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泸州市2015届高2012级第一次教学质量诊断性考试(文科数学+答案)



泸州市高 2012 级第一次教学质量诊断性考试


第一部分

学(文史类)
(选择题 共 50 分)

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) 。第一部分 1 至 2 页,第二部分 3 至 4 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案

标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。不能 答在草稿子、试题卷上。 一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。 1、设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 A B ? ( ) A、 {x | ?1 ? x ? 0} 2、函数 y ? ( ) ?
x

B、 {x | 0 ? x ? 3}

C、 {x | x ? 0}

D、 {x | x ? 3}

1 2

1 的图象可能是( 2
y



y

y

y

1 x O
A、

1

1
x 1

O 1
C、 ) C、 f ( x) ? x
3

1
x

x 1

1
B、

O
D、

3、下列函数中,在 (0, ??) 上单调递减的是( A、 f ( x) ? ln x B、 f ( x) ? ( x ? 1)
2

D、 f ( x ) ?

1 x ?1


4、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R , A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? (?q) 是真命题

x ? x ,则下列说法中正确的是(

B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? (?q) 是假命题

3 5、设函数 f ( x) ? ax ? 3x ,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,则直线 l 与坐标

轴围成的三角形的面积为( A、 1 6、若 B、 3

) C、 9 ) D、 12

cos 2?

sin(? ? ) 4
A、

?

?

1 ,则 sin 2? 的值为( 2
B、 ?

7 8

7 8

C、 ?

4 7

D、

4 7

7、已知 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点, ?ABC 所在平面内有一个点 P ,满足 PA ? PB ? PC ,则 值为( A、 ) B、

| PD | 的 | AD |

1 2

1 3
文科数学

C、 1

D、 2

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8、学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A 、 B 两种菜可供选择。调查表明,凡是在这星期一 选 A 菜的,下星期一会有 20% 改选 B 菜;而选 B 菜的,下星期一会有 30% 改选 A 菜。用 an 表示第 n 个 星期一选 A 的人数,如果 a1 ? 428 ,则 a4 的值为( A、 324 B、 316
2 2 2

) D、 302 )

C、 304

9、已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , a ? b ? c ? 1 , ,则 a ? b 的取值范围是( A、 [?1,1] 10、已知函数 f ( x) ? ? B、 [ ? , 0]

1 3

C、 [0, ]

4 3

D、 [0, 2]

?2? | x ? 2 |, 0 ? x ? 4, ,若存在 x1 , x2 ,当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x ?2 4? x?6 ? 2 ? 3,
) C、 [1, 6] D、 [0,1] [3,8] B、 [1, 4]

则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是( A、 [0,1)

第二部分
注意事项:

(非选择题 共 100 分)

用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上,答在试题卷上无效,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? ____________。 12、已知点 A(1,3) , B(4, ?1) ,则与向量 AB 方向相同的单位向量的坐标为____________。 13、 已知数列 {an } 为等差数列,a1 ? 1 , 公差 d ? 0 ,a1 、a2 、a5 成等比数列, 则 a2014 的值为____________。 14、 若函数 f ( x) ? ?

log a x, 0 ? x ?1 ? 在 (0, ??) 上是增函数, 那么 a 的取值范围是__________。 x ?1 ?(a ? 2) x ? 3a ? 8,

15、设非空集合 A ,若对 A 中任意两个元素 a , b ,通过某个法则“ ” ,使 A 中有唯一确定的元素 c 与之 对应,则称法则“ ”为集合 A 上的一个代数运算。若 A 上的代数运算“ ”还满足: (1)对 ?a, b, c ? A , 都有 (a b) c ? a (b c) ; (2)对 ?a ? A , ?e, b ? A ,使得 e a ? a e ? a , a b ? b a ? e 。称 A 关于法则 “ ”构成一个群。给出下列命题: ①实数的除法是实数集上的一个代数运算; ②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群; ③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群; ④正整数集关于法则 a b ? a 构成一个群。
b

其中正确命题的序号是____________。 (填上所有正确命题的序号) 。

文科数学

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 某市有 M , N , S 三所高校,其学生会学习部有“干事”人数分别为 36, 24,12 ,现采用分层抽样的方 法从这些“干事”中抽取 6 名进行“大学生学习部活动现状”调查。 (Ⅰ)求应从 M , N , S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数; (Ⅱ )若从抽取的 6 名干事中随机选 2 ,求选出的 2 名干事来自同一所高校的概率。

17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 3a cos C ? c sin A 。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

18、(本小题满分 12 分)
? 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且对任意 n ? N 时,点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ?

