9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

怎样求二次函数的解析式



怎样求二次函数的解析式
二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点,往往会综合其他函数和几何而作 为压轴题,有一定的难度。这些问题又常常以求二次函数的解析式作为解题的起点,因此 学会求二次函数的解析式成为解决此类问题的第一关。 一、 三点型 若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则可以用一般式 y= ax +bx+c. 解题策略:通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三

个点的坐标,然后用待定系 数法求解析式,此类问题是中考中最常见的一类。 例 1 式. 解:设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 已知二次函数图像经过(1,0) 、 (-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函数解析
2

?a ? b ? c ? 0 ? 由已知可得 ?a ? b ? c ? ?4 ?c ? ?3 ?

? a ? 1, ? , 解之得 ?b ? 2, 故所求二次函数解析式为 y=x2+2x-3. ?c ? ?3. ?

例 2 (2010 四川宜宾)将直角边长为 6 的等腰 Rt△AOC 放在如图所示的平面直角坐标系 中,点 O 为坐标原点,点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点 A、C 及点 B(–3,0). 求该抛物线的解析式; 解:由题意知:A(0,6) ,C(6,0) , 设经过点 A、B、C 的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,

?6 ? c ? 则: ?0 ? 9a ? 3b ? c ?0 ? 36a ? 6b ? c ?

y

1 ? ?a ? ? 3 ? 解得: ?b ? 1 ?c ? 6 ? ?
∴该抛物线的解析式为 y ? ?

A

B

C O

x

1 2 x ? x?6 3
2

例 3 (2010 山东省德州)已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象经过点 A(3,0),B(2,-3), C(0,-3). 求此函数的解析式及图象的对称轴; 解:∵二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象经过点 C(0,-3),
2

∴c =-3.

1

将点 A(3,0),B(2,-3)代入 y ? ax2 ? bx ? c 得

y

?0 ? 9a ? 3b ? 3, ? ?? 3 ? 4a ? 2b ? 3.
解得:a=1,b=-2. ∴ y ? x ? 2x ? 3 .
2

Q O M C P B N A

x

配方得: y ? (x ?1 )? 4 ,所以对称轴为 x=1.
2

例 4

( 2010 山东莱芜)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 交 x 轴于

A(2,0), B(6,0) 两点,交 y 轴于点 C(0,2 3) .求此抛物线的解析式;
解:∵抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过点 A(2,0) , B(6,0) , C(0, 2 3) .
2

? 3 ?a ? ?4a ? 2b ? c ? 0 6 ? ? ∴ ?36a ? 6b ? c ? 0 , 解得 ?b ? ? 4 3 . ? 3 ? ? c ? 2 3 ? ?c ? 2 3 ? ?
∴抛物线的解析式为: y ?

3 2 4 x ? 3x ? 2 3 . 6 3

例 5. (2010 湖北鄂州)如图,在直角坐标系中,A(-1,0) ,B(0,2) ,一动点 P 沿过 B 点且垂直于 AB 的射线 BM 运动,P 点的运动速度为每秒 1 个单位长度,射线 BM 与 x 轴交 与点 C. (1)求点 C 的坐标. (2)求过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式.

解: (1)点 C 的坐标是(4,0) ; (2)设过点 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ,将点 A、B、C 三点的 坐标代入得:

2

1 ? ?a ? ? 2 ?0 ? a ? b ? c ? 3 3 1 ? ? 解得 ?b ? ,∴抛物线的解析式是:y= ? x2+ x+2. ?2 ? c 2 2 2 ? ?0 ? 16a ? 4b ? c ? ?c ? 2 ? ?
二、 顶点型 若直接或间接已知二次函数图像的顶点坐标,则可以用顶点式 y=a(x-h)2+k. 解题策略:想方设法找到顶点的坐标,然后用待定系数法求解析式,此法比较简单。 例 1 已知抛物线的顶点坐标为(2,3) ,且经过点(3,1) ,求其解析式. 解:设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k,由条件得 1=a(3-2)2+3. 解得 a=-2. 所以,抛物线的解析式为 y=-2(x-2)2+3,即:y=-2x2+8x-5. 例2 解析式. 解:函数解析式可变为 y=(x+1)2-4. 因向左平移 4 个单位,向下平移 3 个单位,所求函数解析式为 y=( x+1+4)2-4-3, 即 y=x2+10x+18. 例 3 (2010 山东滨州)如图,四边形 ABCD 是菱形,点 D 的坐标是 (0, 3 ) ,以点 C 为顶 点的抛物线 y ? ax ? bx ? c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点.
2

将抛物线 y=x2+2x-3 向左平移 4 个单位, 再向下平移 3 个单位, 求所得到的抛物线的

(1) 求 A、B、C 三点的坐标; (2) 求经过 A、B、C 三点的的抛物线的解析式; (3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点,求平移后抛物线的解析式,并 指出平移了多少各单位?

