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立体几何高三辅导中高档



1.设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a∥b,a∥α,则 b∥α B.若 α⊥β,a∥α,则 a⊥β C.若 α⊥β,a⊥β,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β 2.某四面体三视图如图所示,该四面 体四个面的面 积中最大的是( A. )

)

8

B.

6 2

C.

10

D.

8 2

3.高为

2 4

的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点

S 之间的距离为

(A)

2 4

(B)

2 2

(C)1

(D)

2

4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 5.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4π , 则圆 N 的面积为( ) A.7π B.9π C.11π D.13π 6.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π )

π 7.已知球 O 的半径为 1,A,B,C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离为 ,则球心 O 到平面 ABC 的距离为__________. 2 S1 8.若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则 =________. S2 9.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 ( ) A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

10.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为__________. 11 如图, 在正方体 点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上, 直线 OP 与平面 A ABCD ? A1B1C1D1 中, 1BD 所成的角为 ? , ) C. [

则 sin ? 的取值范围是( A. [

3 ,1] 3
.

B. [

6 ,1] 3

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

12 如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 . 当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差 是 13.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当 球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ). A.

500π 3

cm3

B.

866π 3

cm3

C.

1372 π 3 cm 3

D.

2048 π 3 cm 3

14.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱 的长度为( (A) 6 ) (B) 6 (C) 6

2

2

(D ) 4

15.一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为( A. )

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5


16 已知底面边长为 1, 侧棱长为

2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的体积为 (

A.

32? 3

B.4?

C .2?

D.

4? 3
A

17. 如 图,在 四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等 边三角 形,平 面 AEF ? 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a ,

?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ) 求证: AO ? BE ;
(Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

F

C

O E B

? 18.如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 A1 ACC1 是边长为 2 的菱形, ?A 1 AC ? 60 .在面 ABC 中, AB ? 2 3 , BC ? 4 ,

M 为 BC 的中点,过 A1 , B1 , M 三点的平面交 AC 于点 N .
(1)求证: N 为 AC 中点; (2)求证:平面 A 1 ACC1 . 1B 1 MN ? 平面 A

19.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB= 3,AD=1,M 是线段 AD 的中点. (1)试在平面 ABCD 内过 M 点作出与平面 A1B1CD 平行的直线 l,说明理由,并证明:l⊥平面 AA1D1D; 15 (2)若(1)中的直线 l 交直线 AC 于点 N,且二面角 AA1NM 的余弦值为 ,求 AA1 的长. 5

20 如图,在三棱锥 P ? 平面 PBC ;

ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. (1) 求证: AD ?
P

AF (2)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求 FC

的值.

D A F E B C

21.如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2,PA⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB ⊥AD,AB=BC=1,O 为 AD 的中点. (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离; 6 PQ (3)线段 PD 上是否存在一点 Q, 使得二面角 QACD 的余弦值为 ?若存在, 求出 的值; 若不存在, 3 QD 请说明理由.

22.如图,在四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC, ?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= 3 .
(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若二面角 M-BQ-C 为 30 ,设 PM=t ? MC,试确定 t 的值.
?

23 如图,四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上 共面的四点,平面 GEFH⊥ 平面 ABCD ,BC∥ 平面 GEFH. (1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积.

24 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90° ,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 1 PC 上的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= 3. 2 (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若 M 为棱 PC 的中点,求异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值; (3)若二面角 MBQC 大小为 30° ,求 QM 的长.



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