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高中数学理科综合试卷04



厦外 2014 届高三数学(理)综合测试 04
班级______座号_____姓名_____________ 一、选择题: 1. 已知集合 A ? x | y ? A.

?

1 ? ? log 2 x , B ? ? y | y ? ( ) x ? ,则 A ? B ? 2 ? ?
B.

?

r />
( C D. ?

)

?x | 0 ? x ? 1?

?x | x ? 0?

C.

?x | x ? 1?

2. 已知复数 z ? A.充要条件

(tan ? ? 3)i ? 1 ? ,则“ ? ? ”是“ z 是纯虚数”的 i 3
B.必要不充分条件 C.充分不必要条件

( C

)

D.既不充分也不必要条件

3.如图,三棱锥 V ? ABC 底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA ? VC ,已知其主视图的面积为 则其左视图的面积为 ( B )

2 , 3

A.

3 2

B.

3 3
2 2

C.

3 4

D.

3 6
( D )

4.定义运算: x ? y ? x ? y ? 2 xy ,则 cos

?
3

? sin

?
3

的值是

A.

3 ?1 4

B.

3 ?1 2

C. ?

3 ?1 2

D.

3 ?1 2
( A )

2 1 5.若等比数列 ?a n ? 的首项为 ,且 a 4 ? ? ? 2x ?dx ,则数列 ?a n ? 的公比是 1 9 1 1 A.3 B. C.27 D. 3 27

6.直线 l 与函数 y ? sin x( x ? ? 0, ? ?) 的图像相切于点 A , 且 l // OP ,O 为坐标原点,P 为图像的极大值点, 与 x 轴交于点 B ,过切点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,则 BA?BC = A. 2 7.函数 f ( x) ? xe
cos x

??? ? ??? ?

( D )

? B. 2

C.

?2
4

D.

?2 ?4
4

( x ?[?? , ? ]) 的图像大致是? ( B )

解析:B

函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且 f ( x) ? ? xe

cos( ? x )

? ? xecos x ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函

数, 排除 A 和 C, 而 f( )?

?

?
2

2

e

c o s

?
2

?

?
2

, f (? ) ? ? e

cos ?

?

?
e

, 则 f( ) ? f 函数 f ( x) 在区间 [0, ? ] (? ) ,

?

2

上不单调递增,排除 D.选 B.

1 3 x ? (1 ? b) x 2 ? a(b ? 3) x ? b ? 2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,则 3 x ? ay ? 0 ? 2 2 不等式组 ? 所确定的平面区域在 x ? y ? 4 内的面积为 ( B ) ? x ? by ? 0 ? ? A. B. C. ? D. 2? 3 2
8. 已知函数 f ( x) ? 9、已知双曲线
? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F1,左、右顶点分别为 A1、A2,P 为双曲线上任意一点, a2 b2 则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两个圆的位置关系为 ( B ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上情况都有可能 x2 ? y2

10.定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b (k,b 为常数) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对一切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个. ②函数 g ( x) ? 2 x 为函数 f ( x) ? 2 的一个承托函数.
x

③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数. 其中正确命题的序号是: ( A ) A.① B.② C.①③ D.②③

二、填空题: 11. 已知函数 f ( x) ? cos x ? ? ln x ,则 f '( ) ?

?

2

.1 .10

12.已知 log 2 (2m ? 4)+ log 2 (n ? 4)=3 ,则 m+n 的最小值为 13. 数列 ? an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos

2n? (n ? N ? ) ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则 3

S 2012 的值为_____。 672
14. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内切圆为 x 2 ? y 2 ? 9 ,圆的一条不与 x 轴垂直的切线与椭圆交于点 A、B ,且切 16 9
.8

线 AB 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧, F 为椭圆的右焦点,则 ?ABF 的周长为

15. 记实数 x1 , x2 , ?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 , ?, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 , ?, xn } .设△ ABC 的三边边长分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ,定义△ ABC 的倾斜度为 t ? max{ , , } ? min{ ,

a b c b c a

a b

b c , }. c a
(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______;1(ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______.[1, 三.解答题: 16. 已知椭圆

1? 5 ) 2

x2 y 2 15 1 a, a ) 在椭圆上. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 P ( 2 5 2 a b

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的右顶点, O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足 AQ ? AO 求直线 OQ 的斜率的值.

