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三角函数诱导公式、图像性质


教学内容:任意角三角函数、三角函数的诱导公式、图像及性质 教学目标:熟练掌握三块的知识点及基本题型 教学重点:任意角三角函数、三角函数的诱导公式 教学难点:三角函数的诱导公式 教学过程: 1. 知识要点

角的概念的推广:
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向 旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。

象限角的概念:
在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几 象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。

终边相同的角的表示:
? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2 k ? ( k ? Z ) 。

注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.
? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k ? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k ? ? ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ?
k? 2

?
2

,k ? Z ;

,k ? Z .

角度与弧度的互换关系:360°=2 ? 180°= ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. ? 与 ? 的终边关系:
2

任意角的三角函数的定义:
设 ? 是任意一个角,P ( x , y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) , 它与原点的距离是 r ?
tan ? ? y x
x ? y
2 2

y B S P T

? 0 ,那么 sin ? ?

y r r x

, co s ? ?

x r


r y

, ? x ? 0 ? , co t ? ?

x y

( y ? 0 ) , sec ? ?

?x

? 0 ? , csc ? ?

?y

? 0? 。
O

α M A x

三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 三角函数线的特征:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM “躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A (1, 0) 处(起点是 A )” 同角三角函数的基本关系式:
1.平方关系: sin ? ? co s ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? co t ? ? csc ? 2. 倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, sin ? co s ? , co t ? ? 3. 商数关系: tan ? ? co s ? sin ? 注意:1.角 ? 的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形式。
2 2 2 2 2 2

同角三角函数的基本关系主要用于:
1.已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。

第 1 页 共 6 页

2.化简三角函数式。 3.证明三角恒等式。

三角函数诱导公式: ( ? ? ? )”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” “ ,是指( ? ? ? ) ,k∈Z 的三角函数
2 2 值,当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦(正切,余切;正割、余割也同样); 当 k 为偶数时,函数名不变。然后符号与 ‘将α 看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。

k

k

三角函数的图像与性质:

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2
-5? 2 -2? -3? 2

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2
3? 2 2? 5? 2

7? 2 3? 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3?

7? 2 4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

y ? sin x

定义域 值域 周期性 奇偶性

y ? cos x
R
[ ? 1, ? 1]

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R
[ ? 1, ? 1]

2?

2?

奇函数
[?

偶函数
[ ? 2 k ? 1 ?? ,

R ? 奇函数

?
2

? 2 k? ,

?
2

上为增
?
2 3? 2 ? 2 k? ]
? Z

2 k? ]

;上为增函

? 2 k? ]
[ ? 2 k? ,

数 上 )

[2 k? , ]

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?

上为增函数( k ? Z )

? 2 k ? 1 ?? 上为减函数
(k ? Z )

单调性

函数;

为减函数( k

第 2 页 共 6 页

(其中 A ? 0, ? ? 0) 有关函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ? 其图象的对称轴是直线 ? x ? ? ? k ? ?
?
2

2?

?

,频率是 f ?

?
2?

,相位是 ? x ? ? ,初相是 ? ;

( k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

函数 y=sin(ω x+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象的关系: 由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象 变换。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 (ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 (先相位变换,再周期变换) 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
? 单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 (先周期变换,再相位变换)
1

?



先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的

1

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0=平移

|? |

?



对称轴与对称中心:
y ? sin x 的对称轴为 x ? k ? ?
?
2

,对称中心为 ( k ? , 0)
?
2

k?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k ? ,对称中心为 ( k ? ?

, 0)



y=tan x 图像的对称中心是(
2.典型例题

k? 2

,0) ,无对称轴。

1. 在直角坐标系中,若角 ? 与 ? 终边互为反向延长线, ? 与 ? 之间的关系是





A. ?

? ?

B.

? ? 2 k? ? ? ? k ? Z

? C. ?

?? ??

D.

? ? ? 2 k ? 1? ? ? ? ? k ? Z ?

2. 圆内一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角是

( D.无法判断



A.等于 1 弧度

B.大于 1 弧度

C.小于 1 弧度

3. 角?的终边上有一点 P(a,a),a∈R,且 a≠0,则 sin?的值是( )
A.
2 2

B.-

2 2

C.±

2 2

D.1
2

4.

α 是第二象限角,其终边上一点 P(x, 5 ) ,且 cosα= 4
10 6 2

x,则 sinα 的值为(
10



A. 4

B. 4
?
?

C. 4
?

D.- 4

) 5. 设角 α 是第二象限角,且|cos 2 |=-cos 2 ,则角 2 是( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角

D.第四象限角

第 3 页 共 6 页

sin ? ? cos ? ? ?

