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高一数学必修四第一章三角函数第二章平面向量测试题



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高一数学必修四第一章第二章(附答案)
1.在边长为 6 的正△ ABC 中,点 M 满足 ,则 等于________

2.若 A,B 为锐角三角形 ABC 的两个内角,则点 P(sinA﹣cosB,cosA﹣sinB)位于第____ 象限 3.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )

A.

B.

C.

D.

4.已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 5.函数 若存在 6. 已知向量 7.已知曲线 f(x)=sin(wx)+

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小值分别是____ ,函数 ,

,使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 m 的取值范围是_______ , 且 , 则 sin2θ+cos θ 的值为______ ,
2

cos(wx) (w>0)的两条相邻的对称轴之间的距离为 ],则 x0=( )

且曲线关于点(x0,0)成中心对称,若 x0∈[0, 8.4sin80°﹣ 9.函数 等于_______ 的值域是______

10.若 tan(α+β)= ,tan(β﹣

)= ,则 tan(α+

)=



11.已知| |=1,| |=1, 与 的夹角为 120°,则向量 2 ﹣ 在向量 + 方向上的投影 为 . = . ,

12.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则

13. 定义: 关于 x 的两个不等式 f (x) <0 和 g (x) <0 的解集分别为 (a, b) 和 则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式 2x +4xsin2θ+1<0 为对偶不等式,且
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2

与不等式 ,则 θ= .

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14. 已知函数 f (x) =sinωx+acosωx (a>0, ω>0) 的图象关于直线 x= 是函数图象的一个对称中心,则 a+ω 的最小值是 15. sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 16.一扇形如图所示,OA⊥OB,OA=OB=1,P 为 . . 上一动 A 点,则

对称, 点 (





取值范围为 17. (10 分)计算:

. ;
2

18. (10 分) (2010?山东)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos xcosφ﹣ sin( <π) ,其图象过点( (Ⅰ)求 φ 的值; , ) .

+φ) (0<φ

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g (x)的图象,求函数 g(x)在[0, ]上的最大值和最小值.

19. (10 分) (2015 春?周口期末)已知 A(3,0) ,B(0,3)C(cosα,sinα) . (1)若 (2)若| ? + =﹣1,求 sin(α+ |= )的值; 与 的夹角. )的图

,且 α∈(0,π) ,求

20. (10 分) (2015 春?周口期末)已知函数 y=2cos(ωx+θ) (x∈R,ω>0,0≤θ≤ 象与 y 轴相交于点 M(0, (1)求 θ 和 ω 的值; (2)已知点 A( 点 Q(x0,y0) 是 PA 的中点,当 y0= ,x0∈[ ,π]时,求 x0 的值. ) ,且该函数的最小正周期为 π.

,0) ,点 P 是该函数图象上一点,

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2016 年 04 月 14 日 815083806 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1. (5 分) (2014?余杭区校级模拟) 在边长为 6 的正△ ABC 中, 点 M 满足 等于( ) A.6 B.12 C.18 D.24 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知可得, 【解答】解:∵ ∴ ∵< ∴ =36+ 故选 D =( = >= ,| ) |=| = =24 |=6 , , 则

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=

,结合向量的数量积的运算即可求解

2. (5 分) (2015 春?焦作校级期中)若 A,B 为锐角三角形 ABC 的两个内角,则点 P(sinA ﹣cosB,cosA﹣sinB)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】三角函数值的符号.
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【分析】由 A,B 为锐角三角形的两个内角,知 A+B> cosA﹣sinB<0,由此能求出点 P 所在的象限. 【解答】解:∵A,B 为锐角三角形的两个内角, ∴A+B> ∴ >A> , ﹣B>0,
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,所以 sinA﹣cosB>0,同理可得

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∴sinA>sin(

﹣B)=cosB,

∴sinA﹣cosB>0, 同理可得 cosA﹣sinB<0, 故选 D. 3. (5 分) (2006?四川)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )

A. D.

B.

C.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先根据图象求出函数的最小正周期,从而可得 w 的值,再根据正弦函数的平移变
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化确定函数的解析式为 【解答】解:从图象看出, T=

,最后根据诱导公式可确定答案. , 个单位, ,

所以函数的最小正周期为 π,函数应为 y=sin2x 向左平移了 即 故选 D. =

4. (5 分) (2004?湖南)已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 值,最小值分别是( ) A.4 ,0 B.4,4 C.16,0 D.4,0 【考点】平面向量数量积的运算;三角函数的最值.

