2-2.1.2离散型随机变量的分布列

2．1.2 离散型随机变量的分布列

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概 念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 3．通过实例(如彩票抽奖)，理解两点分布和超几何分布及 其导出过程，并能进行简单应用．

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第二章 随机变量及其分布

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1．离散型随机变量及其分布列的概念．(重点) 2．离散型随机变量分布列的表示方法和性质．(重点)

3．两点分布与超几何分布．(难点)

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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在 2008 年北京奥运会上，姚明率领的中国男篮与美国、西 班牙、希腊、德国以及安哥拉分在“死亡之组”，最终他们以 与美国创造最小差距，四节比赛与西班牙战平，加时惜败，然

后战胜了安哥拉和德国的优异成绩成功出线，平了中国男子篮
球在奥运会上的最好成绩．据统计姚明的罚球命中率为81.4%， 若在一次比赛中，姚明得到 5 次罚球机会，那么姚明在这 5 次罚 球中能得多少分？

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第二章 随机变量及其分布

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1．离散型随机变量的分布列

(1)定义：若离散型随机变量 X可能取的不同值为x1，x2，?， xi，?，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，?，n)的概率P(X＝xi)＝Pi， 以表格的形式表示如下：

X P

x1 P1

x2 P2

? ?

xi Pi

? ?

xn Pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的 分布 列 ．

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第二章 随机变量及其分布

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(2)离散型随机变量的表示法： 表格法 、 等式法 (3)性质 、 图象法 ．

①
②i＝1.

Pi≥0

；

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第二章 随机变量及其分布

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2．两点分布列
X P 0 1－P 1 P

像上面这样的分布列叫做两点分布列，如果随机变量X的分 布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称P＝ P(x＝1) 为 成功概率．

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第二章 随机变量及其分布

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3．超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为 － CMkCN－Mn k CNn P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，?，m， 其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 称分布列

X

0

1

?

m

CM0CN－Mn－0 CM1CN－Mn－1 CMmCN－Mn－m ? P CNn CNn CNn
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第二章 随机变量及其分布

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为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，
则称随机变量X服从超几何分布．

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第二章 随机变量及其分布

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1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是(

)

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第二章 随机变量及其分布

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解析： 本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应 互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，?，n， ?P(ξi)＝1.
i＝1 n

A中ξ的取值出现了重复性； 1 B中P(ξ＝0)＝－4＜0， 1 2 3 6 C中 ?P(ξi)＝5＋5＋5＝5＞1. i＝1
3

答案： D

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第二章 随机变量及其分布

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2．设离散型随机变量ξ的概率分布列为
ξ P －1 1 10 0 1 5 1 1 10 2 1 5 3 2 5

则下列各式中成立的是(
A．P(ξ＝1.5)＝0 C．P(ξ<3)＝1

)
B．P(ξ>－1)＝1

D．P(ξ<0)＝0

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第二章 随机变量及其分布

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9 解析： P(ξ>－1)＝1－P(ξ＝－1)＝ ， 10 2 3 P(ξ<3)＝1－P(ξ＝3)＝1－ ＝ ， 5 5 1 P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝ . 10
答案： A

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第二章 随机变量及其分布

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3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1

P
则a＝________.

2a

3a

解析： 由离散型随机变量分布列的性质可知， 2a＋3a＝1， 1 解得 a＝5.

1 答案： 5
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第二章 随机变量及其分布

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4．从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加抗震

救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．
解析： 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以 P(X C3kC22 k ＝k)＝ C 2 (k＝0,1,2)． 5
－

C30C22 1 P(X＝0)＝ C 2 ＝10＝0.1， 5 C31C21 6 P(X＝1)＝ C 2 ＝10＝0.6， 5

C32C20 3 P(X＝2)＝ C 2 ＝10＝0.3 5
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第二章 随机变量及其分布

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(或P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1) ＝1－0.1－0.6＝0.3)．

故随机变量X的分布列为
X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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? k? 设随机变量X的分布列P?X＝5?＝ak(k＝1,2,3,4,5)． ? ?

(1)求常数a的值；
? 3? (2)求P?X≥5?； ? ? ?1 7? (3)求P?10＜X＜10?. ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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由题目可获取以下主要信息： ①随机变量的分布列已知； ②求参数a的值及相应区间上的概率． 解答本题中的(1)可利用分布列的性质，对于(2)(3)两问可借 助互斥事件的概率求法求解．

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第二章 随机变量及其分布

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[解题过程]

? k? (1)由P?X＝5?＝ak，k＝1,2,3,4,5可知 ? ?

? k? 5 P?X＝5?＝ ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， ? k＝1 k＝1 ?

?

5

?

1 解得a＝ . 15
? k? k (2)由(1)可知P?X＝5?＝ (k＝1,2,3,4,5)， ? ? 15 ? ? ? 3? 3? 4? ∴P?X≥5?＝P?X＝5?＋P?X＝5?＋P(X＝1) ? ? ? ? ? ?

