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2015年全国高中数学联赛A卷试题及其解答



文 武 光 华
2015 年全国高中数学联赛 A 卷试题及其解答
解答人:文武光华数学工作室 田开斌 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。
1、设a、b为不相等的实数,若二次函数f(x) = x + ax + b满足f(a) = f(b),则f(2)的 值为 。 解答:根据条件知a + a + b = b + ab

+ b ? (a ? b)(2a + b) = 0 ? 2a + b = 0,故 f(2) = 2 + 2a + b = 4。 2、若实数α满足cos α = tan α,则 + cos α = + cos α的值为 。

解答:根据条件知sin α = cos α,故1 = sin α + cos α = cos α + cos α。于是知: + cos α = cos α + 1 + cos α = 2。

3、已知复数数列{z }满足z = 1,z = z + 1 + ni(n = 1、2、 …),其中i为虚数 单位,z 表示z 的共轭复数,则z = 。 解答:根据条件知z =z + 1 + (n + 1)i = z + 1 + n? + 1 + (n + 1)i = z + 1 ? ni + 1 + (n + 1)i = z + 2 + i,于是知z = z + 1007(2 + i) = 2015 + 1007i。 4、在矩形 ABCD 中,AB = 2,AD = 1,边 DC 上(包含 D、C)的动点 P 与 CB 延长线上 ? = BQ ? ,则向量PA ?与向量PQ ?的数量积PA ? · PQ ?的最小值 (包含点 B)的动点 Q 满足 DP 为 。 解答:如图,设DP = BQ = x,则 ? · PQ ?= PA =
( ) [( ) ( ) ] ( )

= x ?x+1 = x?

+ ≥

? · PQ ?= 。 当x = ,即有PA
D P C

A

B

Q

5、在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为 。 解答:在正方体ABCD ? EFGH的12条棱中任取三条棱,有C = 220种取法。 若所取的三条棱两两异面,则恰有一条棱为正方形 ABCD 的一条边。当该棱为 AB 时, 则另两条棱或为 CG、EH,或为 DH、FG,于是知这种三条棱的取法有4 × 2 = 8种。 于是在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为 = 。

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文 武 光 华
D A B C

H E F

G

6、在平面直角坐标系xOy中,点集K = x,y |(|x| + 3|y| ? 6)(3|x| + |y| ? 6) ≤ 0 所 对应的平面区域的面积为 。 解答:显然点集K对应的平面区域关于x轴对称,也关于y轴对称。于是我们只需求出 点集K在第一象限中K 所对应区域的面积S ,再乘以4即得所求的面积S 。 事实上,点集K = x,y |(x + 3y ? 6)(3x + y ? 6) ≤ 0,x ≥ 0,y ≥ 0 对应的区域 为图示中的阴影部分,其面积S = 2 × × 4 × = 6。于是所求的面积S = 4 · S = 24。
y 6

2 -6 -2 O -2 -6 2 6 x

7、设ω为正实数,若存在a、b(π ≤ a<b ≤ 2π),使得sin ωa + sin ωb = 2,则ω的 取值范围是 。 ?ωa = 2m + ? sin ωa = 1 解答:因为sin ωa + sin ωb = 2 ? ? ωb = 2n + sin ωb = 1 ? ? m 、n ∈ N ? ωπ,2ωπ ,于是命题等价于:存在整数m、n,使得 ωπ ≤ 2m + 也即只需满足: 2 + 1 + ≤ 2ω < + 1,于是当2 (*) + 1 + 1 + ≤ 2ω ? ω ≥ 4时,(*)都 π< 2n + π π ,且ωa、ωb ∈

π ≤ 2ωπ ? ω ≤ 2m + <2n + ≤ 2ω

(1)注意到 成立。

(2)当0<ω<4时,0<2 或 。 若2

+ 1 + ≤ 2ω<8,故只能2

+1 + = 、

+ 1 + = ,则ω ≤ ,且2ω ≥ ? ω ≥ ,此时无解;

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若2 若2 + 1 + = ,则ω ∈ +1 + = ,则ω ∈ , ? , ,且2ω ≥ ? ω ≥ ,此时ω ∈ , ,且2ω ≥ ,+∞ 。 ?ω≥ , ; , 。 ,此时ω ∈

综上所述,所求的ω ∈

8、对四位数abcd(1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b、c、d ≤ 9),若a>b,b<c,c>d,则称abcd 为 P 类数;若a<b,b>c,c<d,则称abcd为 Q 类数;用N(P)与N(Q)分别表示 P 类数与 Q 类数的个数,则N(P) ? N(Q)的值为 。 解答:对于一个四位abcd,称四位数dcba为其回文数。显然,一个末尾不为0的 P 类 数,其回文数为一个 Q 类数;而一个 Q 类数的回文数为一个 P 类数。故 Q 类数与末尾不为 0的 P 类数构成一一对应,其个数相等。于是知N(P) ? N(Q)即为末尾为 0 的 P 类数的个数。 末尾为 0 的 P 类数构成的集合为S = abc0|a、b、c ∈ Z ,9 ≥ a>b,b<c ≤ 9 ,于是 知N(P) ? N(Q) = |S| = ∑ (9 ? b) = ∑ i = 285。 二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 9、(本题满分 16 分) 若实数a、b、c满足2 + 4 = 2 ,4 + 2 = 4 ,求c的最小值。 解答:根据条件知 2 ? 4 +2 ≥3
3