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大

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【分析】先表示 2 ﹣ ,再求其模,然后可求它的最值. 【解答】解:2 ﹣ =(2cosθ﹣ |2 ﹣ |= ,2sinθ+1) ,

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= 故选 D. 5. (5 分) (2013?资阳一模)函数

,最大值为 4,最小值为 0.

,函数 , 若存在 , 使得 ( f x1)

=g(x2)成立,则实数 m 的取值范围是( A. (0,1] B.[1,2] C.
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D.

【考点】函数与方程的综合运用.

【分析】 本先分别确定函数的值域, 再利用存在 成立,建立不等式,即可求得实数 m 的取值范围. 【解答】解: ∵ ∴ ∴f(x1)∈[1,2] ∵ ∴ ∴ ∵m>0 ∴ ∵存在 ∈ ,使得 f(x1)=g(x2)成立 =2sin(2x+ )

, 使得 f (x1) =g (x2)



∴ 故选 C. 6. (5 分) (2016?张掖校级模拟)已知向量 ,则 sin2θ+cos θ 的值为(
2

,且


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A.1

B.2

C.

D.3
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【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】由题意可得 sin2θ+cos θ=
2

=0,即解得 tanθ=2,再由 = ,运算求得结果.

【解答】解:由题意可得 ∴sin2θ+cos θ= 故选 A.
2

=sinθ﹣2cosθ=0,即 tanθ=2. = =1,

7. (5 分) (2016?大庆一模)已知曲线 f(x)=sin(wx)+ 邻的对称轴之间的距离为 ( A. ) B. C. D.

cos(wx) (w>0)的两条相 ],则 x0=

,且曲线关于点(x0,0)成中心对称,若 x0∈[0,

【考点】两角和与差的正弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】利用两角和的正弦公式化简 f(x) ,然后由 f(x0)=0 求得[0, 【解答】解:∵曲线 f(x)=sin(wx)+ 之间的距离为 ∴ ∴w=2 ∴f(x)=2sin(2x+ ) . =π, , cos(wx)=2sin(wx+

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]内的 x0 的值.

)的两条相邻的对称轴

∵f(x)的图象关于点(x0,0)成中心对称, ∴f(x0)=0,即 2sin(2x0+ ∴2x0+ ∴x0= ∵x0∈[0, ∴x0= .
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)=0,

=kπ, ,k∈Z, ],

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故选:C. 8. (5 分) (2016?禹州市一模)4sin80°﹣ 等于( )

A. B.﹣ C.2 D.2 ﹣3 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】将所求的关系式通分后化弦,逆用两角差的余弦与两角差的正弦,即可求得答案.
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【解答】解:4sin80°﹣ = = =

= = =﹣ , 故选:B.

9. (5 分) (2015?文峰区校级一模)函数

的值域是(



A.[﹣4,0) B.[﹣4,4) C. (﹣4,0] D.[﹣4,0] 【考点】三角函数中的恒等变换应用.
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【分析】利用和差化积公式化简函数 的值域. 【解答】解:y= 即 sinx≠±1 2 因为 0≤sin x≤1 且 sinx≠±1 2 所以 0≤sin x<1 所以函数 故选 C 的值域是: (﹣4,0] =﹣

后,根据正弦函数的有界性求出函数

=﹣4sin x(cosx≠0)

2

10. (5 分) (2009?江苏一模)若 tan(α+β)= ,tan(β﹣ 【考点】两角和与差的正切函数.
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)= ,则 tan(α+

)=



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【分析】把 α+

变为[(α+β)﹣(

)],然后利用两角差的正切函数的公式化简所

求的式子,整体代入即可求出值. 【解答】解:因为 α+ =[(α+β)﹣( )],且 tan(α+β)= ,tan(β﹣ )= ,

则根据两角差的正切函数的公式得: tan(α+ )=tan[(α+β)﹣(β﹣ )]

=

=

=

故答案为

11. (5 分) (2015 春?周口期末)已知| |=1,| |=1, 与 的夹角为 120°,则向量 2 ﹣ 在 向量 + 方向上的投影为 .
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【考点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的含义与物理意义. 【分析】利用向量 2 ﹣ 在向量 + 方向上的投影为

,可得结论.

【解答】解:| + | = 所以| + |=1,

2

2

+

2

+2 ? =1+1+2?1?1cos120°=1,

因为(2 ﹣ )?( + )=2

2



2

+ ? =2﹣1+1?1cos120°=

所以向量 2 ﹣ 在向量 + 方向上的投影为

= ,

故答案为: .

