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2016高考数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语 第三讲 函数与方程及函数的实际应用配套作业 文


第1讲
配套作业

函数与方程及函数的实际应用

一、选择题 1.已知 0<a<1,则函数 y=a -|logax|的零点的个数为(B) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
|x|

2.方程 log4x+x=7 的解所在区间是(C) A.(1,2) B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7) 解析:构造函数 F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log46-1>0,F(x) 在(5,6)内有零点,即 log4x+x-7=0 在(5,6)内有解.

3.方程 mx +2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根,则 m 的取值范围是(C) A.(-3,0) B.[-3,0)

2

C.[-3,0] D.[-1,0] 3 解析:当 m=0 时,由原方程得 x=- <0 成立,排除选项 A,B;当 m=-3 时,原方 2 4 2 程变为-3x -4x=0,两根为 x1=0,x2=- ,也符合题意,故选 C. 3

? ?2-|x|,x≤2, 4.(2015·天津卷)已知函数 f(x)=? 函数 g(x)=b-f(2-x),其中 2 ?(x-2) ,x>2, ?

b∈R.若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是(D)

?7 ? A.? ,+∞? ?4 ? ? 7? C.?0, ? ? 4?

7? ? B.?-∞, ? 4? ?

?7 ? D.? ,2? ?4 ?
2

解析:当 x>2 时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2) ; 当 0≤x≤2 时,g(x)=b-x,f(x)=2-x; 当 x<0 时,g(x)=b-x ,f(x)=2+x. 由于函数 y=f(x)-g(x) 恰有 4 个零点,所以方程 f(x)-g(x)=0 恰有 4 个根. 当 b=0 时,当 x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x -5x+8=0,无解; 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x-(-x)=0,无解;
1
2 2

当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x +x+2=0,无解. 所以 b≠0,排除答案 B. 当 b=2 时,当 x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为(x-2) =x-2,得 x=2(舍去)或 x =3,有 1 解; 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x=2-x,有无数个解; 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 2-x =x+2,得 x=0(舍去)或 x=-1,有 1 解. 所以 b≠2,排除答案 A. 当 b=1 时,当 x>2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x -5x+7=0,无解; 当 0≤x≤2 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 1-x=2-x,无解; 当 x<0 时,方程 f(x)-g(x)=0 可化为 x +x+1=0,无解.所以 b≠1,排除答案 C. 因此答案选 D.
2 2 2 2

2

二、填空题 5.下表是函数 f(x)在区间[1,2]上一些点的数值.

x f(x) x f(x)

1 -2 1.5 0.625

1.25 -0.984 1.625 1.982

1.375 -0.260 1.75 2.645

1.406 5 -0.052 1.875 4.35

1.438 0.165 2 6

由此可判断,方程 f(x)=0 的一个近似解为________. (精确度 0.1,且近似解保留两位有效数字) 解析:∵f(1.438)·f(1.406 5)<0,且|1.438-1.406 5|=0.031 5<0.1,∴f(x)=0 的一个近似解为 1.4. 答案:1.4

6.如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折 起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为____________时,其 容积最大.

2

1 解析:设正六棱柱容器的底面边长为 x,高为 d,则 d= 3× (1-x);又底面六边形面 2 1 2 3 3 2 积为:S=6· ·x ·sin 60°= x, 2 2 3 3 2 3 9 9 ∴V=Sd= x · (1-x)= (x2-x3),对 V 求导,则 V′= (2x-3x2),令 V′=0, 2 2 4 4 2 解得 x=0 或 x= , 3 2 2 当 0<x< 时,V′>0,V 是增函数;当 x> 时,V′<0,V 是减函数. 3 3 2 ∴x= 时,V 有最大值. 3 2 答案: 3

7.若关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,则 a 的取值范围为________. 解析:设 f(x)=3x -5x+a,
2

2

f(-2)>0, 22+a>0, ? ? ?f(0)<0, ?a<0, 则? ?? f(1)<0, -2+a<0, ? ? ?f(3)>0 ?12+a>0.
解得-12<a<0. 答案:(-12,0)

8. (2015·安徽卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图 象只有一个交点,则 a 的值为________.

解析: 函数 y=|x-a|-1 的图象如图所示, 因为直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图 1 象只有一个交点,故 2a=-1,解得 a=- . 2 1 答案:- 2
3

三、解答题 9.将一张 2×6 米的硬钢板按图纸的要求进行操作:沿线裁去阴影部分,把剩余部分按 要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底,①②③④为侧面,⑤+⑥为水箱盖,其中①与 ③,②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为 x 米,容积为 y 立方米.

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)如何设计 x 的大小,可使得水箱的容积最大? 6-2x 解析:(1)依题意水箱底的宽为(2-2x)米,长为 =(3-x)米.则水箱的容积 y= 2 (2-2x)(3-x)·x=2x -8x +6x(0<x<1), 即 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x -8x +6x(0 <x<1). (2)y=2x -8x +6x(0<x<1), ∴y′=6x -16x+6. 令 y′=6x -16x+6=0, 4- 7 4+ 7 得 x= 或 x= (舍去), 3 3 4- 7 当 0<x< 时,y′>0,函数单调递增; 3 当 4- 7 <x<1 时,y′<0,函数单调递减. 3 4- 7 3 2 时,函数 y=2x -8x +6x(0<x<1)取得最大值,即设计水箱的高为 3
2 2 3 2 3 2 3 2

∴当 x=

4- 7 米时,容积最大. 3

10.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(单位:元)与月处理量 x(单位:吨)之间的函数关系 1 2 可近似的表示为:y= x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价 2 值为 200 元.
4

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损?

y 1 80 000 解 析 : (1) 由 题 意 可 知 , 二 氧 化 碳 的 每 吨 平 均 处 理 成 本 为 = x + - x 2 x
200≥2 1 80 000 x· -200=200, 2 x

1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时,等号成立. 2 x ∴当月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (2)设该单位每月获利为 S, 则 S=200x-y

?1 2 ? =200x-? x -200x+80 000? ?2 ?
1 2 =- x +400x-80 000 2 1 2 =- (x-400) ,x∈[400,600]. 2 ∵x∈[400,600],∴当 x=400 时,S 取值最大值为 0. 因此,该单位不能获利,最多能收支平衡. 当 x=600 时,S=-20 000,说明该单位每月最大亏损金额为 20 000 元,所以国家至 少需要每月补贴 20 000 元才能使该单位不亏损.

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