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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考一轮复习 数列(一)数列的概念与简单的表示教案 理


吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考一轮复习 数列(一) 数列的概念与简单的表示教案 理知识梳理: (阅读教材必修 5 第 28 页—31 页)
1、数列的定义: 按照一定的顺序排列的一列数称为数列 。 注意: (1)数列的数是按一定顺序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列 顺序不同,那么它们就是不同的数列。 (2) 、定义中并没有规定数列中的数不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现。 2、数列的项: 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,第 3 项,?,第 n 项,如三角 形数(见教材 28 页) , “1”是这个数列的第一项, “10”是这个数列中的第 4 项。 3、数列的一般形式: a1,a2,a3,?,an,?, ; 4、数列的表示法: (1) 、解析法:分为通项公式与递推公式两种 ①、数列的通项公式: 注意: 并不是所有的数列都能写出通项公式; 一个数列的通项公式有时不是唯一的;如数列:1,0,1,0,1,0?,它的通项公式 可以写成 也可以写成 |cos |

数列通项公式的作用:求数列中的任一项,检验某数是否是该数列中的项,数列的通 项公式有双重性,它表示了数列的第 n 项,又是这个数列中所有项的一般表示,通项 公式反映了一个数列项与项数函数关系,给了数列的通项公式,这个数列就确定了, ②、数列的递推公式: 定义: 如:斐波那契列: 递推公式: 说明:递推公式利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律:有些数列,虽然给 出是的递推公式,但可以根据递推公式,求出它的前几项,进而归纳出它的通项公式 (为了保证它的正确,可以用数学归纳法加以证明。 ) (2) 、列举法:数列可以看成是定义在自然数集或它的子集上的函数,当自变量从 1 开始依次取自然数时,相对应的一列函数值,把这些函数值按它们的序号排列出来。 (3) 、图象法:在直角坐标系中, 以 n 和 f(n)为点的坐标,即(n,f(n) )描点
1

后得到的图象是一些孤立点。 (4) 、符号法:{an} 5、数列与函数的关系 数列可以看成以 下整数集 (或它的有限子集{1,2,3,n})为定义域的函数 , , ?,

, 当自变量从小到大依次取值时, 对应的一列函数值, ,?,因此要善于用函数的观点认识与研究数列:常用 =f(n). 6、数列的分类 (1) 、按数列的项数多少可分为: (2) 、根据数列前后项的大小关系来分: 增数列: 减数列: 摆动数列: 常数数列: 7、求通项公式的方法: (1) 、观察法; (2) 、利用 与 的关系; (3) 、公式法: 构造新等差数列、等比数列; (4) 、其它方法:迭加法,迭乘法,迭代法; 二、题型探究 探究一:已知数列的前 n 项,求通项公式 (1).-1,7,-13,19,? (2).7,77,777,7777,? (3).0,1,0,1,? (4).1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,? (5).1,3,7,15,? (6).



3 7 9 ,1, , ,? 2 10 17 1 3 2 5 , , , ,? 2 7 5 13 5 10 17 ,- , ,? 4 9 16
2

(7).1,

(8).-2,

探究二:由 Sn 与 an 的关系求通项

? S1 , ( n ? 1) an = ? ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2)

1、已知 Sn ? 2an ? 1 ,求 an 。

2、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,并满足

,求 an 。

3、已知数列{ an }满足下列关系 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an 。

探究三:由递推关系式求通项 对于一些递推关系较为复杂的数列,可以通过递推关系公式的变形、整理,从 中构造出一个新的等差或等比数列, 或者将问题转化为前面已经解决的几个情形来处 理。 1、已知数列 an , a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3 ,求 an 。

2、设数列{ an }的首项 a1 ? 2 , a n ?

3 ? a n ?1 (n ? 2,3,4.....),求数列{ an }的通项。 2
3

3、已知数列{ an }, a1 ? 1 , a1 ?

2 1 1 2 ,且满足 ? ? ,求 an 。 3 an ?1 an ?1 an

5、 an 已知数列{ an }, a1 ? 1 , an ?1 ?

