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2-2.1.2离散型随机变量的分布列



2.1.2 离散型随机变量的分布列

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第二章 随机变量及其分布

栏目导引

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第二章 随机变量及其分布

栏目导引

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概 念.认识分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散

型随机变量分布列的表示方法和性质. 3.通过实例(如彩票抽奖),理解两点分布和超几何分布及 其导出过程,并能进行简单应用.

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第二章 随机变量及其分布

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1.离散型随机变量及其分布列的概念.(重点) 2.离散型随机变量分布列的表示方法和性质.(重点)

3.两点分布与超几何分布.(难点)

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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在 2008 年北京奥运会上,姚明率领的中国男篮与美国、西 班牙、希腊、德国以及安哥拉分在“死亡之组”,最终他们以 与美国创造最小差距,四节比赛与西班牙战平,加时惜败,然

后战胜了安哥拉和德国的优异成绩成功出线,平了中国男子篮
球在奥运会上的最好成绩.据统计姚明的罚球命中率为81.4%, 若在一次比赛中,姚明得到 5 次罚球机会,那么姚明在这 5 次罚 球中能得多少分?

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第二章 随机变量及其分布

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1.离散型随机变量的分布列

(1)定义:若离散型随机变量 X可能取的不同值为x1,x2,?, xi,?,xn,X取每一个值xi(i=1,2,?,n)的概率P(X=xi)=Pi, 以表格的形式表示如下:

X P

x1 P1

x2 P2

? ?

xi Pi

? ?

xn Pn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称X的 分布 列 .

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第二章 随机变量及其分布

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(2)离散型随机变量的表示法: 表格法 、 等式法 (3)性质 、 图象法 .


②i=1.

Pi≥0



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第二章 随机变量及其分布

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2.两点分布列
X P 0 1-P 1 P

像上面这样的分布列叫做两点分布列,如果随机变量X的分 布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称P= P(x=1) 为 成功概率.

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第二章 随机变量及其分布

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3.超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件, 其中恰有 X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为 - CMkCN-Mn k CNn P(X=k)= ,k=0,1,2,?,m, 其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 称分布列

X

0

1

?

m

CM0CN-Mn-0 CM1CN-Mn-1 CMmCN-Mn-m ? P CNn CNn CNn
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第二章 随机变量及其分布

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为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,
则称随机变量X服从超几何分布.

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第二章 随机变量及其分布

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1.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是(

)

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第二章 随机变量及其分布

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解析: 本题考查分布列的概念及性质,即ξ的取值应 互不相同且P(ξi)≥0,i=1,2,?,n, ?P(ξi)=1.
i=1 n

A中ξ的取值出现了重复性; 1 B中P(ξ=0)=-4<0, 1 2 3 6 C中 ?P(ξi)=5+5+5=5>1. i=1
3

答案: D

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第二章 随机变量及其分布

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2.设离散型随机变量ξ的概率分布列为
ξ P -1 1 10 0 1 5 1 1 10 2 1 5 3 2 5

则下列各式中成立的是(
A.P(ξ=1.5)=0 C.P(ξ<3)=1

)
B.P(ξ>-1)=1

D.P(ξ<0)=0

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第二章 随机变量及其分布

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9 解析: P(ξ>-1)=1-P(ξ=-1)= , 10 2 3 P(ξ<3)=1-P(ξ=3)=1- = , 5 5 1 P(ξ<0)=P(ξ=-1)= . 10
答案: A

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第二章 随机变量及其分布

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3.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1

P
则a=________.

2a

3a

解析: 由离散型随机变量分布列的性质可知, 2a+3a=1, 1 解得 a=5.

1 答案: 5
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第二章 随机变量及其分布

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4.从某医院的3名医生,2名护士中随机选派2人参加抗震

救灾,设其中医生的人数为X,写出随机变量X的分布列.
解析: 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布,所以 P(X C3kC22 k =k)= C 2 (k=0,1,2). 5


C30C22 1 P(X=0)= C 2 =10=0.1, 5 C31C21 6 P(X=1)= C 2 =10=0.6, 5

C32C20 3 P(X=2)= C 2 =10=0.3 5
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第二章 随机变量及其分布

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(或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-0.1-0.6=0.3).

故随机变量X的分布列为
X P 0 0.1 1 0.6 2 0.3

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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? k? 设随机变量X的分布列P?X=5?=ak(k=1,2,3,4,5). ? ?

(1)求常数a的值;
? 3? (2)求P?X≥5?; ? ? ?1 7? (3)求P?10<X<10?. ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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由题目可获取以下主要信息: ①随机变量的分布列已知; ②求参数a的值及相应区间上的概率. 解答本题中的(1)可利用分布列的性质,对于(2)(3)两问可借 助互斥事件的概率求法求解.

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第二章 随机变量及其分布

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[解题过程]

? k? (1)由P?X=5?=ak,k=1,2,3,4,5可知 ? ?

? k? 5 P?X=5?= ak=a+2a+3a+4a+5a=1, ? k=1 k=1 ?

?

5

?