解:(1)由抛物线的对称性可知 AM=BM. 在 Rt△AOD 和 Rt△BMC 中, ∵OD=MC,AD=BC, ∴△AOD≌△BMC ∴OA=MB=MA
3

设菱形的边长为 2m,在 Rt△AOD 中,

m2 ? ( 3) 2 ? (2m) 2 ,解得 m ? 1 .
∴DC=2,OA=1,OB=3. ∴A、B、C 三点的坐标分别为 (1,0) 、 ( 2,0) 、 (2, 3 ) (2)设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 2) ? 3 ,带入 A 点的坐标 (1,0) ,得 a ? ? 3
2

∴抛物线的解析式为 y ? ? 3( x ? 2) ? 3
2

(3) 设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 2) ? k ,代入 D 点的坐标 (0, 3 ) ,得 k ? 5 3
2

∴平移后的抛物线的解析式为 y ? ? 3( x ? 2) ? 5 3
2

∴平移了 5 3 ? 3 ? 4 3 个单位. 例 4 (2010 江苏无锡)如图,矩形 ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0) ,

BC= 2 3 .设直线 AC 与直线 x=4 交于点 E.
(1)求以直线 x=4 为对称轴,且过 C 与原点 O 的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线 一定过点 E; (2)设(1)中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N,M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一 动点,求△CMN 面积的最大值.
y D C E

A

O B x=4

x

解: (1)点 C 的坐标(2,2 3) . 设抛物线的函数关系式为 y ? a( x ? 4) ? m ,
2

?16a ? m ? 0 3 8 3 ,m ? . 则? ,解得 a ? ? 6 3 4 a ? m ? 2 3 ?
∴所求抛物线的函数关系式为 y ? ?
3 6 ( x ? 4) ?
2

8 3 3

4

例 5 (2010 云南红河哈尼族彝族自治州)二次函数 y ? x 2 的图像如图所示,请将此图像 向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位. (1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式. (2)求经过两次平移后的图像与 x 轴的交点坐标,指出当 x 满足什么条件时,函数值大 于 0? 解:画图如图所示: 依题意得: y ? ( x ? 1) 2 ? 2 = x ? 2x ? 1 ? 2
2

= x ? 2x ? 1
2

∴平移后图像的解析式为: x ? 2 x ? 1
2

(2)当 y=0 时, x ? 2 x ? 1 =0
2

( x ? 1) 2 ? 2
x ?1 ? ? 2

x1 ? 1 ? 2,x2 ? 1 ? 2
∴平移后的图像与 x 轴交与两点,坐标分别为( 1 ? 2 ,0)和( 1 ? 2 ,0) 由图可知,当 x< 1 ? 2 或 x> 1 ? 2 时,二次函数 y ? ( x ? 1) ? 2 的函数值大于 0.
2

例 6 (2010 湖北孝感) 如图,已知二次函数图像的顶点坐标为(2,0) ,直线 y ? x ? 1 与 二次函数的图像交于 A、B 两点,其中点 A 在 y 轴上。二次函数的解析式为 y= ;

解: y ?

1 2 1 x ? x ? 1(或y ? ( x ? 2) 2 ). 4 4

例 7 (2010 山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ?1 )的抛物线交 y 轴于
5

A 点,交 x 轴于 B , C 两点(点 B 在点 C 的左侧). 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ).求此抛
物线的解析式; 解:设抛物线为 y ? a( x ? 4)2 ? 1 . ∵抛物线经过点 A (0,3) , ∴ 3 ? a(0 ? 4)2 ? 1 .∴ a ?

y

D A
O

1 . 4

∴抛物线为 y ?