1 1 x ? 的图象上。 2 2

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?

3 log 3 (1 ? 2 Sn ) ? 10 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 的最大值。 2

文科数学

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19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? 。 2 ?1 2
x

(Ⅰ )判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (Ⅱ )若对于任意 x ? [2, 4] ,不等式 f (

x ?1 m )? f( ) 恒成立,求正实数 m 的取值范围。 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

20、(本小题满分 13 分)

| ? |? 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )( ? ? 0 ,
的图象向左平移

?
2

) 图象的相邻两对称轴间的距离为

? , 若将函数 f ( x ) 2

? 个单位后图象关于 y 轴对称。 6 1 (Ⅰ )求使 f ( x ) ? 成立的 x 的取值范围; 2 ? 1 1 2 ( Ⅱ)设 g ( x) ? ? g '( ) sin( ? x) ? 3 cos( ? x) , 其中 g '( x ) 是 g ( x) 的 导函 数, 若 g ( x ) ? ,且 3 2 2 7 ? 2? ?x? ,求 cos x 的值。 2 3

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ln a , g ( x) ?

1 2 x ? ( a ? 1) x 。 2

(Ⅰ )求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围并证明

x2 随 a 的增大而减小。 x1

文科数学

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2012 级一诊文科数学答案
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 11. ?1? i ; 三、解答题 16 .解: (Ⅰ)抽样比为: 1 A 2 D 3 D 4 5 B 6 A 7 C 8 B 9 C 1 0 B

C

3 4 12. ( , ? ) ; 5 5

13. 4027 ;

14. (2,3] ;

15.② ③.

6 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ,· 36 ? 24 ? 12 12

故应从 M,N,S 这三所高校抽取的“干事”人数分别为 3,2,1; · · · · · · · · · · · · · · 4分
(Ⅱ)在抽取到的 6 名干事中,来自高校 M 的 3 名分别记为 1、2、3,

来自高校 N 的 2 名分别记为 a、b,来自高校 S 的 1 名记为 c, · · · · · · · · · · · · · · · 5分 则选出 2 名干事的所有可能结果为: {1,2},{1,3},{1, a },{1, b },{1,c}, {2,3},{2,a}, {2,b},{2,c}, {3,a},{3,b },{3,c }, { a,b },{ a , c }, { b ,c}共 15 种 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 设 A={所选 2 名干事来自同一高校}, 事件 A 的所有可能结果为{1,2},{1,3}, {2,3},{a,b},共 4 种, · · · · · · · · 10 分 所以 P( A) ?
4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 15

17 .解: (I)∵ 3a cos C ? c sin A ,
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由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 又 0 ? C ? ? ,∴ C ?

?
3

;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(II)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为

3 3 , 2

1 ? 3 3 ∴ ? 3b sin ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 3 2

∴ b ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 7 ,即 c ? 7 , ·

7 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 14

∴ CA AB ? bc cos(? ? A) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分

7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ) ? ?1 . · 14 1 1 18 解: (Ⅰ)因为点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ? x ? 的图象上. 2 2 ? 2 ? 7 ? (?
1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 所以 Sn ? ? an ? , · 2 2 1 1 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? , 2 2

S1 ? a1 ? a1 ?

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ,· 3

1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? , · 2 2 1 1 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? ? an ? ? an?1 ? ? ? an ? an?1 , · 2 2 2 2 2 2

1 ? an ? an ?1 , 3

1 1 ? ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 3
1 ? an ? ( )n ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3
1 1 (Ⅱ)因为 ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列, 3 3
1 1 (1 ? n ) 3 3 ? 1 (1 ? 1 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以 Sn ? ,· 1 2 3n 1? 3

3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∴ bn ? log3 (1 ? 2Sn ) ? 10 ? ? n ? 10 , · 2 2 3 ∵ bn ?1 ? bn ? ? , 2
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∴数列 ?bn ? 是以

17 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 为首项,公差为 ? 的等差数列,且单调递减 · 2 2