5 4 ,则 sin ? ? cos ? 等于 ( 9 9 9

6. 已知
7



A. 4
y ?

B.- 16
1 ? sin cos x
2

C.- 32
1 ? cos sin x
2

D. 32

x

?

x

7. 函数

的值域是( ) A. {0,2} B. {-2,0} C. -2,0,2} D. { {-2,2} C、 cos 4 ? sin 4 D、 ? sin 4 ? cos 4

8. 化简 1 ? 2 sin 4 cos 4 的结果是( ) A、 sin 4 ? cos 4 B、 sin 4 ? cos 4

9. 若 sin ? ? cos ? ? 2 ,则 tan ? ? cot ? 等于( ) A、1 B、2 C、-1 D、-2 10. 若 A、B、C 为△ABC 的三个内角,则下列等式成立的是( ) A、 sin( B ? C ) ? sin A C、 tan( B ? C ) ? tan A 11. 若 sin( ? ? ? ) ? A、 ?
1 3
1 10

B、 cos( B ? C ) ? cos A D、 cot( B ? C ) ? cot A
sec( ? ? ) ? sin( ? ? ? 90 ) csc( 540
? ?

,则 B、 ?
1 27

? ? ) ? cos( ? ? ? 270 )

?

的值是(
3 3



C、
2

1 3

D、 ?

12. 若 sin ? 、 cos ? 是关于 x 的方程 4 x ? 2 mx ? m ? 0 的两个实根,则 m 值为( ) A、 m ? ? ? 4 , 0 ? ? ? 3 ? ? B、 m ? 1 ?
5

C、 m ? 1 ?

5

D、 m ? 1 ?

5
π

13. .定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是π ,且当 x∈[0, ]时,f(x)=sinx,
2

则 f(

5π 3

)的值为(
1 2

) B.
1 2

A.-

C.-

3 2

D.

3 2

14. 函数 y ? lg (2 co s x ? 3 ) 的单调递增区间为 ( A. (2 k ? ? ? , 2 k ? ? 2 ? ) ( k ? Z ) C. ( 2 k ?
?

) . B. ( 2 k ?
? ? , 2k? ?
2k? ?

11 6

? ) (k ? Z )

?
6

, 2k? ) (k ? Z )

D. ( 2 k ? , ( )

?
6

) (k ? Z )

15. 下列说法只不正确的是

A.正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1]; B.余弦函数当且仅当 x=2kπ( k∈Z) 时,取得最大值 1; C.余弦函数在[2kπ+
?
2

,2kπ+

3? 2

]( k∈Z)上都是减函数;

D.余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈Z)上都是减函数

第 4 页 共 6 页

16. 若 a=sin460,b=cos460,c=tan360,则 a、b、c 的大小关系是 ( A. c> a > b B. a > b> c C. a >c> b D. b> c> a ? ? 17. 已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? , ]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于
3 4

)

A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3

18. 若 ? 是第四象限角,则 ? ? ? 是

A. 第一象限

B.第二象限

( ) C. 第三象限期
的值为

D.第四象限
. .

19. 若 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,则

cos ? ? 2 sin ? 2 cos ? ? 3 sin ?

20.

函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是
9? 4

21.sin

tan

7? 3

_________
?

22.若 ? 是第二象限的角,则 2 是第
8?

象限的角。
?

23.若 ? 角的终边与 5
24.与α

0, 2? ? 角的终边相同,则在 ? 上终边与 4 的角终边相同的角为

; ; ,终边在坐标轴上的

角终边相同的角的集合,连同α 角在内(而且只有这样的角) ,可以记为 ,终边在 轴上的角的集合为
y

25.终边在 x 轴上的角的集合为 角的集合为 。 26. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?
?
4 )

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间;

f (x) ?

1? x 1 ? x ,若

? ??

??

27. 已知

? ,? ? ? 2 ? ,求 f (cos ? ) ? f ( ? cos ? ) 的值。

第 5 页 共 6 页

精选习题 28. 已知 sin( ? ? ? ) ?
1 2

,求 sin( 2 ? ? ? ) ? cot( ? ? ? ) ? cos ? 的值.

29. 已知 y=a-bcos3x 的最大值为 ,最小值为 ?
2

3

1 2

,求实数 a 与 b 的值.

29. 已知: sin ? ? cos ? ?

1 2

3 3 4 4 ,求 sin ? ? cos ? 和 sin ? ? cos ? 的值。

30. 已知 tan( ? ? ? ) ? 3 ,



2 cos( ? ? a ) ? 3 sin( ? ? a ) 4 cos( ? a ) ? sin( 2 ? ? a )

的值。

31. 若 cos α =

2 3

,α 是第四象限角,求

sin ( ? ? 2 ? ) ? sin ( ? ? ? 3 ? ) co s( ? ? 3 ? ) co s( ? ? ? ) ? co s( ? ? ? ? ) co s( ? ? 4 ? )

的值

课后记:

第 6 页 共 6 页


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