+ 2 = 4 ,整理即得2
3

=

=

+2

=

+

·

·2

=



,于是知c ≥ log

3



? 1 = log 3 ? 。当b = ? ,

a = ? 时,即有c = log 3 ? 。 10、(本题满分 20 分) 设a 、a 、a 、a 是4个有理数,使得 a a |1 ≤ i<j ≤ 4 = ?24, ? 2, ? , ? ,1,3 求a + a + a + a 的值。 解答:不妨设a <a <a <a 。根据条件知a 、a 、a 、a 中两正两负,故 a a = ?24 a <a <0<a <a 。于是知 , a a ,a a = 1,3 , a a ,a a = a a =? ?2, ? 。 a a = ?24 a a =1 ,结合 ,知a a = a a =3 a a =? ·a = ?24a ∈ ?2, ? 。

(1)若

而a 为负有理数,故?24a

= ? ? a = ? ,进而知a = ?4,a = ,a = 6。此时

a + a + a + a = (?4) + ? + + 6 = ; a a = ?24 a a =3 (2)若 ,结合 ,知a a = a a =1 a a =? a 为负有理数,故?8a a + a + a + a = (?6) + ? + +4 = ? 。

·a

= ?8a

∈ ?2, ?

。而

= ?2 ? a = ? ,进而知a = ?6,a = ,a = 4。此时

综上所述,满足条件的a + a + a + a 的值为 或? 。 11、(本题满分 20 分)

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在平面直角坐标系xOy中,F 、F 分别是椭圆 + y = 1的左、右焦点。设不经过焦点 F 的直线 与椭圆交于两个不同的点 A、B,焦点F 到直线 的距离为d。如果直线AF 、 、 BF 的斜率依次成等差数列,求d的取值范围。 解答:根据条件知F ?1,0 ,F 1,0 。设直线 :y = kx + m,则d = 设A x ,y ,B x ,y ,则 ? ? +y =1 (1)
| √ |



+y =1 ?y = kx + m ? ?y = kx + m

于是知x 、x 为方程 + (kx + m) = 1的两根,将该方程整理即得 (2k + 1)x + 4kmx + 2(m ? 1) = 0 (2) 其判别式△= (4km) ? 8(2k + 1)(m ? 1)>0,即得 2k + 1>m (3) 又k k+ = = + k+ = k+ = 2k ,k = =k+ ,于是根据条件知:

? (m ? k)(x + x + 2) = 0 (4) 若m = k,则直线 :y = kx + m经过点F ?1,0 ,与条件矛盾,故x + x + 2 = 0。 有在(2)中根据韦达定理知x + x = m=k+ 结合(3)、(5)知2k + 1> k + d=
| √ |

,故

= ?2,整理即得 (5)


= k +1+ + 1+

,整理即得|k|>

。于是知

=



=

| | √

| |

=

。注意到 1 +

∈ 1,√3 ,故

d ∈ √3,2 。

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加 试
一、(本题满分 40 分) 设a 、a 、 … 、a (n ≥ 2 )是实数,证明:可以选取ε 、ε 、 … 、ε ∈ 1, ? 1 , 使得(∑ a ) + (∑ ε a ) ≤ (n + 1)(∑ a )。(2015 年全国高中数学联赛二试试题) 证明:根据幂平均不等式知: ∑ 、 、…、 ∈ , [(∑ a ) + (∑ ε a ) ] = 2 (∑ a ) + ∑ 、 、…、 ∈ , (∑ ε a ) = 2 (∑ a ) + 2 (∑ a ) = 2 [(∑ a ) + (∑ a )] ≤ 2 [n(∑ a ) + (∑ a )] = 2 (n + 1)(∑ a ) 根据平均原理,必存在一组ε 、ε 、 … 、ε ∈ 1, ? 1 ,使得(∑ (∑ ε a ) ≤ (n + 1)(∑ a )。

