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惠州市2014姐高三第一次调研考数学(文科)试题



惠州市 2014 届高三第一次调研考试
数学试题(文科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1 , 1.已知集合 M ? ? ,2,3? N ? x

? Z 1 ? x ? 4 ,则 (
A. M ? N 2.复数 B. N ? M ) B. ?1 ? i C. 1 ? i

?

?

) D. M ? N ? (1,4)

C. M ? N ? {2,3}

2 等于( 1? i

A. ?1 ? i

D. 1 ? i ) D.16

3.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,则 a4 的值为( A.7 B.8 C.9

4.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、 180 户,若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法 决定各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( A.40 B.36 C.30 ) D.20 )
?| x|

5.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 ? 0,??? 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x
2

C. y ? cos x

D. y ? 2 )

6.已知平面向量 a,b 的夹角为

? ,且 a ? b =3 , a ? 3 ,则 b 等于( 6
C.

A.

3

B. 2 3

2 3 3

D. 2 )

7.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是( A. 6 ? 2 3 B.

9 3 2

C. 6 ? 3

D.

3


8.执行如图所示程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出的 k 值是( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

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2 9.圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y ? x 相切于第三象限, a 的值是 则 ( 2

) .

开始 输入 x

A. 2

B. ?2

C. ? 2

D. 2

10.设函数 f ( x) ? x3 ? 4x ? a(0 ? a ? 2) 有三个零点 x1 , x2 , x3 , 且 x1 ? x2 ? x3 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 C. 0 ? x2 ? 1 ) D. x3 ? 2

k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.

x ? 23?




1 11.在 △ABC 中,若 b ? 3, c ? 1, cos A ? ,则 a = 3

.

? x?2 ? 12.不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?y ? x ?1 ?

输出 k . 结束

13.定义映射 f : A ? B ,其中 A ? ( m, n) m, n ? R , B ? R ,已知对所有的有序正整 数对 (m, n) 满足下述条件:① f (m,1) ? 1 ,②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ; ③ f (m ? 1, n) ? n ? f (m, n) ? f (m, n ? 1)? ,则 f (2, 2) ? .

?

?

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线过圆 C : ? ? 2 2 cos? 的圆心 C , 且与直线 OC 垂直, 则直线的极坐标方程为 . D 15.(几何证明选讲选做题) 如图示,C、D 是半圆周上的两个三等 分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E ,则 CE 的长 为 . A O E B C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x ? cos x .(1)求函数 f (x) 的最小正周期

tan x ?
和最小值;(2)若

3 x ? ? 0, ? ? ? x f( ? ) ? ? ? 2 ? ,求 4 2 的值. 4,

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17.(本小题满分 12 分)
为 查 客 候 情 , 交 司 某 台 60名 车 客 随 抽 15人 将 们 候 时 ( 位 分 ) 为 本 调 乘 的 车 况 公 公 在 站 的 候 乘 中 机 取 , 他 的 车 间 单 : 钟 作 样 分 成 , 下 所 : 5组 如 表 示

组别 一

候车时间

人数 2 6 4 2 1

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数;

[0,5)

(2)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步 的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 18.(本小题满分 14 分)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 棱长为 2, E 是棱 CD 上中点, P 是棱 AA1 中点, (1) 求证:PD / / 面 AB1 E ; (2) 求三棱锥 B ? AB1E 的体积. 19.(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? an , Sn ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 E D 上, n ? N * .(1)证明数列 ?an ? 为等比数列,并求出其通项; A (2)设 f (n) ? log 1 an ,记 bn ? an?1 ? f (n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 和 Tn .
2

二 三 四 五

[5,10)
[10,15) [15, 20)

[20, 25]

C

B D
1

20.(本小题满分 14 分)如图, A , B

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 是椭圆 a b 的两个

P

C
1

1 AB ? 5 顶点, ,直线 AB 的斜率为 2 . ?
(1) 求椭圆的方程;(2)设直线 l 平行于 AB , 与 x, y 轴分别交于点 M 、N ,与椭圆相交于 C、D , 证明:△ OCM 的面积等于△ ODN 的面积.

A
1

B
1

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? a( x2 ? x)(a ? 0, a ? R) ,

h( x) ? f ( x) ? g ( x) (1)若 a ? 1 ,求函数 h( x) 的极值;
(2)若函数 y ? h( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (3)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,使线段 AB
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的中点的横坐标 x0 与直线 AB 的斜率 k 之间满足 k ? f ?( x0 ) ?若存在,求出 x0 ; 若不存在,请说明理由.

