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高二上学期期末复习专题(1)《导 数》2015-1-18 知识点


高二 1 部数学期末专项复习 (1)

《导数及其应用》

2015-1-18

一、知识要点
1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f ( x) 定义域的一点,如果自变 量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函数值 y 也引起相应的增量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ; 比值
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 称为函数 y ? f ( x) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化 ? ?x ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在,则称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处 ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

率;如果极限 lim

可导,并把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x? x0 ,即
f ' ( x0 ) = lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f ( x) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为
A ? B.

2. 导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切 线的斜率,也就是说,曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) , 切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ). 3. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? . . ? . f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? . . ? . f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
' ' ? u ? vu ? v u (v ? 0) ? ? ? v2 ?v? '

注:①u, v 必须是可导函数.

4. 复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 5. 函数单调性: ⑴ 函数单调性的判定方法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0,则 y ? f ( x) ⑵ 常数的判定方法; 为增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x) 为减函数.

如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f ( x) 为常数. 注: f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上 并不是都 有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f (x)递减的充分非必要条件. 6. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是 函数 f ( x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号, 而不是 f ' ( x) =0①. 此外, 函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极值是一个局部概念,极值 点的大小关系是不确定的, 即有可能极大值比极小值小 (函数在某一点附近的 点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对 于可导函数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值 为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点. 7. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上 对函数值 进行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 8. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)
( x n ) ' ? nxn?1 ( n ? R ) (sin x) ' ? cos x (cos x) ' ? ? sin x

II.

(ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 loga e x

(e x ) ' ? e x

(a x ) ' ? a x ln a


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