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广东省潮州市松昌中学2015届高三上学期第四次统测数学试卷(理科)



广东省潮州市松昌中学 2015 届高三上学期第四次统测数学试卷 (理科)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},CU(A∪B)={1,3},A∩(CUB) ={2,4},则集合 B=() A.{1,3,5,7,9} B.

{1,2,3,4} C.{2,4,6,8} D.{5,6,7,8,9} 2. (5 分) 已知命题 p: “?a”的否定是“?x0<0, x0 +x0﹣1≥0”; 命题 q: 在△ ABC 中“∠A>∠B” 的充要条件是“sinA>sinB”;则下列命题是假命题的是() A.p∨q B.p∨(?q) C.(?p)∨q D.(?p)∨(?q) 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上存在零点的是() A.y= B.y=lg|x| C.y=e
﹣x

2

D.y=﹣x ﹣1

2

4. (5 分)如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中

位数为() A.11 B.11.5 C.12 D.12.5

5. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,λ 是三个不同的平面,下列命题正确的是() A.若 m∥n,m∥α,则 n∥α B. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n 6. (5 分)函数 f(x)=[x]的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如,[﹣3.5]=﹣4,[2.1]=2.当 x∈(﹣2.5,3]时,函数 f(x)的值域为() A.{﹣2,﹣1,0,1,2} B. {﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2} C. {﹣2,﹣1,0,1,2,3} D.{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3} 7. (5 分)已知 x、y 都是区间[0, ]内任取的一个实数,则使得 y≤sinx 的取值的概率是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张, 要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为() A.232 B.252 C.472 D.484

二、填空题:本大题共 6 小题,满分 30 分. 9. (5 分)已知 i 为虚数单位, (1﹣i)?z=1+i,则复数 z 的模为. 10. (5 分)已知随机变量 ξ 服从两点分布,且 P(ξ=0)=0.2,则 Dξ=. 11. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 则实数 t 的值为. 12. (5 分)已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧 视图为直角三角形,则它的体积为. , , 若∠ABO=90°,

13. (5 分)已知(

+ ) 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=.

n

14. (5 分)若对任意 x∈A,y∈B, (A?R,B?R)有唯一确定的 f(x,y)与之对应,则称 f (x,y)为关于 x,y 的二元函数. 定义:满足下列性质的二元函数 f(x,y)为关于实数 x,y 的广义“距离”: (1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当 x=y 时取等号; (2)对称性:f(x,y)=f(y,x) ; (3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数 z 均成立. 给出三个二元函数:①f(x,y)=(x﹣y) ;②f(x,y)=|x﹣y|; ③f(x,y)= 请选出所有能够成为关于 x,y 的广义“距离”的序号.
2



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+ f( )= . ) (x∈R,A>0,ω>0)的最小正周期为 6π,且

(1)求 f(x)的解析式; (2)设 α∈[ ,π],f(3α+π)= ,f(3β+ )=﹣ ,求 sin2α 的值.

16. (14 分)2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托 车沿 321 国道长途跋涉返乡过年,为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾 驶操作而引发交通事故,某地公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘 人员休息站,让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息 站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次, 询问结果如图所示: (1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有 5 名,则四川籍 的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数 ξ 的分布列及 其均值.

17. (14 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, =(a+b,a+c) , =(c,b ﹣a) , 且 ∥ . (1)求 B; (2)若 a+c=8,b=7,求△ ABC 的面积; (3)若 sinAsinC= ,求 C.

18. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA=PD,PA⊥平面 PDC, E 为棱 PD 的中点. (1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值.

19. (12 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 问该农户如何安排种植计划,才能使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本) 最大,最大总利润是多少万元? 20. (14 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率 为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大值; (3)当 n>m≥4 时,证明: (mn ) >(nm ) .
n m m n