?bn ≥ 0 , 由? ?bn ?1 < 0

? 3 ? n ? 10 ≥ 0 ? 1 2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 所以 ? ,即 5 ? n ? 6 , · 3 3 ?? 3 (n ? 1) ? 10 ? 0 ? ? 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ∴ n ? 6, ·

1 17 57 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 .· ( ? 1) ? 6 ? 2 2 2 19 .解: (Ⅰ)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? R 且 x ? 0 ,
数列 ?bn ? 的前 n 项和的最大值为 T6 ? ∴函数的定义域为 (??, 0) (0, ??) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 当 x ? (??, 0) (0, ??) 时, f ? x ? ?
f ??x? ? 1 1 2x ? 1 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 ? 1 2 2(2x ? 1)
x

2? x ? 1 1 ? 2x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?x 2(2 ? 1) 2(1 ? 2 x )

所以 f ? ? x ? ? ? f ( x) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ∴f (x)在定义域上是奇函数; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ ) 由于 f ? ? x ? ? ?
2 x ln 2 , (2 x ? 1) 2 2 x ln 2 ? 0 恒成立, (2 x ? 1) 2

当 x ? (??,0) 或 x ? (0, ??) 时, f ? ? x ? ? ?

所以 f ? x ? 在 (??,0),(0, ??) 上是减函数, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 因为 x∈[2,4]且 m>0,所以 由 f(
x ?1 m ? 0, ?0,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x )

x ?1 m )? f( ) 及 f ? x ? 在 (0, ??) 上是减函数, x ?1 ( x ? 1) 2 (7 ? x) x ?1 m ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? 1 ( x ? 1)2 (7 ? x )

所以

因为 x∈[2,4],所以 m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x ? [2, 4] 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x), x ? [2, 4] ,则 g(x)=-x3+7x2+x-7, · · · · · · · · · · · · 10 分

7? 52 ? 所以 g ? (x)=-3x2+14x+1=-3 ? x ? ? 2+ , 3 3? ?
所以当 x ? [2, 4] 时, g ? (x)>0 . 所以 y=g(x)在 [2, 4] 上是增函数,g(x)min=g(2)=15 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上知符合条件的 m 的取值范围是 (0,15) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.解: (Ⅰ) 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
文科数学

?
2

)图象的相 邻两对称轴间的距离
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? , 2

∴函数的周期 T ? ? , ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 将 f ( x) 的图象向左平移 ∵ y ? sin(2 x ? ∴

2?

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ?2,·

? ? 个单位后得到的函数为 y ? sin(2 x ? ? ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 6

?
3

? ? ) 图象关于 y 轴对称,

?
3

? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z) ,又 ? ?

?
2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

∴? ?

?
6

,即 f ( x) ? sin(2x ?

?
6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ), ·

由 f ( x) ≥

1 ? 1 ? ? 5? 得: sin(2x ? ) ≥ ,即 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? · · · · · 5分 (k ? Z ) , · 2 6 2 6 6 6 1 ? 的 x 的取值范围是 [k? ,k? ? ](k ? Z) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 3

∴使 f ( x) ≥

? 1 1 (Ⅱ)∵ g ( x) ? ? g ?( )sin( ? x) ? 3 cos( ? x) , 3 2 2
∴ g ?( x) ? ? g ?( )cos x ? 3 sin x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 令x?

?

?

得 g ?( ) ? ? g ?( )cos ? 3 sin , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 3 3 3

?

?

?

?

解得 g ?( ) ? ?1 ,所以 g ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 3

?

?

∵ g ( x) ? ∵

2 ? 1 ,∴ sin( x ? ) ? , 3 7 7
2? 5? ? ,∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? x? ?? , · 3 6 3

?
2

?x?

? 4 3 ∴ cos( x ? ) ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3 7
∴ cos x ? cos( x ?

?

? 4 3 1 1 3 3 3 ? )?? ? ? ? ?? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 3 3 7 2 7 2 14

1 21.解: (Ⅰ) ∵ h( x) ? ln x ? x2 ? ax ? ln a ,所以定义域为 (0, ??) 且 a ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2
因为 h?( x) ?