3 4 5 4 ＝ ＋ ＋ ＝ . 15 15 15 5
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第二章 随机变量及其分布

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?1 ? ? ? 7? 1? 2? 3? (3)P?10＜X＜10?＝P?X＝5?＋P?X＝5?＋P?X＝5? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 3 2 ＝15＋15＋15＝5.
[题后感悟] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个 问题． (1)X＝xi的各个取值表示的事件是互斥的． (2)不仅要注意 ?pi＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，?，n.
i＝1 n

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第二章 随机变量及其分布

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i 1.设随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)，求： 10 (1)P(X＝1 或 X＝2)；
?1 7? (2)P?2＜X＜2?. ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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解析： 分布列为

i 由P(X＝i)＝ (i＝1,2,3,4)可知，随机变量X的 10

X P

1 1 10

2 2 10

3 3 10

4 4 10

(1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) 1 2 ＝10＋10 3 ＝ 10
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第二章 随机变量及其分布

?1 7? (2)P?2＜X＜2?＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ? ?

1 2 3 ＝ ＋ ＋ 10 10 10 3 ＝ . 5

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第二章 随机变量及其分布

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在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖 券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价 值10元的奖品；其余6张没有奖品． (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取 1张，求中奖次数 X的分布 列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，

①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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[解题过程]

(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情

况，故X的取值只有0和1两种情况． C41 4 2 P(X＝1)＝C 1＝10＝5， 10 2 3 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－5＝5. 因此X的分布列为
X P 0 3 5 1 2 5

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第二章 随机变量及其分布

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(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券 中有1张中奖或2张都中奖． C41C61＋C42C60 30 2 故所求概率P＝ ＝45＝3. C 2
10

②X的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 C40C62 15 1 C31C61 18 2 P(Y＝0)＝ C 2 ＝45＝3，P(Y＝10)＝ C 2 ＝45＝5， 10 10 C32C60 3 1 C11C61 6 P(Y＝20)＝ ＝ ＝ ，P(Y＝50)＝ ＝ ＝ C102 45 15 C102 45 2 15，
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第二章 随机变量及其分布

C11C31 3 1 P(Y＝60)＝ ＝ ＝ . C102 45 15 因此随机变量Y的分布列为

Y P

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15

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第二章 随机变量及其分布

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[题后感悟] 求解超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽 到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝ CMkCN－Mn CNn
－k

，k＝

0,1,2，?，m.其中，m＝min{M，n}．这里的N是产品总数， M是产品中的次品数，n是抽样的样品数，且 0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n－k≤N－M. (3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求 得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．

(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示.
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第二章 随机变量及其分布

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2.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．采取不放回抽样

方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的两球中白球的个数，
求X的分布列，并求至少有一个白球的概率．

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第二章 随机变量及其分布

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解析： 由题可知，X服从超几何分布，其中N＝5，M ＝2，n＝2. C20C32 3 C21C31 3 则有P(X＝0)＝ C 2 ＝10，P(X＝1)＝ C 2 ＝5， 5 5 C22C30 1 P(X＝2)＝ C 2 ＝10. 5 所以X的分布列为： X 0
P 3 10 1 3 5 2 1 10

所以至少有一个白球的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0) 3 7 ＝1－10＝10.
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第二章 随机变量及其分布

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3．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝
? ?0 ? ? ?1

两球全红 .求X的分布列． 两球非全红
解析： C62 3 显然X服从两点分布，P(X＝0)＝ 2＝ . C11 11

3 8 ∴P(X＝1)＝1－11＝11， ∴X的分布列是
X P 0 3 11 1 8 11
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第二章 随机变量及其分布

袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3
个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的 可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的概率分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．

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第二章 随机变量及其分布

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解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关
键在于确定X的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20 分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其 概率．

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第二章 随机变量及其分布

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[规范解答]

(1)方法一：“一次取出的 3 个小球上的数

字互不相同”的事件记为 A， C53C21C21C21 2 则 P(A)＝ ＝3. C103 4分

方法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的 事件记为 A，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的 事件记为 B，则事件 A 和事件 B 是对立事件， C51C22C81 1 因为 P(B)＝ C 3 ＝3， 10 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3 2分 3分 4分

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第二章 随机变量及其分布

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(2)由题意，X 所有可能的取值为 2,3,4,5.5 分 C22C21＋C21C22 1 P(X＝2)＝ ＝30； C103 C42C21＋C41C22 2 P(X＝3)＝ ＝ ； C103 15 C62C21＋C61C22 3 P(X＝4)＝ ＝10； C103 C82C21＋C81C22 8 P(X＝5)＝ ＝15. C103 所以随机变量 X 的概率分布列为 6分 7分 8分 9分