广东省潮州市松昌中学 2015 届高三上学期第四次统测数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},CU(A∪B)={1,3},A∩(CUB) ={2,4},则集合 B=() A.{1,3,5,7,9} B.{1,2,3,4} C.{2,4,6,8} D.{5,6,7,8,9} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据题意,利用交集、并集,以及补集的定义确定出 B 即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},?U(A∪B)={1,3},A∩(?UB) ={2,4}, ∴1,3?A,1,3?B,2,4∈A,2,4?B, 则 B={5,6,7,8,9}, 故选:D. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分) 已知命题 p: “?a”的否定是“?x0<0, x0 +x0﹣1≥0”; 命题 q: 在△ ABC 中“∠A>∠B” 的充要条件是“sinA>sinB”;则下列命题是假命题的是() A.p∨q B.p∨(?q) C.(?p)∨q D.(?p)∨(?q) 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.
2

分析: “?x0<0,x0 +x0﹣1≥0”,时真命题,可判断 p 为假命题,根据正弦定理判断 q 为真 命题,故¬q 为假命题,运用复合命题真假判断即可. 解答: 解:命题“?x≥0,x +x﹣1<0”的否定是“?x0≥0,
2

2



故命题 p 是假命题; 在△ ABC 中,∠A>∠B?a>b, 由正弦定理得?sinA>sinB, 故是命题 q 真命题; 故选:B 点评: 本题考查了命题的否定问题,复合命题的判断,属于中档题你,难度不大. 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上存在零点的是() A.y= B.y=lg|x| C.y=e
﹣x

D.y=﹣x ﹣1

2

考点: 函数奇偶性的性质;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的奇偶性,再判断函数的零点情况,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 y= 是奇函数,故排除 A. 由于函数 f(x)=lg|x|的定义域是{x|x≠0},满足 f(﹣x)=lg|﹣x|=lg|x|=f(x) ,是偶函数, 且方程 f(x)=0 的根是 x=±1,存在零点,故 B 满足条件. 由于函数 f(x)=e ,f(﹣x)=e =e ≠﹣f(x) ,不是奇函数,故排除 C. 2 由于函数 y=﹣x ﹣1,满足 f(﹣x)=f(x) ,是偶函数, 2 但方程﹣x ﹣1=0 无解,故 D 不满足条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数零点的定义和判断,函数的奇偶性的判断,属于中档题. 4. (5 分)如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中
﹣x ﹣(﹣x)

x

位数为() A.11 B.11.5 C.12 D.12.5

考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以 x 为 2,所以由图可估计样本重量的中位数.

解答: 解:由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以 x 为 2,所以由图可估计样本重量的中位数是 12. 故选:C. 点评: 本题考查频率分布直方图,考查样本重量的中位数,考查学生的读图能力,属于基 础题. 5. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,λ 是三个不同的平面,下列命题正确的是() A.若 m∥n,m∥α,则 n∥α B. 若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,结合线面、面面垂直或平行的有关性质、判定定理,依次对选项进行判 断,可得答案. 解答: 解:根据题意,分析选项可得: A、平行于同一条直线的直线和平面,不一定平行,它们也可能是直线就在此平面内,故错; B、垂直于同一个平面的两个平面相交或平行,即 α 与 β 可能相交,错误; C、平行于同一个平面的两条直线,不一定平行,它们也可能是相交或异面,故错; D、若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n.符合线面垂直的性质,正确; 故选 D. 点评: 本题考查空间的线线、线面、面面的关系,注意解题与常见的空间几何体相联系, 尽可能的举出反例. 6. (5 分)函数 f(x)=[x]的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如,[﹣3.5]=﹣4,[2.1]=2.当 x∈(﹣2.5,3]时,函数 f(x)的值域为() A.{﹣2,﹣1,0,1,2} B. {﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2} C. {﹣2,﹣1,0,1,2,3} D.{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3} 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)=[x]的函数值表示不超过 x 的最大整数,分段求解即可, 解答: 解:当 x∈(﹣2.5,﹣2)时,f(x)=﹣3; 当 x∈[﹣2,﹣1)时,f(x)=﹣2; 当 x∈[﹣1,0)时,f(x)=﹣1; 当 x∈[0,1)时,f(x)=0; 当 x∈[1,2)时,f(x)=1; 当 x∈[1,2)时,f(x)=1; 当 x∈[2,3)时,f(x)=2; 当 x=3 时,f(x)=3; 故选;D. 点评: 本题考查了函数的概念,性质,运用分类讨论的思想求解即可,属于中档题,关键 是理解题意.

7. (5 分)已知 x、y 都是区间[0, A. B.

