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高中数学专题训练(八)——立体几何中求角与距离



高中数学专题训练

——立体几何中求角与距离
1. 四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB⊥面 ABCD. (1)若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60°,求这个 四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面 PAD 与面 PCD 所 成的二面角恒大于 90° 1. (1)正方形 ABCD 是四棱锥 P—ABCD

的底面, 其面积 为 a 2 , 从而只要算出四棱锥的高就行了.
? PB ? 面 ABCD,

∴BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影.又 DA⊥AB, ∴PA⊥DA, ∴∠PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角, ∠PAB=60°. 而 PB 是四棱锥 P—ABCD 的高,PB=AB·tg60°= 3 a,
1 3 3 3a ? a 2 ? a . 3 3

?V锥 ?

(2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形. 作 AE⊥DP,垂足为 E,连结 EC,则△ADE≌△CDE,
? AE ? CE, ?CED ? 90? , 故?CEA是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面

角. 设 AC 与 DB 相交于点 O,连结 EO,则 EO⊥AC,

1

?

2 a ? OA ? AE ? AD ? a. 2

2 2 2 ? 2OA) 在 ?AEC中, cos?AEC ? AE ? EC ? (2 ? OA) ? ( AE ? 2OA)( AE ? 0. 2

2 AE ? EC

AE

故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90°.

2 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1, C 点到 AB1 的距离为 CE=
3 ,D 为 AB 的中点. 2

(1)求证:AB1⊥平面 CED; (2)求异面直线 AB1 与 CD 之间的距离; (3)求二面角 B1—AC—B 的平面角.
A1 C1 B1

E

C D B

3. 已知 a—l— ? 是 120°的二面角,A,B 两点在棱上,AB=2,

A

D 在 ? 内,三角形 ABD 是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C 在 ? 内, ? ABC 是等 腰直角三角形∠ACB= 900. (I) 求三棱锥 D—ABC 的体积; (2)求二面角 D—AC—B 的大小; (3)求异面直线 AB、CD 所成的角.

2

4. 已知三棱锥 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC,AB=BC, D、F 分别为 AC、PC 的中点,DE⊥AP 于 E. (1)求证:AP⊥平面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BDF; (3)若 AE∶EP=1∶2,求截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成两部分的体积比.

5. 如图,几何体 ABCDE 中,△ABC 是正三角形,EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a, DC=a,F、G 分别为 EB 和 AB 的中点. (1)求证:FD∥平面 ABC; (2)求证:AF⊥BD; (3) 求二面角 B—FC—G 的正切值.

7. 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P、Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点,且 D1P∶PA=DQ∶ QB=5∶12. (1) 求证 PQ∥平面 CDD1C1; (2) 求证 PQ⊥AD; (3) 求线段 PQ 的长.

8. 如图 4,在长方体 ABCD ?

z D1 A1 A x D E 图4 B B1 C1 C y 3

A1B1C1D1 中,AD= AA1 =1,AB=2,点 E 在棱 AB

上移动。 (Ⅰ)证明: D1E ? A1D ; (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面

ACD1 的距离;
(Ⅲ)AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 。 4

9. 如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长都相等,D、E 分别为 AC1,BB1 的 中点。 (1)求证:DE∥平面 A1B1C1; (2)求二面角 A1—DE—B1 的大小。
A
D
C

A1 C1

B

E

B1

10.如图:已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,AB=AC,F 为棱 BB1 上一点,BF∶FB1= 2∶1,BF=BC=2a。 (I)若 D 为 BC 的中点,E 为 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明 EF⊥FC1; (II) 试问: 若 AB=2a, 在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60° 角,为什么?证明你的结论

11.如图, 在底面是直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°,且 ∠ADC ? arcsin
5 ,又 PA⊥平面 ABCD, 5

AD=3AB=3PA=3a。 (I)求二面角 P—CD—A 的正切值; (II)求点 A 到平面 PBC 的距离。

4

P

A B C

D

12.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F 分别是 BA、 BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角θ 的大小.