1 解得a= . 15
? k? k (2)由(1)可知P?X=5?= (k=1,2,3,4,5), ? ? 15 ? ? ? 3? 3? 4? ∴P?X≥5?=P?X=5?+P?X=5?+P(X=1) ? ? ? ? ? ?

3 4 5 4 = + + = . 15 15 15 5
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第二章 随机变量及其分布

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?1 ? ? ? 7? 1? 2? 3? (3)P?10<X<10?=P?X=5?+P?X=5?+P?X=5? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 3 2 =15+15+15=5.
[题后感悟] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个 问题. (1)X=xi的各个取值表示的事件是互斥的. (2)不仅要注意 ?pi=1而且要注意pi≥0,i=1,2,?,n.
i=1 n

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第二章 随机变量及其分布

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i 1.设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3,4),求: 10 (1)P(X=1 或 X=2);
?1 7? (2)P?2<X<2?. ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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解析: 分布列为

i 由P(X=i)= (i=1,2,3,4)可知,随机变量X的 10

X P

1 1 10

2 2 10

3 3 10

4 4 10

(1)P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2) 1 2 =10+10 3 = 10
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第二章 随机变量及其分布

?1 7? (2)P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) ? ?

1 2 3 = + + 10 10 10 3 = . 5

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第二章 随机变量及其分布

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在一次购物抽奖活动中,假设 10 张奖券中有一等奖奖 券 1 张,可获价值 50 元的奖品,有二等奖奖券 3 张,每张可获价 值10元的奖品;其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取 1张,求中奖次数 X的分布 列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,

①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的分布列.

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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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[解题过程]

(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情

况,故X的取值只有0和1两种情况. C41 4 2 P(X=1)=C 1=10=5, 10 2 3 则P(X=0)=1-P(X=1)=1-5=5. 因此X的分布列为
X P 0 3 5 1 2 5

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第二章 随机变量及其分布

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(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类:所抽取的2张奖券 中有1张中奖或2张都中奖. C41C61+C42C60 30 2 故所求概率P= =45=3. C 2
10

②X的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 C40C62 15 1 C31C61 18 2 P(Y=0)= C 2 =45=3,P(Y=10)= C 2 =45=5, 10 10 C32C60 3 1 C11C61 6 P(Y=20)= = = ,P(Y=50)= = = C102 45 15 C102 45 2 15,
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第二章 随机变量及其分布

C11C31 3 1 P(Y=60)= = = . C102 45 15 因此随机变量Y的分布列为

Y P

0 1 3

10 2 5

20 1 15

50 2 15

60 1 15

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第二章 随机变量及其分布

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[题后感悟] 求解超几何分布问题的注意事项 (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽 到的次品数服从超几何分布. (2)在超几何分布公式中,P(X=k)= CMkCN-Mn CNn
-k

,k=

0,1,2,?,m.其中,m=min{M,n}.这里的N是产品总数, M是产品中的次品数,n是抽样的样品数,且 0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n-k≤N-M. (3)如果随机变量X服从超几何分布,只要代入公式即可求 得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值.

(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.
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第二章 随机变量及其分布

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2.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.采取不放回抽样

方式,从中依次摸出两个球,记X为摸出的两球中白球的个数,
求X的分布列,并求至少有一个白球的概率.

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第二章 随机变量及其分布

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解析: 由题可知,X服从超几何分布,其中N=5,M =2,n=2. C20C32 3 C21C31 3 则有P(X=0)= C 2 =10,P(X=1)= C 2 =5, 5 5 C22C30 1 P(X=2)= C 2 =10. 5 所以X的分布列为: X 0
P 3 10 1 3 5 2 1 10

所以至少有一个白球的概率为P(X≥1)=1-P(X=0) 3 7 =1-10=10.
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第二章 随机变量及其分布

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3.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=
? ?0 ? ? ?1

两球全红 .求X的分布列. 两球非全红
解析: C62 3 显然X服从两点分布,P(X=0)= 2= . C11 11

3 8 ∴P(X=1)=1-11=11, ∴X的分布列是
X P 0 3 11 1 8 11
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第二章 随机变量及其分布

袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3
个小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取出的 可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求: (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量X的概率分布列; (3)计算介于20分到40分之间的概率.

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第二章 随机变量及其分布

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解答本题(1)利用古典概型公式求解即可;解答本题(2)的关
键在于确定X的所有可能取值;解答本题(3)由题意知计算介于20 分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和,由(2)易得其 概率.