12. (5 分) (2013?新课标Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 2 . 【考点】平面向量数量积的运算.

=

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【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为( ?( ) ,再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果. =0,



【解答】解:∵已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则
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故 ﹣

= ( =4+0﹣0﹣

) ? ( =2,

) = (

) ? (

) =



+

故答案为 2. 13. (5 分) (2014?怀化三模)定义:关于 x 的两个不等式 f(x)<0 和 g(x)<0 的解集 分别为(a,b)和 ,则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式 与不等式 2x +4xsin2θ+1<0 为对偶不等式,且 ,则 θ= 【考点】其他不等式的解法. 【分析】先设出不等式 推出不等式
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2



的对应方程两个根为 a、b, 的对应方程两个根为 a、b,

利用韦达定理,求得关于 θ 的三角方程,根据 θ 的范围求解即可. 【解答】解:不等式 设不等式
2

与不等式 2x +4xsin2θ+1<0 为对偶不等式, 的对应方程两个根为 a、b,

2

则不等式 2x +4xsin2θ+1<0 对应方程两个根为: 所以 即:tan2θ=﹣ 故答案为: 因为 ,所以

14. (5 分) (2015 春?周口期末)已知函数 f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)的图象关 于直线 x= 对称, 点 ( ) 是函数图象的一个对称中心, 则 a+ω 的最小值是
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【考点】正弦函数的对称性;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【分析】由 f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)的图象关于直线 x= =f(

对称,可得 f(﹣

) ,

)=0,进而得到 ω=k,再由 a>0,ω>0,可得 ω=3n+1,n∈N,此时 a 为定值

故当 ω 取最小值时,a+ω 取最小值 【解答】解:∵f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,

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∴f(﹣ ∴﹣sin ∴a=tan ∴

)=f( +acos =﹣tan =﹣

)=0 =sin +acos ) =0;

=tan(﹣

+kπ,k∈Z

即 ω=k ∵a>0,ω>0 ∴ω=3n+1,n∈N 此时 a=tan(n+ )π= 故当 ω=1 时,a+ω 的最小值是 故答案为: +1 +1

15. (5 分) (2015 春?郑州期末)sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 sin2>sin1>sin3> sin4 . 【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结 论. 【解答】解:∵1 是第一象限,2,3 是第二象限,4 是第三象限, ∴sin4<0,sin2>sin3>0, ∵sin1=sin(π﹣1) , 且 2<π﹣1<3, ∴sin2>sin(π﹣1)>sin3, 即 sin2>sin1>sin3>sin4, 故答案为:sin2>sin1>sin3>sin4
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16. (5 分) (2015 春?洛阳期末)一扇形如图所示,OA⊥OB,OA=OB=1,P 为

上一动 A

点,则 的取值范围为 [1, 【考点】平面向量数量积的运算.
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] .

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【分析】分别以 OB、OA 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设出 P 的坐标,把 用含有 P 的坐标表示,然后利用 求解. 【解答】解:建立如图所示平面直角坐标系, 的几何意义

则 B(1,0) ,A(0,1) ,设 P(x,y) (0≤x≤1) , 则 ∴ = , =x(x﹣1)+y(y﹣1)+ = . 的几何意义为扇形弧上的点与点 M( ∴当点 P 位于 OM 的连线与扇形弧交点时, , 此时 的最小值为 ; 的值最大为 , 此时 故答案为:[1, ]. ; 的最大值为 . )距离的平方, 的值最小为 ,

当点 P 位于 A(或 B)时,

17. (10 分) (2015 春?洛阳期中) (1)计算:

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(2)若 sinα=

,求: +

的值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的化简求值. 【分析】 (1)通过和角的正切公式,代入计算即可; (2)通过三角函数值的化简及平方关系,计算即可. 【解答】解: (1) = = =﹣ ; (2) +

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= = = = +

+

=10.

18. (10 分) (2014 春?通州区校级期末)已知向量 m+1) . (1)若 ∥ ,求实数 m 的值;

=(1,﹣2) ,

=(4,﹣1) ,

=(m,

(2)若△ ABC 为直角三角形,求实数 m 的值.
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【考点】平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
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【分析】 (1)通过



,利用平行的充要条件,列出关系式即可求实数 m 的值;

(2)利用三角形的直角的可能性,通过向量的数量积为 0,求实数 m 的值. 【解答】解: (1)因为向量 所以 因为 ,且 . , ,

所以 3(m+1)﹣m=0. 所以 . , . 因为△ ABC 为直角三角形,所以 当 当 当 , 或 . ,

(2)由(1)可知,

时,有 3(m﹣1)+m+3=0,解得 m=0; 时,有 3(m﹣4)+m+2=0,解得 ;

时,有(m﹣1) (m﹣4)+(m+3) (m+2)=0,解得 m∈?.