13. 已 知 四 棱 锥 P — ABCD , 底 面 ABCD 是 菱 形 ,
?DAB ? 60?, PD ? 平面 ABCD,PD=AD,

点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点. (1)证明平面 PED⊥平面 PAB; (2)求二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值

14.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在 棱 CC1 上,且 CC1=4CP. (Ⅰ)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示) ; D1 C1 (Ⅱ)设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H⊥AP ; O · (Ⅲ)求点 P 到平面 ABD1 的距离. A
1

B1

· H P D A B C

15.如图, 在四棱锥

中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 交 PB 于点 F。

底面 ABCD,

,E 是 PC 的中点,作 (I)证明 平面 ;

5

(II)证明 (III)求二面角

平面 EFD; 的大小。

16.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点. (I)试确定点 F 的位置,使得 D1E⊥平面 AB1F; (II)当 D1E⊥平面 AB1F 时,求二面角 C1—EF—A 的大小(结果用反三角函数值 表示).

17.如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是 梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P、Q 分别是 CC1、C1D1 的中点。点 P 到直线 Q D1 C1 3 2 AD1 的距离为
2

⑴求证:AC∥平面 BPQ ⑵求二面角 B-PQ-D 的大小
D

A1

B1

P C

B1 的 A 18.已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=4,AA1=8,E、F 分别为 AD 和 CC 中点,O1 为下底面正方形的中心。 D C (Ⅰ)证明:AF⊥平面 FD1B1; E (Ⅱ)求异面直线 EB 与 O1F 所成角的余弦值;

A

B

F
19. 图①是一个正方体的表面展开图, MN 和 PQ 是两 D1 条面对角线,请在图(2)的正方体中将 MN,PQ 画 O1 出来,并就这个正方体解答下列各题: A1 (1)求 MN 和 PQ 所成角的大小; (2)求四面体 M—NPQ 的体积与正方体的体积之比; (3)求二面角 M—NQ—P 的大小。

C1 H B1

6

20. 如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD,侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形, 底面 ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120°。 (1)求点 P 到平面 ABCD 的距离; (2)求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。

答案:
1. (1)正方形 ABCD 是四棱锥 P—ABCD 的底面, 其面积 为 a 2 , 从而只要算出四棱锥的高就行了.
? PB ? 面 ABCD,

∴BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影.又 DA⊥AB, ∴PA⊥DA, ∴∠PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角, ∠PAB=60°. 而 PB 是四棱锥 P—ABCD 的高,PB=AB·tg60°= 3 a,
1 3 3 3a ? a 2 ? a . 3 3
7

?V锥 ?

(2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形. 作 AE⊥DP,垂足为 E,连结 EC,则△ADE≌△CDE,
? AE ? CE, ?CED ? 90? , 故?CEA是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面

角. 设 AC 与 DB 相交于点 O,连结 EO,则 EO⊥AC,
? 2 a ? OA ? AE ? AD ? a. 2

2 2 2 ? 2OA) 在 ?AEC中, cos?AEC ? AE ? EC ? (2 ? OA) ? ( AE ? 2OA)( AE ? 0. 2

2 AE ? EC

AE

故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90°.

2. (1)∵D 是 AB 中点,△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB 又 AA1⊥平面 ABC,∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥AB1,又 CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面 CDE; ∴CD⊥DE

(2)由 CD⊥平面 A1B1BA ∵AB1⊥平面 CDE

∴DE⊥AB1

∴DE 是异面直线 AB1 与 CD 的公垂线段
3 2 ,AC=1 , ∴CD= . 2 2
1 ; 2

∵CE=

∴ DE ? (CE ) 2 ? (CD ) 2 ?

(3)连结 B1C,易证 B1C⊥AC,又 BC⊥AC , ∴∠B1CB 是二面角 B1—AC—B 的平面角.
3 ,BC=AC=1, 2

在 Rt△CEA 中,CE= ∴∠B1AC=600

8

∴ AB1 ?

1 ? 2, cos 60 2

∴ BB1 ? ( AB1 ) 2 ? ( AB ) 2 ? 2 ,

∴ tg?B1CB ?

BB1 ? 2 , ∴ ?B1CB ? arctg 2 . BC

3. (1) 过 D 向平面 ? 做垂线,垂足为 O,连强 OA 并延长至 E.