15 2 1 2 a a 15 1 解:(1) 点 P ( a, a ) 在椭圆上 ? 25 2 ? 4 2 ? 1 5 2 a b 2 2 b 5 b 3 6 ? 2 ? ? e2 ? 1 ? 2 ? ? e ? 8 8 4 a a x2 8y2 (2) :由(Ⅰ)得, A(a,0) ,椭圆方程为: 2 ? ? 1, a 5a 2
x 8 y0 ? 1 ?????① 设 Q( x0 , y 0 ) 满足条件,则: 02 ? a 5a 2
2 由 AQ ? AO 得: ( x 0 ? a ) ? y 0 ? a ?????② 2

2

2

由①②得: 3 x0 ? 16 ax0 ? 5a ? 0 ,解得: x 0 ? 5a (舍) , x0 ?
2

2

5 1 a, a, 故 y 0 ? ? 3 3

直线 OQ 的斜率 k OQ ?

y0 ?? 5 x0

17、 已知 a, b, c分别是锐角?ABC 三个内角 A, B, C 所对的边, 向量 a ? (sin A,2 3 sin A), b ? (2 cos A, sin A) , 设 f ( A) ? a ? b (1)若 f ( A) ? 2 3 求角 A

(2)在(1)的条件下,若

b c 2a ? ? , a ? 2 ,求三角形 ABC 的面积。 tan B tan C tan A

f ( x) ? 2 sin A cos A ? 2 3 sin 2 A ? sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 3 ? 2 sin(2 A ? ) ? 3 3
因为 f ( x) ? 2 3 ,即 sin(2 A ? (2)由

?

?
3

)?

3 ? ? ,所以 A ? 或 A ? (舍去) 2 3 2

b c 2a b cos B c cosC 2a cos A ,则 , ? ? ? ? tan B tan C tan A sin B sin C sin A 2? ? 所以 cos B ? cosC ? 2 cos A ? 1 ,又因为 B ? C ? 所以 B ? C ? 3 3
所以三角形 ABC 是等边三角形,由 a ? 2 所以面积为 3 18.如图,三角形 PAB 是半圆锥 PO 的一个轴截面,PO=1,AB=2,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形, 且与圆锥 PO 的底面共面. (Ⅰ)若 H 为圆锥 PO 的底面半圆周上的一点,且 BH ? OC ,连 AH,证明: AH ? PC ;

(Ⅱ)在圆锥 PO 的底面半圆周上确定点 G 的位置,使母线 PG 与平面 PCD 所成角的正弦值为

10 . 4

解: ( Ⅰ ) ? H 为圆锥 PO 的底面圆周上的一点, ? AH ? BH



? BH ? OC,? AH ? OC

? PO ? 平面 ABCD, AH ? 平面 ABCD? PO ? AH

平面 PCO, ? P O? O C ? ,O ? AH ?

? PC ? 平面 PCO,? AH ? PC (Ⅱ)以 O 为原点,OA 方向为 x 轴,OP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系, ??? ? ??? ? 则 P(0,0,1), D(1, ?2,0), C (?1, ?2,0) , PD ? (1, ?2, ?1), PC ? (?1, ?2, ?1) ,
设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

z

?

??? ??? ? PD ? ?n ? 0 ? x ? 2 y ? z ? 0 由 ? ??? 得? , ??? ? x ? 2 y ? z ? 0 ? PC ? n ? 0 ? ?
取 y ? 1得平面 PCD 的一个法向量为 n ? (0,1, ?2) ; , ?G 为圆锥 PO 的底面圆周上的一点,可设 G(cos ? ,sin ? ,0)(0 ? ? ? ?) ??? ? ? PG ? n sin ? ? 2 ??? ? 10 PG=(cos ? ,sin ? , ?1) ,依题意得 ??? , ? ? ? ? 4 2? 5 PG n 解得 sin ? ?

G

y

x
?

3 1 ,? cos ? ? ? , 2 2

?点 G 的坐标为 (?

3 1 , , 0) 2 2

19.已知函数 f ( x) 的图象经过点 (1,5) ,且对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 ,数列 ?a n ?满足

?3n , n ? 2k ? 1 a1 ? 1 , an ?1 ? ? ( k 为正整数) . ? f (an ), n ? 2k
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
* (Ⅱ)求 a1 ? 3a3 ? 5a5 ? ? ? (2n ? 1)a2 n ?1 ( n ? N ) .

