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19数列求和方法总结



暑假培训教材 周
2015 年 8 月 5 日星期三

专题-数列求和方法
【技巧要点】 规范计算过程 合理选择方法 【基础知识】 常用公式

1、等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1

? n a ? a q 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) n ? 1 (q ? 1) ? 1 ? q 1 ? q ?
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

6、

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

7、

【典例分析】

1. 公式法 例 1. 已知数列 ? an
(x≠0) , s n 数列的前 n 项和,求 s n 。 ?, an ? xn ,

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变式训练
已知数列 ? an (1)求 s n ;

? 的通项公式为 an ? 3n ?14 , sn 为 ?

an

? 的前 n 项和,

(2)求 an 的前 20 项和。

? ?

2. 错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

例 2. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………( x ? 0 )

变式训练
求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

3. 分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.形如: ?an ? bn 中{ an }、{ bn }是等差数列、等比数列或常见的数列.

? 的形式,其

例 3.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

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变式训练
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.

4. 裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(3) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C 1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n

(4) an ?

(5) a n ?

(6) an ?

数列 ?an ? 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,则求和:
n n 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ( ? ) 则 = ( ? 。 )? ? ? ? d a1 a n ?1 a1a n?1 ai ?1 i ?1 ai ai ?1 i ?1 d ai i ?1 ai ai ?1 n

?a a
i ?1 i

n

1
i ?1

首先考虑

例 4.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

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变式训练
在数列{an}中,an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? , 又 bn ? , 求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

【提高训练】 1. 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?



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