? AB?AD, OA为DA在平面?上的射影 ,? AB?OA? ?DAE 为二面角 a—l— ?
的平面角. ?DAE ? 120? ,? ?DAO ? 60?. ? AD ? AB ? 2,? DO ? 3 .
? ?ABC 是等腰直角三角形,斜边 AB=2.? S?ABC ? 1, 又 D 到平面 ? 的距离

DO= 3.
3 . 3

?VD ? ABC ?

(2)过 O 在 ? 内作 OM⊥AC,交 AC 的反向延长线于 M,连结 DM.则 AC⊥DM.∴ ∠ DMO 为二面角 D — AC — B 的平面角 . 又在△ DOA 中, OA=2cos60 ° =1. 且
2 . ?tg?DMO ? 6.? ?DMO ? arctg 6. 2

?OAM ? ?CAE ? 45? ,? OM ?

(3)在 ? 平在内,过 C 作 AB 的平行线交 AE 于 F,∠DCF 为异面直线 AB、CD 所成的角.

? AB?AF,?CF?AF ?CF?DF, 又?CAF ? 45? ,即?ACF 为等腰直角

三角形,又 AF 等于 C 到 AB 的距离,即△ABC 斜边上的高,? AF ? CF ? 1.
? DF 2 ? AD 2 ? AF 2 ? 2 AD ? AF cos 120 ? ? 7. ? tg?DCF ? DF ? 7 . ? tg?DCF ? 7 . CF

异面直线 AB,CD 所成的角为 arctg 7 .

4. 设容器的高为 x.则容器底面正三角形的边长为 a ? 2 3x ,

9

?V ( x ) ?

3 a ? x ? ( a ? 2 3 x ) 2 (0 ? x ? ) 4 2 3 ? 3 1 ? ? 4 3x ? (a ? 2 3x)(a ? 2 3 x) 4 4 3

?

1 4 3x ? a ? 2 3x ? a ? 2 3x 3 a 3 . ( ) ? 16 3 54

3 当且仅当 4 3x ? a ? 2 3x, 即x ? 3 a时, Vmax ? a . .

18

54

故当容器的高为

3 时,容器的容积最大,其最大容积为 a . a 54 18

3

5. (1)∵PC⊥底面 ABC,BD ? 平面 ABC,∴PC⊥BD. 由 AB=BC,D 为 AC 的中点,得 BD⊥AC.又 PC∩AC=C,∴BD⊥平面 PAC. 又 PA ? 平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知 DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面 BDE. (2)由 BD⊥平面 PAC,DE ? 平面 PAC,得 BD⊥DE.由 D、F 分别为 AC、PC 的 中点,得 DF//AP. 由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面 BDF. 又? DE ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BDF. (3)设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1 和 h2.则 h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
1 ?h ?S V P ? EBF V E ? PBF 3 1 ?PBF 2 1 ? ? ? ? ? . V P ? ABC V A? PBC 1 3? 2 3 ? h2 ? S ?PBC 3

故截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成两部分体积的比为 1∶2 或 2∶1 6. ∵F、G 分别为 EB、AB 的中点, ∴FG=
1 EA,又 EA、DC 都垂直于面 ABC, 2

FG=DC,

∴四边形 FGCD 为平行四边形,∴FD∥GC,又 GC ? 面 ABC,

10

∴FD∥面 ABC. (2)∵AB=EA,且 F 为 EB 中点,∴AF⊥EB ① 又 FG∥EA,EA⊥面 ABC

∴FG⊥面 ABC ∵G 为等边△ABC,AB 边的中点,∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC 又 FD∥GC,∴AF⊥FD ②

由①、②知 AF⊥面 EBD,又 BD ? 面 EBD,∴AF⊥BD. (3)由(1) 、 (2)知 FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面 GCF. 过 G 作 GH⊥FC,垂足为 H,连 HB,∴HB⊥FC. ∴∠GHB 为二面角 B-FC-G 的平面角. 易求 GH ?
3 a,? tg?GHB ? 2 a 3 a 2 ? 2 3 . 3

7. (1)在平面 AD1 内,作 PP1∥AD 与 DD1 交于点 P1,在平面 AC 内,作 QQ1∥BC 交 CD 于点 Q1,连结 P1Q1. ∵
D1 P DQ 5 ? ? , PA QB 12

∴PP1 // QQ1 . 知 PQ∥P1Q1

由四边形 PQQ1P1 为平行四边形, 而 P1Q1 ? 平面 CDD1C1, (2)? AD⊥平面 D1DCC1, 又∵PQ∥P1Q1,

所以 PQ∥平面 CDD1C1 ∴AD⊥P1Q1,

∴AD⊥PQ.