1 1 1 a 4?a ? x ? a ? ( x2 ? ax ? 1) ? [( x ? )2 ? ), x x x 2 4

2

(1)当 4 ? a 2 ≥ 0 ,又 a ? 0 ,即 0 ? a ≤ 2 时, h?( x) ≥ 0 对 x ? 0 恒成立, ∴ h( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (2)当 4 ? a 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,即 a ? 2 时, 由 h?( x) ? 0 得: x ?
a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ,或 x ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2

文科数学

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所以 h( x) 的单调递增区间为 (0, (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ),( , ??) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2

1 1? x ,得 x ? 1 . ?1 ? x x

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x? f ? x?

? 0,1?
+ ↗

1 0
? ln a ? 1

(1, ??)

- ↘

这时, f ? x ? 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 当 x 大于 0 且无限趋近于 0 时, f ? x ? 的值无限趋近于 ?? ; 当 x 无限趋近于 0 时 ?? , f ? x ? 的值无限趋近于 ?? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以 f ? x ? 有两个零点,须满足 f ?1? >0,即 ln a ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 所以 a 的取值范围是 (0,e?1 ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 因为 x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个零点,即 ln x1 ? x1 ? ln a ? 0 , ln x2 ? x2 ? ln a ? 0 , 则a ?

x x1 , a ? x2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 e2 e x1

因为 f ?1? ? ?1 ? ln a 且 a ? (0, e ?1 ) ,则得 x1 ? ? 0,1? , x2 ? ?1, ?? ? . 设 F ? x? ?

x 1? x ,则 F ? ? x ? ? x , ex e

所以 F ? x ? 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 对于任意的 a1 , a2 ? ? 0, e?1 ? ,设 a1 ? a2 , 故 F ??1 ? ? F ??2 ? ? a1 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ? 2 ;

F ??1 ? ? F ??2 ? ? a2 ,其中 0 ? ?1 ? 1 ? ?2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
因为 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,故由 a1 ? a2 ,即 F ??1 ? ? F ??1 ? , 可得 ?1 ? ?1 ;类似可得 ?2 ? ?2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 由 ?1 ,?1 ? 0 ,则

? ? 1 1 ? ,所以 2 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? 1 ?1 ?1 ?1

所以,

x2 随着 a 的增大而减小. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 x1

7.

| PD | ?1. 因为 PA ? PB ? PC 且 A, B , C 不共线, 所以由向量加法几何意义 P, A, B, C 构成平行四边形如图, | AD |

1 1 8. 由 题 知 : an ? an ?1 ? 80% ? bn ?1 ? 30% , an ? bn ? 500 , 所 以 an ? 150 ? an ?1 , 且 an ? 3 0 0? a , ( n ?1 ? 3 0 0 ) 2 2

文科数学

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1 1 1 an ? 300 ? 128 ? ( )n ?1 , an ? 128 ? ( )n ?1 ? 300 , a4 ? 128 ? ( )3 ? 300 ? 316 , 2 2 2
9.因为 a ? b ? c ? 1 ,所以 a ? b ? 1 ? c ,且 (a ? b)2 ? (1 ? c)2 , 则 ab ?

(a ? b)2 ? (a2 ? b2 ) ? c2 ? c ,所以 a,b 是一元 2

1 二次方程 x2 ? (1 ? c) x ? c 2 ? c ? 0 的两根,故 (1 ? c)2 ? 4(c2 ? c) ? 0 ,即 3c 2 ? 2c ? 1 ? 0 ,故 ? ? c ? 1 ,故 3 4 a ? b ? [0, ] 。 3

10.当 0 ≤ x1 ? 4 ≤ x2 ≤ 6 时,因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,得到 x1 的取值范围是

?x 2 , 1 ≤ x ? 2, ? [1, 3] ,所以 x1 ? f ( x2 ) ? x1 ? f ( x1 ) ? x1 (2 ? x1 ? 2 ) ? ? 1 2 即 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是 [1, 4] . ? x ? 4 x , 2 ≤ x ? 3. ? ? 1 1
15.

① 因为 a ? 0 没有意义,故命题错误; ② 自然数的加法是一个代数运算,加法满足结合律(1)、(2)有单位元 0、但不满足(3)使 a ? b ? 0 , 故命题正确; ③有理数集的乘法是一个代数运算,满足(1) 、 ( 2) 、 (3) ,有单位元 1、存在逆元使 a ? 题正确;

1 ? 1 ,故命 a

④ 是代数运算,运算不满足(1).

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