1 1 ( x ? 4) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 3 . 4 4

B

C

x

例8

改革开放后, 不少农村用上了自动喷灌设备, 如图所示, 设水管 AB 高出地面 1.5 米, 在 B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间,喷出的水流呈抛物线状,喷头 B 与水流 最高点 C 的连线与水平面成 45°角,水流的最高点 C 比喷头 B 高出 2 米,在所建的 坐标系中,求水流的落地点 F 到 A 点的距离是多少?

分析:要求点 F 到 A 点的距离,也就是求 A、F 两点横坐标的差.又 A 点横坐标为 0, 所以只需求出 F 点横坐标.F 点在抛物线上是抛物线与 x 轴的交点,所以要根据已知条件, 求出抛物线的解析式. 解: 过 C 点作 CD⊥Ox 于 D,BE⊥CD 于 E,则有 CE=BE=2,AB=DE=1.5,则 B(0,1.5),C(2, 3.5). ∵C 为抛物线的最高点,

6

例 9 (2010 四川眉山)如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴 的正半轴上,O 为坐标原点, A 、 B 两点的坐标分别为( ?3 , 0 ) 、 ( 0 , 4) ,抛物线

2 5 y ? x2 ? bx ? c 经过 B 点,且顶点在直线 x ? 上.求抛物线对应的函数关系式; 3 2
y

B N M A O D

C

E

x

解:由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为 y ? ( x ? )2 ? m ∴ 4 ? ? (? ) 2 ? m ∴m? ?

2 3

5 2

2 3

5 2

1 6 2 3 5 2 1 2 2 10 ? x ? x?4 6 3 3

∴所求函数关系式为: y ? ( x ? )2 ? 三、 交点型

若直接或间接已知二次函数图像与 x 轴的两交点坐标, 则可以用交点式 y=a(x-x1)· (x-x2). 解题策略:要注意题目所给的点的坐标特征,如果已知或可求出与 x 轴的交点坐标(纵 坐标为 0) ,就可以采用此法。 例 1 已知二次函数图像与 x 轴交于(-1,0) 、 (3,0)两点,且经过点(1,-5) ,求其解析 式. 5 解:设二次函数解析式为 y=a(x+1)(x-3), 由条件得-5=a(1+1)(1-3). 解得 a= . 4 故所求二次函数解析式为 y= 5 (x+1)(x-3), 4 则 y= 5 2 5 15 x — x— . 4 2 4

例 2 如下图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,若 AC=20,BC=15,∠ABC=90°,求这个二次函数解析式. 解:在 Rt△ABC 中,AB=

AC 2 ? BC 2 + 202 ?152 =25,

1 1 ∵S△ABC= AC·BC= AB·OC, 2 2
7

AC·BC 20×15 ∴OC= = =12. AB 25 ∵AC2=AO·AB, ∴OB=9. 从而得 A、B、C 三点坐标分别为(-16,0) 、 (9,0) 、 (0,12). 1 2 7 于是,利用交点型可求得函数解析式为:y=- x - x+12. 12 12 例3 已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是 x-1=0,抛物线与 x 轴两交点的距离 AC 20 ∴OA= = =16, AB 25
2 2

为 4,求这个二次函数的解析式. 分析∵对称轴方程是 x-1=0,抛物线与 x 轴两交点的距离为 4,由抛物线的对称性知,抛物 线与 x 轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x-x1)(x-x2)求出解析 式. 例4 (2010 重庆綦江县)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 B(12,0)和

C(0,-6) ,对称轴为 x=2.求该抛物线的解析式;
y

P A

O

D B Q x

C

解: (1)方法一:∵A、B 关于 x=2 对称 ∴A(-8,0) 设 y=a( x+8)(x-12)

C 在抛物线上,∴-6=a×8× (?12) ,即 a= ∴该抛物线解析式为: y ?

1 16

1 2 1 x ? x?6 16 4

方法二:∵抛物线过点 C(0,-6) ∴c=-6,即 y=ax2 +bx-6

? b ? 2, 1 1 ?? 由 ? 2a 解得: a ? , b ? ? 16 4 ? ?144a ? 12b ? 6 ? 0

8

∴该抛物线的解析式为 y ? 例 5

1 2 1 x ? x?6 16 4

( 2010 山东莱芜)在平面直角坐标系中,已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 交 x 轴于

A(2,0), B(6,0) 两点,交 y 轴于点 C(0,2 3) .求此抛物线的解析式;
解:∵抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 A(2,0) , B(6,0) , C(0, 2 3) .