(3)由(1)知 P1Q1 // PQ,
DQ1 DQ 5 ? ? ,而棱长 Q1 C QB 12

CD=1.

∴DQ1=

5 . 17

同理可求得 P1D=

12 . 17

在 Rt△P1DQ1 中,应用勾股定理, 立得

11

13 ? 12 ? ? 5 ? P1Q1= P1 D ? DQ ? ? ? ? ? ? ? . 17 ? 17 ? ? 17 ?
2 2

2

2

8. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AE ? a ,则 A1 (1,0,1) , D1 (0,0,1) ,
E (1, a, 0) ,

A(1, 0, 0) , C (0, 2, 0) 。

(Ⅰ)证明:由 DA1 ? (1,0,1) , D1E ? (1, a ?1, ?1) ,

DA1 ? D1E ? (1,0,1) ? (1, a ?1, ?1) ? 1 ?1 ? 0 ,有 DA1 ? D1E ,于是 D1E ? A1D 。
(Ⅱ)E 是 AB 的中点,得 E (1,1, 0) 。
? D1E ? (1,1, ?1) , AC ? (?1, 2,0) , AD1 ? (?1,0,1) 。

设平面 ACD1 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,单位法向量为 n0 ,

?x ? 1 ? n ? AC ? 0 ?( x, y,1) ? (?1, 2,0) ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? ? 由? ,解得 ? ?? ?? 1。 ( x , y ,1) ? ( ? 1,0,1) ? 0 ? x ? 1 ? 0 y ? n ? AD ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 2
1 于是 n ? (1, ,1) ,有 n0 ? 2

1 (1, ,1) 2 1 2 2 ? ( , , )。 3 3 3 1 1? ?1 4

设点 E 到平面 ACD1 的距离为 d ,则
2 1 2 1 d ? D1E ? n0 ? (1,1, ?1) ? ( , , ) ? 。 3 3 3 3
1 所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 。 3

(Ⅲ)平面 DEC 的法向量 n1 ? (0,0,1) ,设平面 D1EC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) 。 又 EC ? (?1, 2 ? a,0) , D1C ? (0,2, ?1) 。
?n2 ? EC ? 0 ?( x, y,1) ? (?1, 2 ? a,0) ? 0 ? 由? ,得 ? ?( x, y,1) ? (0, 2, ?1) ? 0 ? ?n2 ? D1C ? 0

12

a ? x ? 1? ? ?? x ? y(2 ? a) ? 0 a 1 ? 2 ,解得 ? ,于是 n2 ? (1 ? , ,1) 。 ?? 2 2 ?2 y ? 1 ? 0 ?y ? 1 ? ? 2

设所求的二面角为 ? ,则 ? ?

?
4



a 1 (0, 0,1) ? (1 ? , ,1) 2 2 ? 2 ,得 (1 ? a ) 2 ? 1 ? 1 ? 2 。 有 cos ? ? cos ? DD1 , n2 ?? 2 4 2 a 1 (1 ? )2 ? ? 1 2 4
解得 a ? 2 ? 3 , 所以,当 AE= 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 。 4