2an ( n ? N* ) ,求 an 。 an ? 2

6、已知数列{ an }, a1 ? 2 , an ?1 ?

an ,求数列{ an }的通项。 1 ? 3an

7、已知数列{ an }, a1 ? 1 , an ?1 ? an , 4an ?1an ? (an ?1 ? an ? 1)2 ,求 an 。

4

8、 (07 年山东高考题) a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,其中

n ? 1,2,3....,求数列{ an }的通项。

探究四:与数列通项公式有关的综合题 1、 数列{ }中, = -5n+4

(1) 、18 是数列中的第几项?

(2) 、n 为何值时, 有最小值,并最小值;

2、 数列{ }的通项公式 =

+

,已知该数列为递增数列,求 的取值范围。

三、方法提升 1、 求数列的通项公式,应用观察、分析、归纳、验证的方法,易错之处在于每个数 列由前几项找规律不准确,以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多, 应注意对每个数列认真找出规律和验证。

5

2、 任何一个数列, 它的前 n 项和 与通项 都存在着 an = ?

? S1 , ( n ? 1) ,若 ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2)

适合 ,则把它们统一起来,否则就分段函数的形式表示。 3、 由递推关系式求通项,可以考虑“归纳、猜想、证明”的方法,也可以构造新数 列; 4、 利用二次函数的知识解决数列问题,必须注意其定义域 n 为正整数。 四、 课后反思:

五、课时作业 2.1 数列的概念与简单表示法 (满分 100 分,100 分钟完卷) 一. 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是( )

1,3,5,7? A.数列 1,3,5,7 可表示为 ?
B.数列 1,0, ? 1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列

C.数列 ?

1 ? n ? 1? ? 的第 k 项是 1 ? k ? n ?
*

D.数列可以看做是一个定义域为正整数集 N 的函数 2.数列 1,3,6,10,x, 21, 28, L 中,由给出的数之间的关系可知 x 的值是( A.12 B.15 C.17 D.18 ) )

3.下列解析式中不 是数列 1, ?1,1, ?1,1 , L ,的通项公式的是( .

6

A. an ? (?1)n

B. an ? (?1)n?1

C. an ? (?1)n?1

D. an ?

n为奇数 ?1?, 1,n为偶数

4.数列 2,5, 2 2,11, L 的一个通项公式是( A. an ? 3n ? 3 B. an ? 3n ?1

) D. an ? 3n ? 3

C. an ? 3n ? 1 ( )

5.已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 A.递增数列 B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

6.已知数列 ?an ? , an ? A. 9 B. 10

1 1 (n ? N ? ) ,那么 是这个数列的第( 120 n(n ? 2)
C. 11 D. 12 )

)项.

7.已知数列 ?an ? , an ? 2n2 ?10n ? 3 ,它的最小项是( A.第一项 B.第二项 C.第三项

D.第二项或第三项 )

8.已知数列 ?an ? , a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? an?1 ? an ,则数列的第五项为( A. 6 B. ?3 C. ?12 D. ?6

9.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a14 =(
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3

D.

10.数列 {an } 中, a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?1 ? an ? an?2 ,则 a2008 ? ( A.3 B. ? 3 C. ? 6 D.6

).

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.

7

11.数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 1,则 a2 n ? ________.

12.已知数列 ?an ? , an ? kn ? 5, 且a8 ? 11 ,则 a17 ?

13.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?2 , an ?1 ? 2 ?

2an ,则 a4 ? 1 ? an

.

14.已知 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 7) , an ? f (n) ,则 ?an ? 的第五项为________.

15. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, a4 ? 23, an?1 ? ? an ? ? , 则? ? ? ?

.

三.解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分. 解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16.已知 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ,试写出该数列的前 5 项,并用观察法写出 这个数列的一个通项公式.

8

n2 ? n ?1 , n? N* 。 17.数列 ?an ? 中,已知 a n ? 3

?

?

(1)写出 a10 , an?1 ;

(2) 79

2 是否是数列中的项?如果是,是第几项? 3

18.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a10 ? 21 ,通项 an 是项数 n 的一次函数, (1)求 ?an ? 的通项公式,并求 a2005 ; (2)若 ?bn ? 是由 a2 , a4 , a6 , a8 ,L 组成,试归纳 ?bn ? 的一个通项公式.

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