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014 函数的奇偶性


高三数学学案 序号 014

高三年级 6、15 班 教师王德鸿

学生

课题: 函数的奇偶性(再巩固)
〖教学目的〗1、掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性。 2、能利用函数的奇偶性解决问题。 〖重点难点〗重点:判断函数的奇偶性、奇偶性的应用 〖教学过程〗 一、知识归纳 1、函数的奇偶性: 定义域对称是函数具有奇偶性的 2、奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性 性 ; ;若 f (x) 是偶函数,则 f ( x ) = ; 难点:奇偶性的应用

条件 ,偶函数在关于原点对称的两个区间上单调

(2)若奇函数 f (x) 在原点处有意义,则 f (0) = 3、判断奇偶性的方法 (1)直接法:直接观察解析式 f (x) 与 f (? x) 的关系;

(2)间接法:①、观察 f (x) + f (? x) =0或 f (x) - f (? x) =0是否有一个成立; ②、利用一下结论:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇 ? 奇=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇; ③、图像法:奇函数?图象关于原点对称;偶函数?图象关于轴对称; 二、例题讲解 例 1、3 分钟检测: (快又准!! !) 1、在平面直角坐标系中,点 (a, b) 关于原点对称的点是 关于 x 轴对称的点是 2、下列函数中,是奇函数的是( (A) y ? x 2 ? x (B) y ? x 2 ? 1 . ) (C) y ? x 3 ? x ) (C) y ? x 2 ? 2 ) (D) y ?
1 ? x x

;关于 y 轴对称的点是



(D) y ? x 2 ? x 3

3、下列函数中,是偶函数的是( (A) y ? ( x ? 1) 2 4、已知函数 y ? ? (B) y ? x 2 ? 2 x

2 ,下列说法正确的是( x

(A)函数图象关于 x 轴对称 (C)函数图象关于原点对称 5、下列命题中错误的是( )

(B)函数图象关于 y=x 轴对称 (D)函数图象关于 y 轴对 ②奇函数的图象一定过原点

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ③偶函数的图象与 y 轴一定相交 A.①② B.③④

④图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数 D.②③ )

C.①④

6、下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的是( A.y=x
3

B.y=-x +1

2

C.y=|x|+1
1

D.y=2

-|x|

5 分钟训练: 练习 1、 给定下列函数: 1)f ( x) ? x (
4

(2)f ( x) ?

x x

(3) y ? sin x

(4)f ( x) ? x

2

x ?[?1, 2]

(5) y ? cos x

(6) f ( x) ?

x3 ? x 2 x ?1

其中

是奇函数;

是偶函数;

是非奇非偶函数。 练习 2、函数 f ( x) ? A.y 轴对称

1 ? x 的图像关于( x
B.直线 y=-x 对称
3

) C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

练习 3、设函数 f ( x) ? x cos x ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f(-a)=_______

练习 4、设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f ( x) ? 2 x ? x, 则f (1) ? (
2



(A)-3

(B)-1

(C)1

(D) 3

例 2、判断函数 f ( x) ? log 2 ( x ?

x 2 ? 1)( x ? R) 的奇偶性

变式训练:已知 g ? x ? 是奇函数, f ? x ? ? log 2

?

1 x2 ? 1 ? x ? g ? x ? ? 2x ,且 f ? ?3? ? 5 ,求 f ? 3 ? 。 8

?

例 3、已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,

?1? 求证: f ( x) 为奇函数;

? 2 ? 若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) .

2

课后作业: 1、设函数 f ? x ? 和 g ? x ? 分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ? x ? ? g ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? ? g ? x ? 是偶函数 B. f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数

2、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 3 ,则 f ? ?2 ? 的值等于( )
x

A.-1

B.1

11 C. 4

11 D.- 4

3、若函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=( A.1 B.-1 C.0

) D.不存在

4、设 f(x)在[-2,-1]上为减函数,最小值为 3,且 f(x)为偶函数,则 f(x)在[1,2]上( A.为减函数,最大值为 3 C.为增函数,最大值为-3 B.为减函数,最小值为-3 D.为增函数,最小值为 3

)

y
5、设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5, 5? 若当 x ? ? 0, 5? 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是

y ? f ( x) 5 ? ? O 2 ? x

6、已知函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (2) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (3) ?

7、设 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 2 ? 2 x ? b ( b 为常数),则
x

f ??1? ?

3

4x ?1 8、函数 f ? x ? ? 的图象关于 2x

对称

9、已知函数 f ( x) 是定义在 ? ??, ?? ? 上的偶函数.当 x ? ? ??, 0 ? 时, f ( x) ? x ? x ,则当 x ? ? 0, ?? ? 时,
4

f ( x) ?

10、若 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

g ( x) ?

1 ,则 f ( x) ? x ?1



11、判断下列函数的奇偶性 (1) g ( x) ? 3 ? 3
x ?x

(3) f ( x) ? x (5) f ( x) ?

4

(3) f ( x) ? x

5

(4) f ( x) ? x ? (6) f ( x) ?

1 x

1 x2
(7) f ( x ) ?

x3 ?1 ? 1 ? x3

x ?1 x ?1

(8) f ( x) ? 2 x ? 3
2

(9) f ( x) ?

x2 ?1 ? 1? x2

12、探究题:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R .

?1? 讨论 f ( x) 的奇偶性; ? 2 ? 求

f ( x) 的最小值.

4


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