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广东省肇庆市2013届高一上学期期末考试(数学)


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肇庆市中小学教学质量评估 2010—2011 学年第一学期统一检测题 高一数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {0,1,2,3} , B ? {1,2,4} ,则集合 A ? B ? A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}

2.若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 2} ,则集合 A ? B ? A. {x | ?2 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | 1 ? x ? 2}

3.一个年级有 12 个班,每个班学生的学号都是 1?50,为了交流学习经验,要求 各班学号为 14 的学生参加交流活动,这里运用的抽样方法是 A.分层抽样 4.函数 f ( x) ? A. (??,??) B.抽签法 C.系统抽样 D.随机数表法

8 的值域是 x

B. (??,0)

C. (0,??)

D. (??,0) ? (0,??)

5.若函数 f ( x) ? 3 x ? 3? x 与 g ( x) ? 3 x ? 3? x 的定义域均为 R,则 A. f (x) 为奇函数, g (x) 为偶函数 C. f (x) 与 g (x) 均为奇函数 6.已知 0.2 m ? 0.2 n ,则 m, n 的大小关系是 A. m ? n B. m ? n C. m ? n D.不能确定
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B. f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数 D. f (x) 与 g (x) 均为偶函数

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7.函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的单调减区间是 A. (??,??) B. ?? ?,1? C. ?1,???

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D. ?? ?,0?

8.某地工人月工资 y(单位:元)随劳动生产率 x(单位:千元)变化的回归方程
? 是 y ? 500 ? 80x ,下列判断正确的是

A.劳动生产率为 1 千元时,月工资为 580 元; B.劳动生产率提高 1 千元时,月工资约提高 80 元; C.劳动生产率提高 1 千元时,月工资提高 580 元; D.当月工资为 750 元时,劳动生产率为 3 千元. 9.已知函数 f ( x ) ? A. {x | x ? ?1} C. {x | x ? ?1且x ? ?2}
1 ,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是 x ?1

B. {x | x ? ?2} D. {x | x ? ?1或x ? ?2}

10. 已知定义域为 R, 函数 f (x) 满足 f (a ? b) ? f (a) ? f (b)(a, b ? R) ,
1 且 f ( x) ? 0 ,若 f (1) ? ,则 f (?2) 等于 2 1 1 A. B. C.2 2 4

开始

S=0

D.4
i=1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.计算: log3 5 ? log3 15 ?
1


? 1 2

.
?

S=S+2i

12.已知 x ? x ?1 ? 3 ,则 x 2 ? x



.

i=i+1 否

13.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为

i>10 是 输出 S

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结束

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概率是__▲ _.

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5 秒,绿灯的时间为 40 秒.当你到达路口时,看见红灯的

14.阅读右边程序框图,该程序输出的结果是__▲__.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在一个实验中,一种血清被注射到 500 只豚鼠体内.最初,这些豚鼠中 150 只有圆形细胞,250 只有椭圆形细胞,100 只有不规则形状细胞.被注射这种血清 之后,没有一只具有圆形细胞的豚鼠被感染,50 只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染, 具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染. 根据试验结果, 估计具有下列类型的细胞 的豚鼠被这种血清感染的概率: (1)圆形细胞; (2)椭圆形细胞; (3)不规则形状细胞.

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? x . (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)判断函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由; (3)判断函数 f (x) 的单调性,并说明理由.

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17. (本小题满分 14 分) 对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命/小时 个数 100?200 20 200?300 30 300?400 80

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400?500 40

500?600 30

(1)完成频率分布表; 分组 100?200 200?300 300?400 400?500 500?600 合计 (2)完成频率分布直方图;
频率 组距

频数

频率

0.004 0.003 0.002 0.001 O 100 200 300 400 500 600 使用寿命/小时

(3)估计电子元件寿命在 100?400 小时以内的概率; (4)估计电子元件寿命在 400 小时以上的概率.

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18. (本小题满分 14 分)
? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0, ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? x ? 4 x ? 2, x ? 0. ?

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(1)求 f (1) , f (?3) , f (a ? 1) 的值; (2)求函数 f (x) 的零点.

19. (本小题满分 14 分) 如图,有一块半径为 2 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它 的下底 AB 是圆 O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上. (1)求梯形 ABCD 的周长 y 与腰长 x 间的函数解析式,并求出它的定义域; (2)求梯形 ABCD 的周长 y 的最大值.
D C

A

O

B

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? loga (a x ? 1)(a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)讨论函数 f (x) 的单调性.