解: (Ⅰ)由题意知 f (1) ? 5 ,又对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 ,所以有 f (n ? 1) ? f (n) ? 3 , 从而 ? f (n)? 是以 f (1) ? 5 为首项, 3 为公差的等差数列,故 f (n) ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 当 n 为偶数时, an ? 3
n ?1

当 n 为奇数且 n ? 3 时, an ? f (an ?1 ) ? 3an ?1 ? 2 ? 3 ? 3

n?2

? 2 ? 3n ?1 ? 2

?1, n ? 1 ? 综上, an ? ?3n ?1 , n ? 2k ( k 为正整数) ? n ?1 ?3 ? 2, n ? 2k ? 1
(Ⅱ) a1 ? 3a3 ? 5a5 ? ? ? (2n ? 1)a2 n ?1 ? 1 ? 3 ? (3 ? 2) ? 5 ? (3 ? 2) ? ? ? (2n ? 1) ? (3
2 4 2 n?2

? 2)

? [1 ? 3 ? 32 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 1) ? 32 n?2 ] ? 2[3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)] ? [1 ? 3 ? 32 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 1) ? 32 n?2 ] ? 2(n2 ? 1)

令 T ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)3
2 4 2 4

2n ? 2

则 9T ? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)3
2 4 6

2n

n 5 5 T ? ( ? ) ? 32 n ? 4 32 32 n 5 59 所以 a1 ? 3a3 ? 5a5 ? ? ? (2n ? 1)a2 n ?1 ? ( ? ) ? 32 n ? 2n 2 ? 4 32 32
两式相减: ? 8T ? 1 ? 2(3 ? 3 ? ? ? 3
2n ? 2

) ? (2n ? 1)32 n

20.已知函数 f ( x) 的图象在 [a, b] 上连续,定义: f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x}( x ?[a, b]) ,

f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x}( x ? [a, b]) . 其中, min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值,

max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值.若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? k ( x ? a)
对任意的 x ? [a, b] 成立,则称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶收缩函数”. (Ⅰ)若 f ( x) ? cos x, x ?[0, ? ] ,试写出 f1 ( x ) , f 2 ( x) 的表达式; (Ⅱ)已知函数 f ( x) ? x , x ? [?1, 4] ,试判断 f ( x) 是否为 [?1, 4] 上的“ k 阶收缩函数”.如果是,
2

求出对应的 k ;如果不是,请说明理由; (Ⅲ)已知 b ? 0 ,函数 f ( x) ? ? x ? 3x 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.
3 2

21.【解】 (Ⅰ)由题意可得: f1 ( x) ? cos x, x ?[0, ? ] , f 2 ( x) ? 1, x ? [0, ? ] ??2 分

(Ⅱ)



??4 分 当 x ?[?1,0) 时, 1 ? x ? k ( x ? 1) ,∴ k ? 1 ? x ,即 k ? 2 ;
2

当 x ? [0,1) 时, 1 ? k ( x ? 1) ,∴ k ?
2

1 ,即 k ? 1 ; x ?1

x2 16 当 x ? [1, 4] 时, x ? k ( x ? 1) ,∴ k ? ,即 k ? . x ?1 5
综上所述,∴ 即存在 k=4,使得 f(x)是[﹣1,4]上的 4 阶收缩函数.
2

???7 分

(Ⅲ) f ?( x) ? ?3x ? 6 x ? ?3x( x ? 2) 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 2 .函数 f(x)的变化情况如下:

令 f(x)=0,解得 x=0 或 3. (ⅰ)b≤2 时,f(x)在[0,b]上单调递增,因此 f 2 ( x) ? f ( x) ? ? x ? 3x , f1 ( x) ? f (0) ? 0 .
3 2

因为 f ( x) ? ? x ? 3x 是[0,b]上的 2 阶收缩函数,所以,① f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2( x ? 0) 对 x∈[0,b]
3 2

恒成立;②存在 x∈[0,b],使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? ( x ? 0) 成立. ①即: ? x ? 3x ? 2 x 对 x∈[0,b]恒成立,由 ? x ? 3x ? 2 x ,解得:0≤x≤1 或 x≥2,
3 2 3 2

要使 ? x ? 3x ? 2 x 对 x∈[0,b]恒成立,需且只需 0<b≤1.
3 2

② 即 : 存 在 x ∈ [0 , b] , 使 得 x( x ? 3x ? 1) ? 0 成 立 . 由 x( x ? 3x ? 1) ? 0 得 : x < 0 或
2 2

,所以



综合①②可得:



???10 分 , 由于 ( f x) 在[0, 2]上单调递增, 根据定义可得: , ??12 分 ,

(ⅱ) 当 b>2 时, 显然有 ,可得

此时, f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2( x ? 0) 不成立. 综合ⅰ)ⅱ)可得: b 的取值范围为 (

3? 5 ,1] . 2

???13 分

(注:在(ⅱ)中只要取区间 (1, 2) 内的一个数来构造反例即可,这里用

3 只是因为简单而已) 2



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