为学生困惑的根源是缺乏知识的迁移能力和 未形成系统的知识体系。 作为数学教师,笔者认为应该帮助学生构建系统的知识 体系,培养学生的知识迁移运用能力,而类比思想是串联新旧知识的纽带。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别, 又能从横向找到有关 知识的联系和区别,所以,在数学教学中应用类比方法进行教学与复习,就有着 不可替代的作用,一下内容是笔者在教学实践中的深刻体会。 一、 类比推理思想的重要性 类比是猜想的前提,而猜想又是发现和创造前提,虽然,笔者们发现数学研 究活动中充满着猜想和错误。大科学家牛顿曾经说过: “没有大胆的猜想就做不 出伟大的发现。在人类历史上,类比获得的科技发明不胜枚举:鲁班类比带齿的 草叶发明了锯, 科学家类比蝙蝠规避障碍物的原理发明了雷达,类比金枪鱼的结 构发明了金枪潜艇--二、 类比推理思想在教学中的应用 ” 1、类比推理在概念形成过程中的应用 数学概念是整个数学知识结构的基础。在引入新概念的教学中,首先就要使 学生“感知”新材料,了解概念事物的形成过程。

案例 1 、二面角概念学习过程的类比

由于两者的极为相似性,通过类比学生很容易掌握了二面角的概念。 2、类比推理在性质定理公式结论中的应用 案例 2、空间中平面性质学习

用学生所熟悉的性质类比,学生很快就会记忆新的性质 3、类比推理在复习课中的应用 案例 3、共线向量、共面向量、空间向量知识间的类比

在向量知识的教学中,笔者发现,学生在对共线向量、平面向昔、空问向 量的理解上存在困难,特别是学生对共线向量定理、平面向量基本定理、空间向 量定理之间的关系在思维上容易产生混乱,为了理顺它们间的关系,笔者在处理 新课“共面向量定理”时,就采用类比方法进行教学设计。让学生经历向量及其 运算由共线到平面再到空间的推广过程,体验数学在结构上的和谐性,领悟数学 研究的模式化思想,感受理性思维的力量,取得了良好的教学效果。通过类比的 方法对这部分知识进行梳理,理清了他们之间的关系,完善了学生的认知结构。 三 、类比推理在解题教学中的应用

f ?x1 ? f ?x2 ? ? 1 , 且存在正常数 , 使f ?a ? ? 1. a f ?x1 ? f ?x2 ? 求证: f ?x ? 是周期函数,并求出周期。
例 1, 设函数 f ?x ? 满足 f ?x1 ? x2 ? ? 分析:要证 f ?x ? 是周期函数,只能从定义出发,但本题中不能直接找到该 函数的一个周期, 故证明的关键在于直觉感知周期的取值。但从本质看很难直接 f ?x1 ? f ?x2 ? ? 1 找到函数的一个周期。观察题设 f ?x1 ? x2 ? ? 的结构特征类比联想 f ?x1 ? f ?x2 ? cot? cot ? ? 1 ? , 且有cot ? 1 ,由于 cot ? 是周期函数且 到三角恒等式 cot?? ? ? ? ? cot? ? cot ? 4 ? 周期为 ? ? 4 × ,笔者们就猜想, f ?x ? 是以 4a 为周期的周期函数。在此猜想的 4 基础上,笔者们再对此题进行证明。

1、 数与形的类比

例2,设 x, y, z ? R ? , 求证: x 2 ? xy ? y 2 ?

y 2 ? yz ? z 2 ?

z 2 ? zx ? x 2 .

要求证的式子结构比较复杂,用常规方法推证似难奏效,观察三个根式的结 构特征,有 x 2 ? xy ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 60 ? ,运用数与形的类比,联想到 三角形的余弦定理, x 2 ? xy ? y 2 可以看作以 x,y 同理可得另外两个式子。然后 构造一个三棱锥 S-ABC 如图(1)所示,

?ASB ? ?BSC ? ?CSA ? 60? , SA ? x, SB ? y, SC ? z
依余弦定理,有 AB ? x 2 ? xy ? y 2 , BC ?
y 2 ? yz ? z 2 ,CA ? z 2 ? zx ? x 2 .

