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2014湖南省对口升学数学试题



湖南省 2013 年普通高等学校对口招生考试 数 学
(时量:120 分钟;满分:120 分)

一、选择题(本大题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 )
1、已知集合 A={1,4},B={4,5,6},则 A ? B=( {4,5,6} B. {1,4,5,6} C.{1,4} ) D.[1,9] ) D.{4}

2、函数 f(x)=3x (x ? [0,2] )的值域为( [0,9] B.[0,6] ) C.[1,6]

3、 “x=y”是“|x|=|y|”的( 充分不必要条件 C.充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4、已知点 A(5,2) ,B(-1,4) ,则线段 AB 的中点坐标为( A.(3,-1) B.(4,6) C.(-3,1) D.(2,3) ) D、30 ) D、2

1 6 (x ? ) 的二项展开式中x 2的系数为( 5、 x
A、 -30 B、 15 C、-15

? sin x ? cos x(x ? R) 6、函数 f(x) 的最大值为(

A、

2 2

B、 1

C、 2

7、若 a <0,则关于 x 的不等式 ( x ? 3a )( x ? 2a ) ? 0 的解集为( A、{x|3a<x<-2a} C、{x|-2a<x<3a} B、{x|x<3a 或 x>-2a} D、{x|x<-2a 或 x>3a}



8、如图 1,从 A 村去 B 村的道路有 2 条,从 B 村去 C 村的道路有 4 条,从 A 村直达 C 村的道路有 3 条, 则从 A 村去 C 村的不同走法种数为( A、9 C、11 B、 10 D、 24 )
A村

C村

B村

9、如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面 直线 AB1 与 BC1 所成的角为( A、 90° C、 60° B、45° D、30° )

10、已知直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,则线段 AB 的长为( A、64 B、8 ) C、 4 2 D、32

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11、已知一组数据 1,3,4,x,y 的平均数为 5,则 x+y=_________。 12、已知向量 a=(3,-1) ,b=(x,4)若 a//b,则 x = 13、圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的点到原点 O 的最短距离为 14、已知 cos? ? ? 。 。

2 3? ,? ? ( ? , ),则? ? 2 2


?

15、 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?BAD ? 60 , PA┴ 平面 ABCD,PA=2,则该四棱锥 P-ABCD 的体积为 。

三、解答题(共有 7 小题,其中第 21、22 小题为选做题,共 60 分)
16、 (本题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? a ? 2 log2 ( x ? 3 ),且f ( ?1 ) ? 1. (1)求 a 的值并指出 f(x) 的定义域; (2)求不等式 f(x)≥1 的解集。

17、(本题满分 10 分)从 4 名男生和 3 名女生中任选 4 人参加独唱比赛,设随 机变量 ? 表示所选 4 人中女生的人数。 (1)求 ? 的分布列; (2)求事件“所选 4 人中女生人数 ? ? 2 ”的概率。

18、(本题满分 10 分)已知向量 a,b 满足 |a|=2,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60° 。 (1)若(2a)· b 的值; (2)若(a-2b)┴(ka-b),求 k 的值。

19、(本题满分 10 分) 已知等差数列 {an} 为的前 n 项和为 Sn, 若 a5=12, S2=38. 求: (1)数列{an}的通项公式; (2)数列{an}中所有正数项的和。

20、 (本题满分 10 分)已知椭圆 C: 距为 2 3 , (1)求 C 的方程。

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 ,且焦 2

(2) 设 F1, F2 分别为 C 的左、 右焦点, 问: 在 C 上是否存在点 M, 使得 MF1┴MF2? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。

注意:第 21 题、22 题为选做题,请考生选择其中一题作答。 21、(本题满分 10 分)已知 A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且

cos A ? ?

5 3 ,cos B ? . 13 5

(I)求 sinC 的值; (II)若 BC=5,求 ? ABC 的面积。

22、 (本题满分 10 分)某化肥厂生产甲、乙两种肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主 要原料需磷酸盐 20 吨、硝酸盐 5 吨;生产 1 车皮乙种肥料的主要原料需磷酸盐 10 吨、硝酸盐 5 吨。现库存磷酸盐 40 吨、硝酸盐 15 吨,在此基础上生产这两 种肥料。若生产 1 车皮的甲种肥料,产生的利润为 3 万元;生产 1 车皮的乙种肥 料,产生的利润为 2 万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮,才能够产生 最大利润?并求出最大利润。



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