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江苏省南通市通州区2012年暑假自主学习 高一数学单元检测五:数列与不等式(金沙季汉杰)



高一数学暑假自主学习单元检测五

数列与不等式
命题人:金沙中学 季汉杰
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1.不等式

1 ? 1 的解集为 x

. .

2. 在等差数列 {an } 中,a3 ? a9 ? 10 ,a5 ? a15 ? 22 ,

则该数列的前 15 项和 S15 ? 3.函数 y ? 2 ? 3 x ? ??( x ? 0) 的最大值为

4 x

.

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.已知变量 x、 y 满足约束条件 ? x ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ?y ? 2 ? 0 ?
5.已知 an ? 3n ? 1, ,则 a1 ? a4 ? a7 ???? ? a3n?2 = 6.数列 {an } 的通项式 a n ?
2

.

. .

n ,则数列 {an } 中的最大项是 n ? 90

7.已知{ an }是公差不为 0 的等差数列,不等式 x2 ? a3 x ? a4 ? 0 的解集是 ?x | a1 ? x ? a2 ? , 则 an = .

8.若 x, a, b, y 成等差数列, x, c, d , y 成等比数列,则 形式表示)

( a ? b) 2 ? cd

.(结果用区间

a ? a9 1 9.在正项等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,设 P ? (log 1 a5 ? log 1 a7 ), Q ? log 1 3 ,则 P 与 Q 2 2 2 2 2

的大小关系是

.

10.已知数列 {an } 为等差数列,若

a11 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn >0 的 a10

n 的最大值为

.

11.设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 ,a4 ? 6 ,S3 ? 12 , 则 a2010 = .

12.等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解集为[0,22], 2? 2 ?

则使数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 13.设实数 x , y 满足 1 ? xy 2 ? 2, 4 ?

.

x2 x2 ? 9 ,则 6 的范围为 y y

.

2 ≤ a6 ≤ 3 , 14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 1 ≤ a5 ≤ 4 , 则 S6 的取值范围是
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ?an ? 的通项; (2)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ?

.

? a19 值.

16.(本小题满分 14 分) 本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不 超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该 公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万 元?

17.(本小题满分 14 分) 设不等式 ax ? 2ax ? 4 ? 2 x ? 4 x 对任意实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围.
2 2

18.(本小题满分 16 分) 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

19.(本小题满分 16 分)

设 {an } 是 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 并 且 对 于 所 有 的 n ? N * , 都 有
8Sn ? (an ? 22) .

(1)写出数列 {an } 的前 3 项; (2)求数列 {an } 的通项公式(写出推证过程);

(3)设 bn ?

m 4 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N * 都成立 20 a n ? a n ?1

的最小正整数 m 的值.

20.(本小题满分 16 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N * ,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4an

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高一数学暑假自主学习单元检测五参考答案
一、填空题: 1.答案: (0,1) ; 2.答案:120; 3.答案: 2 ? 4 3 4.答案:5 5.答案: a ? 4 2 6.答案:第 9 项和第 10 项 7.答案:2n 8.答案: (??, 0] ? [4, ??) 9.答案: P ? Q 10.答案:19 11.答案:4020 12.答案:11 13.答案: [4,81] 14.答案: [?12, 42] 二、解答题: 15.解: (1) (2)

a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3

? an ? 2 8? 3 n

28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

1 ,∴数列 ?an ? 从第 10 项开始小于 0 ; 3

(3) a1 ? a3 ? a5 ?

? a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项

其和 S ? 10 ? 25 ?

10 ? 9 ? (?6) ? ?20 . 2

16.解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元, 由题意得:

? x ? y ≤ 300, ? ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) . ? 点 M 的坐标为 (100,

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益 是 70 万元. 17.解:原式化简为 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 ,
2

当 a ? 2 ? 0 时, ? 4 ? 0 恒成立,所以 a ? 2 适合; 当 a ? 2 ? 0 时, ? ? 0 ,

? ? [2(a ? 2)]2 ? 16(a ? 2) ? 4(a ? 2)(a ? 2) ? 0
得 ? 2 ? a ? 2 因为 a ? 2 所以 ? 2 ? a ? 2 , 综合得 ? 2 ? a ? 2 。 18.解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. ①

广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a ? 40b =18500+2 1000 ab ? 24500 . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, >20,y>25

y ? 25 , 其中 x 2

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2 当且仅当

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20 18000 +25,得 y=175, x ? 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 19.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2 n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2 n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵ 8Sn ? (an ? 2)
2

∴ a1 ? 2 ∴ a2 ? 6 ∴ a3 ? 10
2

∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2) (n ? 1)
2 2

两式相减得: 8an ? (an ? 2) ? (an?1 ? 2) 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4

即 an ? an?1 ? 4an ? 4an?1 ? 0
2 2

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
1 1 1 1 ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5 ?( 1 1 ? )] (2n ? 1) (2n ? 1)

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2

∵ Tn ?

m 对所有 n ? N ? 都成立 20



m 1 ? 20 2

即 m ? 10

故 m 的最小值是 10 。 20.解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的
x
?

图像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2



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