a) +

二、(本题满分 40 分) 设S = A ,A , … ,A ,其中A 、A 、 … 、A 是n个互不相同的有限集合(n ≥ 2), 满足对任意A 、A ∈ S,均有A ?A ∈ S。若k = min|A | ≥ 2,证明:存在x ∈ ? A ,使得 x属于A 、A 、 … 、A 中的至少 个集合。(2015 年全国高中数学联赛试题) 证明:事实上,我们可以证明更强的结论:对任意A (1 ≤ i ≤ n),存在于一个x ∈ A , 使得x属于A 、A 、 … 、A 中的至少| |个集合。 若A 、A 、 … 、A 与A 的交集都不为空集,则根据平均原理,A 中必存在某个元素x , 使得x属于A 、A 、 … 、A 中的至少| |个集合。 若A 、A 、 … 、A 中存在某些集合与A 的交集为空集,不妨设其中与A 的交集为空集 的集合为A 、A 、 … 、A ,则A ?A 、A ?A 、…、A ?A 互不相同,且都属于 S。于是 知 S 中其余n ? 2t ? 1个集合都与A 的交集不空。从而知A 中所有元素在S中的集合中,共 出现的次数不少于k + tk + (n ? 2t ? 1) = n + (k ? 2)t + (k ? 1)>n,从而不存在某个 x ∈ A ,使得x属于A 、A 、 … 、A 中的至少| |个集合。 综上所述,命题得证。 三、(本题满分 50 分) 如图,△ABC 内接于⊙O,P 为弧 BC 上一点,点 K 在线段 AP 上,使得 BK 平分∠ABC。 过 K、P、C 三点的圆⊙Q 交边 AC 于点 D,连结 BD 交⊙Q 于点 E,连结 PE 并延长与边 AB 交 于点 F,求证:∠ABC = 2∠FCB。(2015 年全国高中数学联赛二试试题)
A

F K E B

O D C Q P

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证明方法一(田开斌):如图,延长 EK 交⊙Q 于另一点 J,连结 CJ,则∠BJC = 180° ? ∠APC = 180° ? ∠ABC,于是知∠JCB = ∠ABJ =


,故只需证明 F、J、C 三点

共线。 作△BJC 的外接圆⊙S,注意到∠JCB = ∠ABJ,故 AB 切⊙S 于点 B。又因为∠PED = 180° ? ∠PCD = ∠ABP,所△BPE 的外接圆⊙T,则 AB 切⊙T 于点 B。根据蒙日定理,⊙Q、 ⊙S、⊙T 两两的根轴交于一点,即 AB、PE、CJ 交于一点,故 F、J、C 三点共线,命题得 证。
A

F

O EK J Q P S D C

B

T

证明方法二:如图,设 CF 交⊙Q 于 T,根据帕斯卡定理知 T、K、B 共线。连结 PC,则 ∠FCB + ∠TBC = ∠FTB = ∠APC = ∠ABC = ∠TBF + ∠TBC,所以∠FCB = ∠TBF =


,即∠ABC = 2∠FCB。
A

F K E B P

O T Q D C

四、(本题满分 50 分) 求具有下述性质的所有正整数k:对任意正整数n,2(
)

不整除

(

)! !

。(2015 年全

国高中数学联赛二试试题) 解答: 设正整数n的二进制表示为n = (a a … a ) ,记S(n) = a + a +?+a 。 我们先证明一个引理:正整数n!中所含2的幂指数ord (n!) = n ? S(n)。 引理的证明:设正整数n的二进制表示为n = (a a … a ) ,则根据引理知: ord (n!) = ∑ = (a a … a ) + (a a … a ) + ? + (a ) (2 = a (2 +2 +?+ 2 ) +a +2 + ?+ 2 ) + ?+ a · 2 = (2 ? 1)a + (2 ? 1)a + ? + (2 ? 1)a + (2 ? 1)a = (2 a + 2 a + ? + 2 a ) ? (a + a +?+a )

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= n ? S(n) 引理得证。下面回到原题。 首先我们证明,当k = 2 (α ∈ N)时,满足条件。 事实上,此时对任意正整数n,都有S(kn) = S(n)。于是根据引理知ord ord (kn)! ? ord (n!) = kn ? S(kn) ? n ? S(n) = (k ? 1)n,故2( 接下来我们证明,当k不为2的幂时,都存在n ∈ N ,使得2 明,此时都存在n ∈ N ,使得(k ? 1)n<ord
( ! )! ( ) ) ( )! ! ( )! ( ! )! !

= 。

?

|

。也即只需证

= ord (kn)! ? ord (n!) =

kn ? S(kn) ? n ? S(n) = (k ? 1)n ? S(kn) ? S(n) ,也即只需证明存正整数n,满足 S(kn)<S(n)。 设k = 2 m,这里α ∈ N,m为大于 1 的奇数,则S(kn) = S(2 mn) = S(mn)。于是我们 只需证明,对任意大于1的正奇数m,均存在正整数n,使得S(mn)<S(n)。 设m的二进制表示为m = b b … b ,这里b = b = 1,t ≥ 1。注意到m| 2 ( ) ? 1,取正整数 n,使得 mn = m + 2(
)· ( )

?1 2 = b b

…b

+
(

11 … 1
)· ( )个

00 … 0


= 1
(

00 … 0
)· ( )个
( )· ( )

b

…b

则S(mn) = S(m) ≤ t + 1。此时
( ) ( ) ( )

n= =1+2 2 注意到 c
( ) 、c ( )
( )

= 1+2 ·
( )

· +1

( ) ( )

+ 2(
( )

) ( )

+?+2
( )

( )

(*) ,这里 +c
( )

<2

,设

= c

( )c ( ) (

…c |
( ) )! !

、 … 、c 不全为 0,则S(n) = (t + 1) c
)

+?+ c

+1≥

(t + 1) + 1>S(mn)。于是取这样的n,就有2(



综上所述,满足条件的k = 2 (α ∈ N)时,满足条件。

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