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第二章 随机变量及其分布

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[规范解答]

(1)方法一:“一次取出的 3 个小球上的数

字互不相同”的事件记为 A, C53C21C21C21 2 则 P(A)= =3. C103 4分

方法二:“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的 事件记为 A,“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的 事件记为 B,则事件 A 和事件 B 是对立事件, C51C22C81 1 因为 P(B)= C 3 =3, 10 1 2 所以 P(A)=1-P(B)=1- = . 3 3 2分 3分 4分

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第二章 随机变量及其分布

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(2)由题意,X 所有可能的取值为 2,3,4,5.5 分 C22C21+C21C22 1 P(X=2)= =30; C103 C42C21+C41C22 2 P(X=3)= = ; C103 15 C62C21+C61C22 3 P(X=4)= =10; C103 C82C21+C81C22 8 P(X=5)= =15. C103 所以随机变量 X 的概率分布列为 6分 7分 8分 9分

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第二章 随机变量及其分布

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X P

2 1 30

3 2 15

4 3 10

5 8 15

10 分 (3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C,则 P(C)=P(X=3 或 X=4)=P(X=3)+P(X=4) 2 3 13 = + = . 15 10 30 12 分

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第二章 随机变量及其分布

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[题后感悟] (1)求离散型随机变量分布列的步骤

(2)在求解过程中注重知识间的融合,如在本例中用到了排 列组合,古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识.
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第二章 随机变量及其分布

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4.某地为了解在公务员招考中考生考试成绩情况,从甲、乙

两个考场各抽取 10 名考生成绩进行统计分析,考生成绩的茎叶
图如图所示,成绩不小于90分为合格.

从甲场 10 人中取一人,乙场 10 人中取两人,三人中合格人 数记为X,求X的分布列.
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第二章 随机变量及其分布

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解析: 甲场10人中有4人合格,乙场10人中有5人合 格, X取值为0,1,2,3. C61C52 2 P(X=0)=C 1C 2=15 10 10 C61C51C51+C41C52 19 P(X=1)= =45 C101C102 C61C52+C41C51C51 16 P(X=2)= = C101C102 45 C41C52 4 P(X=3)= 1 2= C10 C10 45
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第二章 随机变量及其分布

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所以X的分布列为
X P 0 2 15 1 19 45 2 16 45 3 4 45

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第二章 随机变量及其分布

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1.离散型随机变量的分布列有哪些表示方法?各有什么优

缺点?
优点 表格法 能直观地得到随机变量X 取各个不同值的概率 缺点 当随机变量X取值个 数n比较大时,不容 易列表 不直观

能精确表达X取各个不同 解析法P(X 值的概率值,便于应用数 =xi)=pi i= 学工具对这些概率值进行 1,2, ?,n 分析
图象法(条 形图)
工具

能直观地表达X取各个不 同值的概率的大小
第二章 随机变量及其分布

不能精确表达概率值
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2.离散型随机变量的分布列的性质有什么作用?

(1)检查写出的分布列是否正确.
(2)在求出分布列中的某些参数时,可利用其概率和为1这一

条件求出参数值.
3.如何理解两点分布? (1)适用范围: ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律. ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律.

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第二章 随机变量及其分布

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(2)说明: ①两点分布又称0-1分布或伯努利分布. ②两点分布反映随机试验的结果只有两种可能且其概 率之和为1. 4.如何理解超几何分布中事件{X=k}的概率公式 CMkCN-Mn-k P(X=k)= ? CNn

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第二章 随机变量及其分布

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事件{X=k}表示从含有M件次品的N件产品中,任取n 件,其中恰有k件次品这一随机事件,因为它的基本事件是 从N件产品中任取n件,且任意一个基本事件是等可能 的.所以它有CNn个基本事件,而其中恰有k件次品,则必有 n-k件正品,因此,事件{X=k}中含有CMkCN-Mn k个基本事


CMkCN-Mn-k 件,由古典概型的概率公式知P(X=k)= . CNn

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第二章 随机变量及其分布

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◎一盒中有9个正品零件和3个次品零件,每次取出1个 零件.如果取出的是次品不再放回.求在取得正品前已取
? 5? 出的次品数X的分布列,并求P?X≤2?的值. ? ?

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第二章 随机变量及其分布

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【错解】

X的所有可能取值为1,2,3.

分别求出对应的概率: C31C91 9 P(X=1)= A 2 =44, 12 A32C91 9 P(X=2)= A 3 =220, 12 A33C91 1 P(X=3)= A 4 =220. 12 因此随机变量X的分布列为

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第二章 随机变量及其分布

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X P

1 9 44

2 9 220

3 1 220

? 5? 9 9 27 ? ? 故P X≤2 =P(X=1)+P(X=2)=44+220=110. ? ?

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【错因】

X的可能取值不是1,2,3,试验结果的所有可能情

况不全,漏掉X=0,即第一次取正品,试验中止情况.
综合考虑,分类全面,做到不重不漏.

【正解】

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

X=0表示第一次取到正品. C91 3 则P(X=0)=C 1=4. 12 X=1表示第一次取到次品,第二次取到正品. C31C91 9 则P(X=1)= A 2 =44. 12

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A32C91 9 A33C91 1 同理可求得 P(X=2)= = ,P(X=3)= = . A123 220 A124 220 因此随机变量 X 的分布列为

X P

0 3 4

1 9 44

2 9 220

3 1 220

? 5? 3 9 9 故P ?X≤2? =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 4 + 44 + 220 = ? ?

219 . 220
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第二章 随机变量及其分布

练考题、验能力、轻巧夺冠
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第二章 随机变量及其分布



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