惠州市 2014 届高三第一次调研考试试题 数 学(文科)答案
一、选择题 题号 答案 【解析】 1. N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ? ?2,3? ,故 M ? N ? {2,3} ,选 C 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C

?

?

2.

2 2(1 ? i) ? ? 1 ? i ,选 D 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

3.数列 ?an ? 为 a1 ? 1 , q ? 2 等比数列, a4 ? a1q3 ? 8 ,选 B 4.设从乙社区抽取 n 户,则

270 n ? ,解得 n ? 30 ,选 C 360 ? 270 ? 180 90

5. y ? ln x 不是偶函数, y ? cos x 是周期函数,在区间 (0, ??) 上不是单调递减, y ? x 2 在区间 (0, ??) 上单调递增,故选 D。 6. a ? b ? a b cos

? ?

? ?

?
6

? 3?

? 2 3 ? b ? 3,? b ? 3 ,选 C 2 3

7.由三视图可知,三棱柱的高为 1,底面正三角形的高为 3 ,所以正三角形的边长为 2, 所以三棱柱的侧面积为 2 ? 3 ?1 ? 6 ,两底面积为 2 ?

1 ? 2 ? 3 ? 2 3 ,所以表面积为 2

6 ? 2 3 ,选 A.
8. x ? 3, k ? 0; x ? 8, k ? 1; x ? 13, k ? 2; x ? 18, k ? 3; x ? 23, k ? 4; x ? 28 ? 23, k ? 5 ,故选 C 9. d ?

a ?0 2

? r ? 1, 解得 a ? ? 2 ,因为圆与直线相切于第三象限,由图可知,a ? 0 ,

故选 C。
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10. f ?( x) ? 3x 2 ? 4 ,令 f ?( x ) ? 3 x ? 4 ? 0, x ? ?
2

2 3 故 3 2 3 3
0 极小值

x
f ?(x)
f ( x)

(??,?
+

2 3 ) 3

?

2 3 3
0

(?

2 3 2 3 , ) 3 3
— 递减

(

2 3 ,??) 3
+ 递增

递增

极大值

又因为 f (?1) ? 3 ? a ? 0 ,f (0) ? a ? 0 ,f (1) ? a ? 3 ? 0 ,

f (2) ? a ? 0 ,综合以上信息可得示意图如右,由图可知,

0 ? x2 <1,选 C.
二、填空题 11. 2 2

1 12. 2

13.2
2bc

14.

? cos? ? 2
3

15.

3

2 2 2 2 2 2 【解析】11.由余弦定理 cos A ? b ? c ? a ? 3 ? 1 ? a ? 1 , 解得 a ? 2 2

2 ? 3 ?1

12.不等式组表示的可行域如图所示,故面积为 13.由题意可知, f (1,1) ? 1 , f (1, 2) ? 0 ,

1 1 ?1 ?1 ? 2 2

f (2, 2) ? f (1 ? 1, 2) ? 2( f (1, 2) ? f (1,1)) ? 2(0 ? 1) ? 2
14. 圆 C 的直角坐标方程为 x ? 2

?

?

2

故圆心 C 为 ? y2 ? 2 ,

?

2, , 0

?

过 圆心 且与 OC 垂 直的直 线为 x ?

2 , 转为 极坐 标方程 为
D C

? cos? ? 2 。
15.依题意知 Rt ?ABC , ?CAB ? 30? , AB ? 4 ,则 BC ? 2, AC ? 2 3 ,
A

O

E

B

S ?ABC ?