? 3 ?a ? ?4a ? 2b ? c ? 0 6 ? ? ∴ ?36a ? 6b ? c ? 0 , 解得 ?b ? ? 4 3 . ? 3 ? ? c ? 2 3 ? ?c ? 2 3 ? ?
∴抛物线的解析式为: y ? 用交点式会更方便 例 6 (2010 湖南株洲) 在平面直角坐标系中,抛物线过原点 O,且与 x 轴交于另一点 A , 其顶点为 B .孔明同学用一把宽为 3cm 带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量: ① 量得 OA ? 3cm ; ② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合, 使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合 (如图 1) , 测得抛物线与直尺右边的交点 C 的刻度读数为 4.5 . 请完成下列问题: (1)写出抛物线的对称轴; (2)求抛物线的解析式;

3 2 4 x ? 3x ? 2 3 . 6 3

(1) x ?

3 2 3 9 3 9 时, y ? ? a ,即 B ( , ? a ) ; 2 4 2 4
9

(2)设抛物线的解析式为: y ? ax( x ? 3) , 当x?

当x?

9 27 9 27 a ,即 C ( , a) , 时, y ? 2 4 2 4

依题意得:

1 27 9 a ? (? a ) ? 4.5 ,解得: a ? . 2 4 4 1 2 3 ∴抛物线的解析式为: y ? x ? x . 2 2

例 7 (2010 云南楚雄)已知:如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴相交于两点 A(1,0), B(3,0).与 y 轴相较于点 C(0,3) . (1)求抛物线的函数关系式; (2)若点 D( 的面积.

7 , m )是抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上一点,请求出 m 的值,并求处此时△ABD 2

y
4

3
2 1 ? 2 ?1 O ?1 ?2 1 2

3

4

x

?a ? b ? c ? 0 ? 解: (1)由题意可知 ?9a ? 3b ? c ? 0 ?c ? 3 ?
2

?a ? 1 ? 解得 ?b ? ?4 ?c ? 3 ?

所以抛物线的函数关系式为 y ? x ? 4x ? 3 . (2)把 D( 所以 S ?ABD

7 7 7 5 , m )代人函数解析式 y ? x2 ? 4x ? 3 中,得 m ? ( ) 2 ? 4 ? ? 3 ? . 2 2 2 4 1 5 5 ? ? (3 ? 1) ? ? . 2 4 4
2

四、 混合型 解题策略:选用合适的方法综合利用题目所给条件。抛物线 y ? ax ? bx ? c 的顶点坐 标为 ? ?

?

b 4ac ? b 2 ? , ? ,这是中考中最多的题型。 4a ? ? 2a
(一)—-—退化三点型 在减负的大背景下旨在考查学生的数学方法和数学思想,不要求繁杂的计算,

例1

(2010 广东东莞)已知二次函数

y ? ? x ? bx ? c 的图象如图所示,它与 x 轴的一
10

2

个交点坐标为(-1,0) ,与 y 轴的交点坐标为(0,3) ⑴求出 b,c 的值,并写出此时二次函数的解析式; ⑵根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围. y 3

-1 O

x

? 1 ? b ? c ? 0 ,解得 ?b ? 2 ,所以抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 2x ? 3 ⑴根据题意,得: ? ?c ? 3 ?c ? 3 ? ?
⑵令 y ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 ;根据图象可得当函数值 y 为正数时,自变量

x 的取值范围是-1< x <3.
例2 (2010 山东东营) 如图, 已知二次函数 y ? ax 2 ? 4 x ? c 的图象与坐标轴交于点 A (-1, 0)和点 B(0,-5) .求该二次函数的解析式; y A
O

x

B

2 ? ?0 ? a ? (?1) ? 4 ? (?1) ? c, 解:根据题意,得 ? 2 ? ?? 5 ? a ? 0 ? 4 ? 0 ? c.

解得

?a ? 1, ? ?c ? ? 5 .

∴二次函数的表达式为 y ? x 2 ? 4x ? 5 . 例3 (2010 湖南常德)如图, 已知抛物线 y ?

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于 A (-4,0) 和 B(1, 2

0)两点,与 y 轴交于 C 点.求此抛物线的解析式;

11

y

A O C

B

x

解:由二次函数 y ?