9. (1) 取 A1C1 中点 F, 连结 B1F,DF,∵D1E 分别为 AC1 和 BB1 的中点, DF∥AA1, DF=(1/2)AA1,B1E∥AA1,B1E=(1/2)AA1,∴DF∥B1E,DF=B1E,∴DEB1F 为平 行四边形,∴DE∥B1F,又 B1F 在平面 A1B1C1 内,DE 不在平面 A1B1C1,∴DE∥平 面 A1B1C1 (2)连结 A1D,A1E,在正棱柱 ABC—A1B1C1 中,因为平面 A1B1C1⊥平面 ACC1A1, A1C1 是平面 A1B1C1 与平面 ACC1A1 的交线,又因为 B1F 在平面 A1B1C1 内,且 B1F ⊥A1C1, , 所以 B1F⊥平面 ACC1A1, 又 DE∥B1F, 所以 DE⊥平面 ACC1A1 所以∠FDA1 为二面角 A1—DE—B1 的平面角。并且∠FDA1=(1/2)∠A1DC1,设正三棱柱的棱 长 为 1 , 因 为 ∠ AA1C1=900 , D 是 AC1 的 中 点 , 所 以 2 2 0 DC1 ? , A1 D ? , ?A1 DC1 ? 900 ,? ?FDA 1 ? 45 , 即为所求的二面角的度数。 2 2 10. (I)连结 DF,DC ∵三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC,∴平面 BB1C1C⊥平面 ABC ∵ AB = AC , D 为 BC 的 中 点 , ∴ AD ⊥ BC , AD ⊥ 平 面 BB1C1C 3' ∴DF 为 EF 在平面 BB1C1C 上的射影, 在△DFC1 中,∵DF2=BF2+BD2=5a2, DC12 = CC12 +DC2=10a2,
FC1 =B1F2+ B1C12 =5a2, ∴ DC12 =DF2+ FC12 ,∴DF⊥FC1
2

FC1



EF

13

( II ) ∵ AD ⊥ 平 面 BB1C1C , ∴ ∠ DFE 是 EF 与 平 面 BB1C1C 所 成 的 角

在△EDF 中,若∠EFD=60°,则 ED=DFtg60°= 3 · 5a = 15a , ∴ 15a > 3a , ∴ E 在 DA 的 延 长 线 上 , 而 不 在 线 段 AD 上

故 线 段 AD 上 的 E 点 不 能 使 EF 与 平 面 BB1C1C 成 60 ° 角 。

11. 解: (1)在底面 ABCD 内,过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,连结 PE
P

H A B E C

D

∵PA⊥平面 ABCD,由三垂线定理知:PE⊥CD ∵∠PEA 是二面角 P—CD—A 的平面角 在 Rt?AED 中, AD ? 3a,?ADE ? arcsin
5 3 5 ? AE ? AD ? sin ?ADE ? a 5 5

在 Rt?PAE 中, tan ?PEA ?

5 PA 5 ∴二面角 P—CD—A 的正切值为 ? 3 AE 3

(II)在平面 APB 中,过 A 作 AH⊥PB,垂足为 H∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥ BC 又 AB⊥BC,∴BC⊥平面 PAB∴平面 PBC⊥平面 PAB ∴AH⊥平面 PBC 故 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离 在等腰直角三角形 PAB 中, AH ?
2 2 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 a a, 2 2

12. 解法一: (Ⅰ)以 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系,则 F(1,0,0) ,E(1,1,0) ,A(0,2,0) ,C1(0,0,2) ,

AC1 ? (0,?2,2)
设 G(0,2,h) ,则 EG ? (?1,1, h).? AC1 ? EG,? EG ? AC1 ? 0. ∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1,即 G 是 AA1 的中点.
14

(Ⅱ)设 m ? ( x, y, z) 是平面 EFG 的法向量,则 m ? FE, m ? EG.

?0 ? x ? 1? y ? 0 ? z ? 0, 所以 ? 平面 EFG 的一个法向量 m=(1,0,1) ?? x ? y ? z ? 0.
∵ sin ? ? ∴? ?
| m ? AC1 | | m | ? | AC1 | ? 2 2?2 2 ? 1 , 2