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第二章 随机变量及其分布

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X P

2 1 30

3 2 15

4 3 10

5 8 15

10 分 (3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C，则 P(C)＝P(X＝3 或 X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) 2 3 13 ＝ ＋ ＝ . 15 10 30 12 分

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第二章 随机变量及其分布

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[题后感悟] (1)求离散型随机变量分布列的步骤

(2)在求解过程中注重知识间的融合，如在本例中用到了排 列组合，古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识．
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第二章 随机变量及其分布

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4.某地为了解在公务员招考中考生考试成绩情况，从甲、乙

两个考场各抽取 10 名考生成绩进行统计分析，考生成绩的茎叶
图如图所示，成绩不小于90分为合格．

从甲场 10 人中取一人，乙场 10 人中取两人，三人中合格人 数记为X，求X的分布列．
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第二章 随机变量及其分布

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解析： 甲场10人中有4人合格，乙场10人中有5人合 格， X取值为0,1,2,3. C61C52 2 P(X＝0)＝C 1C 2＝15 10 10 C61C51C51＋C41C52 19 P(X＝1)＝ ＝45 C101C102 C61C52＋C41C51C51 16 P(X＝2)＝ ＝ C101C102 45 C41C52 4 P(X＝3)＝ 1 2＝ C10 C10 45
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第二章 随机变量及其分布

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所以X的分布列为
X P 0 2 15 1 19 45 2 16 45 3 4 45

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第二章 随机变量及其分布

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1．离散型随机变量的分布列有哪些表示方法？各有什么优

缺点？
优点 表格法 能直观地得到随机变量X 取各个不同值的概率 缺点 当随机变量X取值个 数n比较大时，不容 易列表 不直观

能精确表达X取各个不同 解析法P(X 值的概率值，便于应用数 ＝xi)＝pi i＝ 学工具对这些概率值进行 1,2， ?，n 分析
图象法(条 形图)
工具

能直观地表达X取各个不 同值的概率的大小
第二章 随机变量及其分布

不能精确表达概率值
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2.离散型随机变量的分布列的性质有什么作用？

(1)检查写出的分布列是否正确．
(2)在求出分布列中的某些参数时，可利用其概率和为1这一

条件求出参数值．
3．如何理解两点分布？ (1)适用范围： ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律． ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．

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第二章 随机变量及其分布

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(2)说明： ①两点分布又称0－1分布或伯努利分布． ②两点分布反映随机试验的结果只有两种可能且其概 率之和为1. 4．如何理解超几何分布中事件{X＝k}的概率公式 CMkCN－Mn－k P(X＝k)＝ ？ CNn

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第二章 随机变量及其分布

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事件{X＝k}表示从含有M件次品的N件产品中，任取n 件，其中恰有k件次品这一随机事件，因为它的基本事件是 从N件产品中任取n件，且任意一个基本事件是等可能 的．所以它有CNn个基本事件，而其中恰有k件次品，则必有 n－k件正品，因此，事件{X＝k}中含有CMkCN－Mn k个基本事
－

CMkCN－Mn－k 件，由古典概型的概率公式知P(X＝k)＝ . CNn

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第二章 随机变量及其分布

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◎一盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次取出1个 零件．如果取出的是次品不再放回．求在取得正品前已取
? 5? 出的次品数X的分布列，并求P?X≤2?的值． ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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【错解】

X的所有可能取值为1,2,3.

分别求出对应的概率： C31C91 9 P(X＝1)＝ A 2 ＝44， 12 A32C91 9 P(X＝2)＝ A 3 ＝220， 12 A33C91 1 P(X＝3)＝ A 4 ＝220. 12 因此随机变量X的分布列为

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第二章 随机变量及其分布

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X P

1 9 44

2 9 220

3 1 220

? 5? 9 9 27 ? ? 故P X≤2 ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝44＋220＝110. ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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【错因】

X的可能取值不是1,2,3，试验结果的所有可能情

况不全，漏掉X＝0，即第一次取正品，试验中止情况．
综合考虑，分类全面，做到不重不漏．

【正解】

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

X＝0表示第一次取到正品． C91 3 则P(X＝0)＝C 1＝4. 12 X＝1表示第一次取到次品，第二次取到正品． C31C91 9 则P(X＝1)＝ A 2 ＝44. 12

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第二章 随机变量及其分布

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A32C91 9 A33C91 1 同理可求得 P(X＝2)＝ ＝ ，P(X＝3)＝ ＝ . A123 220 A124 220 因此随机变量 X 的分布列为

X P

0 3 4

1 9 44

2 9 220

3 1 220

? 5? 3 9 9 故P ?X≤2? ＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 4 ＋ 44 ＋ 220 ＝ ? ?

219 . 220
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第二章 随机变量及其分布

练考题、验能力、轻巧夺冠
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第二章 随机变量及其分布