1 1 AB? ? AC ?BC ,代入解得 CE ? 3 。 CE 2 2
……………………………2 分

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解:(1)已知函数即 f ( x ) ? 1 ? 1 sin 2 x,
2

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?T ?

2? ? ? … ………………………………………………………3 分 2

当 2x ?

3? 3? ? 2k? (k ? Z ) 时,即 x ? ? k? (k ? Z ) ,…………………………4 分 2 4
1 1 ? ( ?1) ? …………………………………………………………6 2 2

f ( x )min ? 1 ?



? ? ? ? (2) f ( ? ) ? 1 ? sin ? 2( ? ) ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? cos x ……………8 分 4 x 2 1 2 ? 4 x 2 ? 1 2 ?2 ? 1 2

?

?

?

由 tan x ? cos x ? 4 , sin2 x ? cos2 x ? 1 ,解得: cos x ? ? 5 ………10 分
? 4 ? x ? (0, ),cos x ? 0 ? cos x ? ……………………………………11 分 2 5

sin x

3

4

所以 f ( 4 ? 2 ) ? 1 ? 2 cos x ? 5

?

x

1

7

…………………………………12 分

17.解:(1)由频率分布表可知:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ? (2)设第三组的乘客为 a, b, c, d ,第四组的乘客为 1,2; “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件 A .………………………………5 分 所得基本事件共有 15 种,即:

8 ? 32 人.…4 分 15

ab, ac, ad, a1, a 2, bc, bd, b1, b2, cd , c1, c 2, d1, d 2,12 …………………8 分
其中事件 A 包含基本事件 a1, a 2, b1, b2, c1, c 2, d1, d 2 ,共 8 种,………10 分 由古典概型可得 P ( A) ?

8 , ………………………12 分 15

18.解:(1)取 AB1 中点 Q ,连接 PQ , 则 PQ 为中位线, PQ//

1 A1 B1 ,…………2 分 2


D

E

而正方体 ABCD-A B1C1D1 1 故 DE //

E 是棱 CD 上中点,
A B

C

1 A1 B1 ,………………4 分 2

? PQ//DE ,所以四边形 P QDE 为平行四边形。
P Q D1 A1
惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学试题(文科)

? PD// QE , ……………6 分

C1

B1

第 6 页 共 9 页

而 QE ? 面 AB1 E , PD ? 面 AB1 E , 故 PD // 面AB1 E ……………………………8 分 (2)正方体 ABCD-A B1C1D1 中, BB1 ? 面ABE ,故 BB1 为高, BB1 ? 2 ………10 分 1

? CD // AB

? S ?ABE ? S ?ABC ?

1 1 AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 …………12 分 2 2

故 V B ? AB E ? V B ? ABE ? 1 BB1 ? S ?ABC ? 4 ………14 分
1 1

3

3

19.解:(1)? an ? Sn ? 2 …………………………………1 分

? n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 2,? a1 ? 1 ………………2 分 n ? 2 时, an ? Sn ? 2 , an?1 ? Sn?1 ? 2 ………………………3 分
两式相减得: an ? an?i ? ( Sn ? Sn?1 ) ? an ? an?i ? an ? 0 ,

an 1 ? ,………5 分 an ?1 2

1 ??an ? 是以 a1 ? 1 为首项, 为公比的等比数列. ………………6 分 2
1 ? an ? ( )n ?1 …………………………………………7 分 2

(2) f (n) ? log a ? log ? 1 ? 1 n 1 ? ?
2
1

n ?1

2
2

?2?

1 n ? n ? 1 ,则 bn ? f ( n ? 1)an ?1 ? n( ) ,…………9分 2
3 n

?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ① ?2? ? 2? ? 2? ? 2?

1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 ?2? ?2? ? 2? ? 2?
2 3 4

2

3

4

n ?1

②…………………10分
n n ?1

①-②得: 1 T ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? n ? ? 1 ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? 2?
1 ? 1? n 1? 2 ? ? 2 ? 1? 1 ? 2
n

……………11 分 …………13 分

? n ?1 n ?1 n ? 1 n ?1? ?1? ?1? ? ? n ? ? ? ? 1 ? n ? n ? ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ? ?