? 6 6 解法二: (Ⅰ)取 AC 的中点 D,连结 DE、DG,则 ED//BC ∵BC⊥AC,∴ED⊥AC. 又 CC1⊥平面 ABC,而 ED ? 平面 ABC,∴CC1⊥ED. ∵CC1∩AC=C,∴ED⊥平面 A1ACC1. 又∵AC1⊥EG,∴AC1⊥DG. 连结 A1C,∵AC1⊥A1C,∴A1C//DG. ∵D 是 AC 的中点,∴G 是 AA1 的中点. (Ⅱ)取 CC1 的中点 M,连结 GM、FM,则 EF//GM, ∴E、F、M、G 共面.作 C1H⊥FM,交 FM 的延长线于 H,∵AC⊥平面 BB1C1C, C1H ? 平面 BB1C1C,∴AC⊥G1H,又 AC//GM,∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M, ∴C1H⊥平面 EFG,设 AC1 与 MG 相交于 N 点,所以∠C1NH 为直线 AC1 与平 面 EFG 所成角θ .
, 即 AC1 与平面 EFG 所成角 ? 为 因为 C1 H ?
2 2 1 ? , C1 N ? 2 ,? sin ? ? ? ,?? ? . 2 6 2 2 2

?

13. (1)证明:连接 BD.
? AB ? AD, ?DAB ? 60?,? ?ADB 为等边三角形.

? E 是 AB 中点,? AB ? DE . ? PD ? 面 ABCD,AB ? 面 ABCD,? AB ? PD .
? DE ? 面 PED,PD ? 面 PED, DE ? PD ? D,? AB ? 面 PED. ? AB ? 面 PAB,? 面PED ? 面 PAB.

(2)解:? AB ? 平面 PED,PE ? 面 PED,? AB ? PE . 连接 EF,? EF ? PED,? AB ? EF . ? ? PEF 为二面角 P—AB—F 的平面角. 设 AD=2,那么 PF=FD=1,DE= 3 . 在 ?PEF中, PE ? 7 , EF ? 2, PF ? 1,

? cos?PEF ?

( 7 ) 2 ? 22 ? 1 2? 2 7

?

5 7 , 14

15

即二面角 P—AB—F 的平面角的余弦值为 14 、 解 ( 1 )

5 7 . 14
4 17 17

?APB ? arctan

(2)略 ( 3 )
3 2 2

15.方法一: (I)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O。连结 EO。 底面 ABCD 是正方形, 点 O 是 AC 的中点 在 而 所以, (II)证明: ① 中,EO 是中位线, 平面 EDB 且 平面 EDB。 底在 ABCD 且 同样由 底面 ABCD, 底面 ABCD,得 平面 PDC PDC , ② 平面 EDB, 。

底面 ABCD 是正方形,有 而 平 面

………………………………6 分 由①和②推得 又 且 平面 PBC 而 平面 PBC, 平面 EFD 是二面角 的平面角 ,则

,所以 ,故

(III)解:由(II)知, 由 (II) 知 ,

设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为



中,
16



中,

所以,二面角

的大小为

方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点。设 (I) 证 明 : 连 结 AC , AC 交 BD 于 G 。 连 结 EG 。 依 题 意 得

底面 ABCD 是正方形,

是此正方形的中心,

故点 G 的坐

标为



。这表明 而 平面 EDB 且

。 平面 EDB, 平面 EDB。

(II)证明:依题意得

。又



由已知

,且

所以

平面 EFD。

(III)解:设点 F 的坐标为



从而

所以

17

由条件

知,



解得



点 F 的坐标为





,故

是二面角

的平面角。



16.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理 运算能力,满分 12 分. 解法一: (I)连结 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A;内的射影 ∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1, 于是 D1E⊥平面 AB1F ? D1E⊥AF. 连结 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影. ∴D1E⊥AF ? DE⊥AF. ∵ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点. ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥AF, 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F.…………6 分 (II)当 D1E⊥平面 AB1F 时,由(I)知点 F 是 CD 的中点. 又已知点 E 是 BC 的中点,连结 EF,则 EF∥BD. 连结 AC, 设 AC 与 EF 交于点 H,则 CH⊥EF,连结 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影. C1H⊥EF,即∠C1HC 是二面角 C1—EF—C 的平面角. 在 Rt△C1CH 中,∵C1C=1,CH=
1 2 AC= , 4 4

18

∴tan∠C1HC=

C1C 1 ? ?2 2. CH 2 4

∴∠C1HC=arctan 2 2 ,从而∠AHC1= ? ? arctan2 2 . 故二面角 C1—EF—A 的大小为 ? ? arctan2 2 . 解法二:以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (1)设 DF=x,则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,D(0,1,0) , 1 A1(0,0,1) ,B(1,0,1) ,D1(0,1,1) ,E (1, ,0) ,F(x,1,0) 2