1 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于 A(?4,0) 、 B(1,0) 两点可得: 2 ?1 3 (?4) 2 ? 4b ? c ? 0, ? ? ?b ? , ?2 解得: ? 2 ? ? ? 1 ? 12 ? b ? c ? 0. c ? ? 2. ? ? ? 2 1 3 故所求二次函数的解析式为 y ? x 2 ? x ? 2 . 2 2

例 4 (2010 湖北恩施自治州) 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y ? x2 ? bx ? c 的 图象与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) ,与 y 轴交于 C(0, -3)点,点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.求这个二次函数的表达式.

解:将 B、C 两点的坐标代入得 ?

?3b ? c ? 0 ?c ? ?3
2

解得: ?

?b ? ?2 ?c ? ?3

所以二次函数的表达式为: y ? x ? 2 x ? 3
2

例 5 (2010 广东中山)已知二次函数 y ? ? x ? bx ? c 的图象如图所示,它与 x 轴的一个 交点坐标为(-1,0) ,与 y 轴的交点坐标为(0,3) . (1)求出 b,c 的值,并写出此二次函数的解析式;

12

(2)根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围.

解: (1)把(-1,0) , (0,3)分别代入 y ? ? x 2 ? bx ? c , 得?

?? 1 ? b ? c ? 0 ?b ? 2 ,解得 ? ?c ? 3 ?c ? 3
2

所以, y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 解得 x1 ? ?1 , x2 ? 3

(2)令 y=0,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 0

所以,由图象可知,函数值 y 为正数时,自变量 x 的取值范围是 -1<x<3.

1 x ? 1 的图象与 x 轴交于点 A. 与 y 轴交于点 B ; 2 1 1 2 二次函数 y ? x ? bx ? c 图象与一次函数 y= x ? 1 的图象交于 B 、 C 两点,与 x 轴交 2 2
例6 (2010 湖北荆门) 已知一次函数 y= 于 D 、 E 两点且 D 点的坐标为 (1,0) ,求二次函数的解析式;

解: ∵ 由题意知:当 x=0 时,y=1, ∴B(0,1),当 y=0 时,x=-2, ∴A(-2,0)

?c ? 1 ?c ? 1 1 2 3 ? ? ∴ ?1 解得 ? 3 , 所以 y ? x ? x ? 1 2 2 ?b?c ? 0 b?? ? ? 2 ?2 ?
2 例 8. (2010 山东临沂) 如图, 二次函数 y ? x ? ax ? b 的图象与 x 轴交于 A(? , 0) , B(2, 0)

1 2

两点,且与 y 轴交于点 C .求该抛物线的解析式,

13

解:根据题意,将 A( ? 代入 y=-x2+ax+b 中,

1 ,0),B(2,0) 2

3 ? 1 1 ? ?? ? a ? b ? 0, ?a ? , 得? 4 2 解这个方程,得 ? 2 ? ? ??4 ? 2a ? b ? 0. ?b ? 1.

全品中所以抛物线的解析式为 y=-x +

2

3 x+1. 2

例 9 (2010 福建福州)如图,在平面直角坐标系中,点 B 在直线 y=2x 上,过点 B 作 x 轴 1 的垂线,垂足为 A,OA=5.若抛物线 y= x2+bx+c 过 O、A 两点.求该抛物线的解析式; 6 1 解:把 O(0,0) 、A(5,0)分别代入 y= x2+bx+c, 6

5 ?c ? 0, ? ? ?b ? ? , 得 ? 25 解得 ? 6 ? 5b ? c ? 0. ? ? ?6 ?c ? 0.
1 5 ∴ 该抛物线的解析式为 y= x2- x. 6 6 例 10(2010 年上海)已知平面直角坐标系 xOy, 抛物线 y=-x2+bx+c 过点 A(4,0)、 B(1,3) . 求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标; 解:抛物线 y=-x2+bx+c 过点 A(4,0)B(1,3).∴ ?
??16 ? 4b ? c ? 0 ?b ? 4 ,? , ??1 ? b ? c ? 3 ?c ? 0

∴ y ? ? x 2 ? 4 x , y ? ?( x ? 2)2 ? 4 ,对称轴为直线 x ? 2 ,顶点坐标为 (2, 4) (二)—-—混合顶点型 例7 (2010 山东聊城)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛

物线经过 A(-1,0) 、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小,并求此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90? 的点 P 的坐标.
14

E

解:∵抛物线经过点 C(0,-3)∴c=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点 A(-1,0) ,