2010—2011 学年第一学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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答案 A C C D B A B

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B C D

二、填空题 11.-1; 12. 5 ;
2 13. ; 5

14.110

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)记“具有圆形细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件 A, 则 P ( A) ?
0 ? 0; 150 50 ? 0.2 ; 250

(4 分)

(2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件 B, 则 P( B) ? (8 分)

(3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件 C, 则 P (C ) ?
100 ? 1. 10 0

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)显然函数 f (x) 的定义域为 R; (2)函数 f (x) 为奇函数. 因为 f (? x) ? (? x) 3 ? (? x) ? ? x 3 ? x ? ?( x 3 ? x) ? ? f ( x) , 所以 f (x) 为奇函数. (3)函数 f (x) 在 R 上是增函数. 任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 , (2 分) (3 分) (6 分) (7 分) (8 分)

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3 2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x2 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 )(x12 ? x1 x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )

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1 3 2 x 2 ) 2 ? x 2 ? 1] 2 4 1 3 2 由 x1 ? x 2 ,得 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? x 2 ) 2 ? x 2 ? 1 ? 0 , 2 4 ? ( x1 ? x 2 )[( x1 ?

(10 分) (11 分) (12 分)

于是 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以,函数 f (x) 在 R 上是增函数.

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)完成频率分布表如下: 分组 100?200 200?300 300?400 400?500 500?600 合计 (2)完成频率分布直方图如下:
频率 组距

(4 分) 频数 20 30 80 40 30 200 频率 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1 (8 分)

0.004 0.003 0.002 0.001 O 100 200 300 400 500 600 使用寿命/小时

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( 3 ) 由 频 率 分 布 表 可 知 , 寿 命 在 100?400 小 时 的 电 子 元 件 出 现 的 频 率 为 0.10+0.15+0.40=0.65,所以估计电子元件寿命在 100?400 小时的概率为 0.65. (11 分) ( 4 ) 由 频 率 分 布 表 可 知 , 寿 命 在 400 小 时 以 上 的 电 子 元 件 出 现 的 频 率 为 0.20+0.15=0.35 , 所 以 估 计 电 子 元 件 寿 命 在 400 小 时 以 上 的 概 率 为 0.35. (14 分)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 1 ? 0 ,所以 f (1) ? 12 ? 4 ?1 ? 2 ? 3; 因为 ? 3 ? 0 ,所以 f (?3) ? (?3) 2 ? 4 ? (?3) ? 2 ? 19 ; 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f (a ? 1) ? (a ? 1) 2 ? 4(a ? 1) ? 2 ? a 2 ? 6a ? 3 ; 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f (a ? 1) ? (a ? 1) 2 ? 4(a ? 1) ? 2 ? a 2 ? 2a ? 5 . (2)由题意,得
? x ? 0, ,解得 x ? ?2 ? 6 ; ? 2 x ? 4x ? 2 ? 0 ? ? x ? 0, 或? 2 ,解得 x ? 2 ? 6 . ?x ? 4x ? 2 ? 0

(2 分) (4 分) (6 分) (8 分)

(10 分)

(12 分)

所以函数 f (x) 的零点为 2 ? 6 与 ? 2 ? 6 .

(14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,作 DE?AB 于 E,连接 BD.
D C

A E 版权所有@中国教育考试资源网 B O

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因为 AB 为直径,所以?ADB=90?. (1 分)

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在 Rt?ADB 与 Rt?AED 中,?ADB=90?=?AED,?BAD=?DAE, 所以 Rt?ADB∽Rt?AED. 所以
AD AE AD 2 ? ,即 AE ? . AB AD AB

(3 分)

x2 又 AD=x,AB=4,所以 AE ? . 4

(5 分)

所以 CD ? AB ? 2 AE ? 4 ? 2 ?

x2 x2 ? 4? , 4 2 x2 1 ? x ? ? x 2 ? 2x ? 8 2 2 x2 x2 ? 0,4 ? ? 0, 4 2

(6 分)

于是 y ? AB ? BC ? CD ? AD ? 4 ? x ? 4 ?

(7 分)

由于 AD ? 0, AE ? 0, CD ? 0 ,所以 x ? 0, 解得 0 ? x ? 2 2 .

(9 分) (10 分) (12 分) (14 分)

1 故所求的函数为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8(0 ? x ? 2 2 ) . 2 1 1 (2)因为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? 10 , 2 2

又 0 ? x ? 2 2 ,所以,当 x ? 2 时,y 有最大值 10.

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a x ? 1 ? 0 ,得 a x ? 1 . 当 a ? 1 时, x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1 时,x ? 0 . (1 分) (2 分) (3 分)

所以 f (x) 的定义域是当 a ? 1 时, x ? (0,??) ;当 0 ? a ? 1 时, x ? (??,0) . (4 分)
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(2)当 a ? 1 时,任取 x1 、 x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 , 则 a x1 ? a x2 , 所以 a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 .

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(5 分) (6 分) (8 分) (9 分) (10

因为 a ? 1 , 所以 loga (a x1 ? 1) ? loga (a x2 ? 1) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 即 故当 a ? 1 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数. 当 0 ? a ? 1 时,任取 x1 、 x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x 2 , 分) 则 a x1 ? a x2 ,所以 a x1 ? 1 ? a x2 ? 1 . 分) 因为 0 ? a ? 1 ,所以 loga (a x1 ? 1) ? loga (a x2 ? 1) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 分) 故当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 (??,0) 上也是增函数. 分)

(11

(13

(14

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