所以实数 m 的值为 0 或 .

19. (10 分) (2010?山东)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos xcosφ﹣ sin( <π) ,其图象过点( (Ⅰ)求 φ 的值; , ) .

2

+φ) (0<φ

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g (x)的图象,求函数 g(x)在[0, ]上的最大值和最小值.
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【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;三角函数的最值.
2

【分析】 (I)由已知中函数 f(x)= sin2xsinφ+cos xcosφ﹣ sin( 象过点( φ 的值.
第 13 页(共 16 页)

+φ) (0<φ<π) ,其图

, ) .我们将(

, )代入函数的解析式,结合 φ 的取值范围,我们易示出

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(II)由(1)的结论,我们可以求出 y=f(x) ,结合函数图象的伸缩变换,我们可以得到函 数 y=g(x)的解析式,进而根据正弦型函数最值的求法,不难求出函数的最大值与最小值. 【解答】解: (I)∵函数 f(x)= sin2xsinφ+cos xcosφ﹣ sin( 又因为其图象过点( ∴ 解得:φ= (II)由(1)得 φ= ,
2 2

+φ) (0<φ<π) ,

, ) . φ﹣

∴f(x)= sin2xsinφ+cos xcosφ﹣ sin( = ∴ ∵x∈[0, ∴4x+ ∴当 4x+ 当 4x+ = ∈ = 时,g(x)取最大值 ; 时,g(x)取最小值﹣ . ]

+φ)

20. (10 分) (2015 春?周口期末)已知 A(3,0) ,B(0,3)C(cosα,sinα) . (1)若 (2)若| ? + =﹣1,求 sin(α+ |= )的值; 与 的夹角.

,且 α∈(0,π) ,求
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【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】 (1)由题意利用两个向量的数量积公式可得 得 sinα+cosα= ,可得 sin(α+ (2)求出 + )的值.

=1﹣3(sinα+cosα)=﹣1,求

=(3+cosα,sinα) ,则由题意可得

=

,化

简求得 cosα 的值,可得 α 的值.设 得 θ 的值. 【解答】解: (1)由题意可得



的夹角为 θ,由 cosθ=

的值,求

=(cosα﹣3,sinα) ,
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=(cosα,sinα﹣3) ,

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=(cosα﹣3,sinα)?(cosα,sinα﹣3)=cosα(cosα﹣3)+sinα(sinα﹣3)=1﹣3

(sinα+cosα)=﹣1, ∴sinα+cosα= ,即 (2)∵ 则有 + sin(α+ )= ,求得 sin(α+ + |= )= .

=(3+cosα,sinα) ,若| =

,且 α∈(0,π) , .

,化简求得 cosα= ,∴α=





的夹角为 θ,cosθ=

=

=sin

=

,∴θ=







的夹角为



21. (10 分) (2015 春?周口期末)已知函数 y=2cos(ωx+θ) (x∈R,ω>0,0≤θ≤ 象与 y 轴相交于点 M(0, (1)求 θ 和 ω 的值; (2) 已知点 A ( x0∈[ ) ,且该函数的最小正周期为 π.

)的图

, 0) , 点 P 是该函数图象上一点, 点Q (x0, y0) 是 PA 的中点, 当 y0=



,π]时,求 x0 的值.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

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【分析】 (1)将 M 坐标代入已知函数,计算可得得 cosθ,由 θ 范围可得其值,由 ω= 合已知可得 ω 值; (2)由已知可得点 P 的坐标为(2x0﹣ 和三角函数值得运算可得. 【解答】解: (1)将 x=0,y= ∵0≤θ≤ ,∴θ= . 代入函数 y=2cos(ωx+θ)得 cosθ= , , ) .代入 y=2cos(2x+ )结合 x0∈[



,π]

由已知周期 T=π,且 ω>0, ∴ω= = =2
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(2)∵点 A(

,0) ,Q(x0,y0)是 PA 的中点,y0= , ) . ,π],



∴点 P 的坐标为(2x0﹣ 又∵点 P 在 y=2cos(2x+ ∴cos(4x0﹣ 从而得 4x0﹣ 解得 x0= 或 )= = ,

)的图象上,且 x0∈[ ≤4x0﹣ = ≤ , ,

,或 4x0﹣

第 16 页(共 16 页)



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