?1? ?Tn ? 2 ? (2 ? n) ? ? ? ……14 分 ?2?

20.(1)解:依题意, A(a,0), B(0, b) , AB ?

a 2 ? b2 ,k ? b ? 0 ? ? b ? ? 1
0?a a

2

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第 7 页 共 9 页

整理得 ? ? , ?a 2

?b

1

………………………………2 分

? a 2 ? b 2 ? 5. ?

解得 a ? 2 , b ? 1 . 所以 椭圆的方程为

………………………………3 分 ………………………4 分
2

x2 ? y 2 ? 1. 4
2

(2)证明:由于 l // AB ,设直线 l 的方程为 y ? ? 1 x ? m ,将其代入 x ? y 2 ? 1,消去 y ,
4

整理得 2 x ? 4mx ? 4m ? 4 ? 0 . ………6 分
2 2

设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) . 所以 ?
?? ? 16m2 ? 32(m2 ? 1) ? 0, ? x1 ? x2 ? 2m, ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2.

………8 分

证法一:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 . 由 M (2m,0) , N (0, m) , 则 S1 ? S2 ? 1 ? | 2m | ? | y1 | ? 1 ? | m | ? | x2 | ? | 2 y1 | ? | x2 | ………………10 分
2 2

因为 x1 ? x2 ? 2m ,所以 | 2 y1 | ? | 2 ? (? 1 x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2m | ? | x2 | ,…13 分
2

从而 S1 ? S2 .

………………………………………14 分

证法二:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S2 . 则 S1 ? S2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD, MN 的中点重合. ………………10 分 因为 x1 ? x2 ? 2m ,所以 x1 ? x2 ? m , y1 ? y2 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? m ? 1 m .
2

2

2

2

2

故线段 CD 的中点为 ( m,

1 m) . 2 1 m) .……13 分 2

因为 M (2m,0) , N (0, m) ,所以 线段 MN 的中点坐标亦为 ( m, 从而 S1 ? S2 . ………………………………………14 分

21.解:(1) y ? h( x ) 的定义域为 (0, ??) ………………………………………………1 分
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第 8 页 共 9 页

h ?( x ) ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 1 ? ? ,…………………………………………2 分 x x

故 x ? (0,1) h?( x) ? 0, h( x ) 单调递增;

x ? (1, ??) h?( x) ? 0, h( x ) 单调递减,…………………3 分
x ? 1 时, h( x ) 取得极大值 h(1) ? 0 ,无极小值。……………………………4 分
(2) h( x) ? ln x ? a( x2 ? x) , h ?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) , x

若函数 y ? h( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增, 则 h ?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) ? 0 对 x ? 1 恒成立…………………………………5 分 x ?( 1 )max ………………6 分 2x ? x
2

1 1 1 ,只需 a a? x ? ? 2 x ? 1 x(2 x ? 1) 2 x 2 ? x
1

x ? 1 时, 2 x2 ? x ? 1 ,则 0 ? 2x 2 ? x ? 1 , ? 2x2 ? x ? ? ?

?

1

?
max

? 1 ,………7



故 a ? 1 , a 的取值范围为 1, ?? ? …………………………………8 分 (3)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,
x1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 x2 ………………………9 分 k? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ln
f ?( x0 ) ? 1 2 ? …………………………………………10 分 x0 x1 ? x2
x ln 1 x2 2 得 ? x1 ? x2 x1 ? x2

?

由 k ? f ?( x0 )

,整理得 ln

x1 2( x1 ? x2 ) ? ? x2 x1 ? x2

2(

x1 ? 1) x2 ………11 分 x1 ?1 x2
?0

令t ?

x1 (t ? 1)2 2(t ? 1) , u(t ) ? ln t ? t ? 1 (0 ? t ? 1) ,…12 分, u ?(t ) ? t (t ? 1)2 x2

? u(t ) 在 (0,1) 上单调递增,………………………………………13 分
? u(t ) ? u(1) ? 0 ,故 k ? f ?( x0 )

? 不存在符合题意的两点。…………………………14 分
惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学试题(文科)

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