1 ? D1 E ? (1,? ,?1), AB1 ? (1,0,1), AF ? ( x,1,0) 2 ? D1 E ? AB1 ? 1 ? 1 ? 0,即D1 E ? AB1 于是D1 E ? 平面AB1 F ? D1 E ? AF ? D1 E ? AF ? 0 ? x ? 1 即x ? .故当点F是CD的中点时, D1 E ? 平面AB1 F 2
(1)当 D1E⊥平面 AB1F 时,F 是 CD 的中点,又 E 是 BC 的中点,连结 EF, 则 EF∥BD. 连结 AC,设 AC 与 EF 交于点 H,则 AH⊥EF. 连结 C1H,则 CH 是 C1H 在底面 ABCD 内的射影. ∴C1H⊥EF,即∠AHC1 是二面角 C1—EF—A 的平面角. 3 3 ? C1 (1,1,1), H ( , ,0), 4 4 1 1 3 3 ? HC1 ? ( , ,1), HA ? (? ,? ,0). 4 4 4 4

1 ?0 2

? cos?AHC1 ?

HA ? HC1 | HA | ? | HC1 | ? 3 8 ?? 1 3

?

9 9 ? 8 8

17、⑴连接 CD1 ∵P、Q 分别是 CC1、C1D1 的 中点。∴CD1∥PQ 故 CD1∥平面 BPQ 又 D1Q=AB=1,D1Q∥AB, 得平行四边形 ABQD1,故 AD1∥平面 BPQ
E D

D1 F A1

Q H B1 G

C1 P C

A

B

19

∴平面 ACD1∥平面 BPQ ∴AC∥平面 BPQ (4 分) ⑵设 DD1 中点为 E,连 EF,则 PE∥CD ∵CD⊥AD,CD⊥DD1 ∴CD⊥平面 ADD1 ∴PE⊥平面 ADD1 过 E 作 EF⊥AD1 于 F,连 PF。则 PF⊥AD1,PF 为点 P 到直线 AD1 的距离 PF=
3 2 ,PE=2 2

∴EF=

2 2

又 D1E= ,D1D=1,∴AD=1

1 2

取 CD 中点 G,连 BG,由 AB∥DG,AB=DG 得 GB∥AD。∵AD⊥DC,AD⊥DD1 ∴AD⊥平面 DCC1D1,则 BG⊥平面 DCC1D1 过 G 作 GH⊥PQ 于 H,连 BH,则 BH⊥PQ,故∠BHG 是二面角 B-PQ-D 的平 面角。 由△GHQ∽△QC1P 得 GH= ∴二面角 B-PQ-D 大小为 arctan
2 5
5 2

,又 BG=1,得 tan∠BHG=

5 2

18、解 本题考查空间的线面关系,向量法及其运算。 (Ⅰ)证法一:如图建立空间直角坐标系。则 D1(0,0,0) 、O1(2,2,0) B1(4,4,0) 、E(2,0,8) 、A(4,0,8) 、B(4, Z 4,8) 、 D F(0,4,4) 。 C E
AF =(-4,4,-4) , D1F =(0,4,4) ,

A

B F D1 C1 O1 B1

B1F =(-4,0,4)

AF D1F =0+16-16=0, AF B1F =16+0-16=0
∴AF⊥平面 FD1B1. 证法二:连结 BF、DF,则 BF 是 AF 在面 BC1 上的射 影,易证得 BF⊥B1F, DF 是 AF 在面 DC1 上的射影,也易证得 DF⊥D1F,所 以 AF⊥平面 FD1B1.
A1 x

Y

(Ⅱ)解法一: EB = ( 2 , 4 , 0 ) , O1F = ( -2 , 2 , 4 ) 设 EB 与 O1F 的夹角为 ? ,则

E A
(?2) ? 2 ? 4
2 2 2

D B

C

cos? ?