因为三角形两边之和大于第三边,所以在△ABC 中,有

AB ? BC ? CA,即 x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 .
图 (1)
S x y z

A B

C

2、 圆锥曲线的类比 例3 : (上海春招题) 已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭 圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与
x2 y2 k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值;试对双曲线 2 ? 2 ? 1 写出具有类似特性 a b

的性质,并加以证明.
2 2 分析: 类似的性质为:若 M、N 是双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上关于原点对称的两个

a

b

点,点 P 是曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 k PM 、k PN 时, 那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值。 证明:设点 M、P 的坐标为( m , n )( x , y ) 、 ,则 N( ? m ,? n ) 。 2 b b2 因为点 M m , n ) ( 在已知双曲线上, 所以 n 2 ? 2 m 2 ? b 2 , 同理 y 2 ? 2 x 2 ? b 2 , a a y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 x2 ? m2 b2 ? ? ? ? ? 则 k PM ? k PN ? (定值) 。 x ? m x ? m x2 ? m2 a 2 x2 ? m2 a 2

例 4: 已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 , 动点 P 为其上一点, 设其坐标为 ( x0 , y0 ) , 求证:该圆在点 P 处的切线方程为 x ? x0 ? y ? y0 ? r 2 ; x2 y 2 类比于此,对于椭圆 2 ? 2 ? 1 ,类似的结论是什么?并加以证明。 a b 分析:若动点 P 在坐标轴上,显然成立; x 若动点 P 不在坐标轴上,可得切线的斜率为 K ? ? 0 ,由点斜式得直线的方 y0 x0 2 程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) ,化简为: x ? x0 ? y ? y0 ? x0 ? y02 ,又因为点在圆上,所 y0 以所求切线方程为 x ? x0 ? y ? y0 ? r 2 。 类比椭圆与圆,笔者们有以下结论: x2 y 2 已知 P ( x0 , y0 ) 为椭圆 2 ? 2 ? 1 上一动点,则椭圆在该点处的切线方程为: a b x ? x0 y ? y0 ? 2 ? 1,证明从略。 a2 b 波利亚曾说: “如果没有相似推理,那么无论是在初等数学还是在高等数学 中,甚至在其他任何领域中,本来可以发现的东西,也可能无从发现.”因此, 作为基础教育之一的中学数学, 在教学中必须重视培养学生的类比推理能力。为 此,特提出以下教学建议: 1.根据教材特点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过类比与归纳得 出新的知识,逐步学会类比推理的方法。 2.在进行知识复习时, 经常对相关的知识进行类比,培养学生对相关知识进 行类比的习惯。 3.在解题教学中,通过类比,引导学生推广数学命题,或通过类比,探求解 题途径,深化对知识的理解,对数学思想方法的掌握。 4.通过类比,拓展学生的数学能力,提高学生的发现问题、分析问题和解决 问题的能力,提高学生的实践能力和创新精神。 另外,在解题过程中,笔者们经常会用到数形结合的思想方法,以“形”助 “数” ,由“数”思“形” ,优势互补,利用数式与图形的类比,可以迅速获得创 新的解题途径。 总之,在笔者们平时的学习与生活中处处充满着类比,可以说,类比是探索 问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学中,类比是发

现概念、方法、定理和公式的重要手段,也是开拓新领域和创造数学新分支的重 要途径。 学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法,教师在教学过 程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力, 使他们的思维更具创 造力。
参考资料:1. 任子朝,高考能力测试与试题设计,北京教育出版社. 2. 顾国章,高考对类比推理的考查,中学数学,2005.2. 3. 安徽省 2013 年普通高校统一招生考试说明,凤凰传媒出版社. 4.曹会洲 高中数学教与学 2013.4



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