?a ? b ? 3 ? 0, ?a ? 1, ?  解得  对称轴为 x=1,所以 ? b ? ? ? 1.  ?b ? ?2. ? ? 2a
∴抛物线的函数关系式为 y=x2-2x-3 例 11 (2010 四川成都)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交于

A、B 两点 0) , (点 A 在点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C , 点 A 的坐标为 (?3, 若将经过 A、C
两点的直线 y ? kx ? b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点, 且抛物线的对称轴是直线

x ? ?2 .求直线 AC 及抛物线的函数表达式;
解:∵ y ? kx ? b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点,

3) 。 ∴ b ? 3 , C (0, 0) 代入 y ? kx ? 3 ,得 ?3k ? 3 ? 0 。解得 k ? 1 。 将 A (?3,
∴直线 AC 的函数表达式为 y ? x ? 3 。 ∵抛物线的对称轴是直线 x ? ?2

?9a ? 3b ? c ? 0 ?a ? 1 ? b ? ? ∴ ?? 解得 ?b ? 4 ? ?2 ?c ? 3 ? 2a ? c ? 3 ? ?
∴抛物线的函数表达式为 y ? x ? 4x ? 3 。
2

例 12. (2010 山东聊城)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛
15

物线经过 A(-1,0) 、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小,并求此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90? 的点 P 的坐标.

E

解: (1)∵抛物线经过点 C(0,-3)∴C=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点 A(-1,

?a ? b ? 3 ? 0, ?a ? 1, ?  解得  0) ,对称轴为 x=1,所以 ? b ? ? ? 1.  ?b ? ?2. ? ? 2a
∴抛物线的函数关系式为 y=x2-2x-3 (2)∵点 A(-1,0) ,对称轴为 x=1,∴点 B(2,0) . 设直线 BC 的函数关系式为 y=kx+b,根据题意得

??k ? b ? 0, ?k ? ?3,  解得 ? ? ?b ? ?3? ?b ? ?3?

∴直线 BC 的函数关系式为 y=-3x-3, 当 x=1 时, y=-6,∴点 P 的坐标为 (1,-6) .

例 12. (2009 烟台)如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 3 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于 C
2

点,且经过点( 2 , ?3a ) ,对称轴是直线 x ? 1 ,顶点是 M . (1) 求抛物线对应的函数表达式; (2) 经过 C ,M 两点作直线与 x 轴交于点 N ,在抛物线上是否存在这样的点 P ,使以点 P、A、C、N 为顶点的四边形为平行四边形?

16

五、不已知函数类型,由实际问题之间的数量关系建立函数关系式(一般是实际应用题或 几何应用题)

17



更多相关文章:
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的 解析式是解决二次函数问题的...
如何求二次函数的解析式
如何求二次函数的解析式_数学_初中教育_教育专区。如何求二次函数的解析式湖北省郧西县马鞍镇初级中学 杨耀军 442633 二次函数解析式的求法,由于类型繁多、 灵活...
怎样求二次函数的解析式
解题策略:通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标, 然后用待定系数法求解析式,此类问题是中考中最常见的一类。 例 1 已知二次函数图像经过(1,0)(...
如何求二次函数的解析式
4.(2001 云南曲靖)已知直线 y=x-3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,二次函数的图象经过 A、 B 两点,且对称轴方程为 x=1,求此二次函数的解析式...
怎样求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式二次函数是中考数学的一个重要考点也是一个难点,往往会综合其他函数和几何而作 为压轴题,有一定的难度。这些问题又常常以求二次函数的解析...
求二次函数解析式的基本方法及练习题
求二次函数解析式的基本方法及练习题二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出 二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证...
求二次函数解析式的三种基本方法和十种策略
求二次函数解析式的三种基本方法和十种策略 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式 是解决二次函数问题的...
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。 1, 已知抛物线 y=ax +bx+c 经过 A( 3 ,0) ,B( 2 3 ,0) ,C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。 2 2,...
二次函数解析式的求解方法整版
式 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)其中 x1,x2 是抛物线与 X 轴的交点坐标 二、二次函数解析式求法 二次函数解析式的求解分以下两种情况: (一)二次函数...
更多相关标签:
怎样求二次函数解析式    二次函数解析式的求法    二次函数求解析式    求二次函数的解析式    如何求二次函数解析式    二次函数怎么求解析式    求二次函数解析式ppt    二次函数解析式求法    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图