EB O1F ? | EB | | O1F |

2 ? (?2) ? 4 ? 2 ? 0 2 ?4
2 2

=

30 …… 30

F D1 A1 C1 O1
20

解法二:在 B1C1 上取点 H,使 B1H=1,连 O1H 和 FH。

H B1

易证明 O1H∥EB,则∠FO1H 为异面直线 EB 与 O1 F 所成角。 又 O1H=
1 BE= 5 ,HF= 32 ? 42 =5, 2

O1F= 2 2 ? 2 2 ? 4 2 =2 6 , ∴在△O1HF 中,由余弦定理,得
24 ? 5 ? 25 2? 5 ?2 6
30 30

cos∠FO1H=

=

19. 解: (1)如图②,作出 MN、PQ

∵PQ∥NC,又△MNC 为正三角形 ∴∠MNC=60° ∴PQ 与 MN 成角为 60° 1 ( 2 )VM ? NPQ ? VQ ? PMN ? S ?PMN ·MQ 3

1 1 · 2S ?PMN ·MQ ? S PMDN ·MQ 6 6 1 ? V正方体 6 ?
即四面体 M—NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1:6 (3)连结 MA 交 PQ 于 O 点,则 MO⊥PQ 又 NP⊥面 PAQM,∴NP⊥MO,则 MO⊥面 PNQ 过 O 作 OE⊥NQ,连结 ME,则 ME⊥NQ ∴∠MEO 为二面角 M—NQ—P 的平面角 在 Rt△NMQ 中,ME·NQ=MN·MQ 设正方体的棱长为 a

ME ?

2 a·a 6 2 ? a,又MO ? a 3 2 3a

21

MO 在Rt?MEO中, sin ∠MEO ? ? ME

2 a 3 2 ? 2 6 a 3

∴∠MEO=60° 即二面角 M—NQ—P 的大小为 60°。 20. 解: (1)作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O,连结 OB、OA、OD,OB 与 AD 交于 点 E,连结 PE

∵AD⊥PB,∴AD⊥OB(根据___________) ∵PA=PD,∴OA=OD 于是 OB 平分 AD,点 E 为 AD 中点 ∴PE⊥AD ∴∠PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
又PE ? 3 ,∴PO ? PE sin 60o ? 3 · 3 3 ? 2 2

即为 P 点到面 ABCD 的距离。 (2)由已知 ABCD 为菱形,及△PAD 为边长为 2 的正三角形 ∴PA=AB=2,又易证 PB⊥BC 故取 PB 中点 G,PC 中点 F 则 AG⊥PB,GF∥BC 又 BC⊥PB,∴GF⊥PB ∴∠AGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角 ∵GF∥BC∥AD,∴∠AGF=π -∠GAE 连结 GE,易证 AE⊥平面 POB

又PE ? BE ? 3,G为PB中点
∴∠PEG ? 1 o ∠PEB ? 60 2
o

∴GE ? PE cos60 ? 3 ?

1 3 ? 2 2

22

在Rt?AGE中,AE ?

1 AD ? 1 2

∴ tan ∠GAE ?

GE 3 ? AE 2 3 2 3 2

∴∠GAE ? arctan

∴∠AGF ? ? ? arctan

所以所求二面角的大小为? ? arctan

3 2

(2)解法 2:如图建立直角坐标系,其中 O 为坐标原点,x 轴平行于 DA
P( 0, 0, 3 3 3 ),B( 0, , 0) 2 2 3 3 3 , ),连结AG 4 4

PB的中点G的坐标为( 0,

又A(1,

3 3 3 , 0),C( ? 2 , , 0) 2 2 ? 3 3 3 3 3 , ? ), PB ? ( 0, , ? ), 4 4 2 2

? 由此得到 GA ? (1, ?
? BC ? ( ? 2 , 0, 0)

? ? ? ? 于是 GA · PB ? 0, BC · PB ? 0 ? ? ? ? ∴ GA ⊥ PB , BC ⊥ PB ? ? ∴ GA 、 BC 的夹角?为所求二面角的平面角
? ? GA · BC 2 7 于是 cos ? ? ? ? ?? 7 | GA | · | BC|
∴所求二面角大小为? ? arccos 2 7 7

23



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