]内任取的一个实数,则使得 y≤sinx 的取值的概率是() C. D.

考点: 几何概型;定积分. 专题: 概率与统计. 分析: 根据几何概型的概率公式,结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论. 解答: 解:此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y=sinx 的图象在 的图形的面积, 即 ,则事件 A 的概率为 , 内与 x 轴围成

故选 A 点评: 本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积,要求熟练掌握几何概型的 求解方法. 8. (5 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张, 要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为() A.232 B.252 C.472 D.484 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 不考虑特殊情况,共有 红色卡片,共有 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 种取法,两种

种取法,由此可得结论. 种取法,其中每一种卡片各取三张,有

解答: 解:由题意,不考虑特殊情况,共有 种取法,两种红色卡片,共有 故所求的取法共有 ﹣ ﹣ 种取法,

=560﹣16﹣72=472

故选 C. 点评: 本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题. 二、填空题:本大题共 6 小题,满分 30 分. 9. (5 分)已知 i 为虚数单位, (1﹣i)?z=1+i,则复数 z 的模为 1. 考点: 专题: 分析: 解答: 复数求模. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 解:∵(1﹣i)?z=1+i,

∴z=

=

=

=i.

∴|z|=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题. 10. (5 分)已知随机变量 ξ 服从两点分布,且 P(ξ=0)=0.2,则 Dξ=0.16. 考点: 二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由随机变量 ξ 服从两点分布,且 P(ξ=0)=0.2,求出 Eξ 和 Dξ. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从两点分布,且 P(ξ=0)=0.2, ∴Eξ=0.8, 2 2 ∴Dξ=(0﹣0.8) ×0.2+(1﹣0.8) ×0.8=0.16. 故答案为:0.16. 点评: 本题考查离散型随机变量的概率分布,解题时要注意两点分布的性质和应用.

11. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 则实数 t 的值为 5. 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用已知条件求出 解答: 解:因为知 所以 =(3,2﹣t) , ,



, 若∠ABO=90°,

,利用∠ABO=90°,数量积为 0,求解 t 的值即可. , ,

又∠ABO=90°,所以

可得:2×3+2(2﹣t)=0.解得 t=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查向量的数量积的应用,正确利用数量积公式是解题的关键. 12. (5 分)已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧 视图为直角三角形,则它的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征,根据四棱锥的左视图为直角三角形,得到 四棱锥的高即可求出它的体积 解答: 解:由四棱锥的俯视图可知,该四棱锥底面为 ABCD 为正方形,PO 垂直于 BC 于点 O,其中 O 为 BC 的中点, 若该四棱锥的左视图为直角三角形, 则△ BPC 为直角三角形,且为等腰直角三角形, ∵B0=1, ∴PO=BO=1, 则它的体积为 故答案为: . .

点评: 本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算,考查线面垂直和面面垂 直的判断,考查学生的推理能力.
n

13. (5 分)已知(

+ ) 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=10.

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 运用二项式的通项公式,求出通项并化简整理,再令 r=4,r=2,求出系数,列出方 程,解出即可得到 n. 解答: 解: ( 则由题意可得 则有 14× + ) 的展开式的通项为 Tr+1= 2:
4 n





n﹣r

( )=

r

2

r



2 =56:3, ,

2

=3×

解得,n=10. 故答案为:10. 点评: 本题考查二项式定理及运用,考查二项式的通项公式及运用,考查运算能力,属于 基础题.

14. (5 分)若对任意 x∈A,y∈B, (A?R,B?R)有唯一确定的 f(x,y)与之对应,则称 f (x,y)为关于 x,y 的二元函数. 定义:满足下列性质的二元函数 f(x,y)为关于实数 x,y 的广义“距离”: (1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当 x=y 时取等号; (2)对称性:f(x,y)=f(y,x) ; (3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数 z 均成立. 给出三个二元函数:①f(x,y)=(x﹣y) ;②f(x,y)=|x﹣y|; ③f(x, y)= 请选出所有能够成为关于 x,y 的广义“距离”的序号②. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 利用函数 f(x,y)为关于实数 x、y 的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数 判断是否具有这三个性质. 解答: 解:对于①,不妨令 x﹣y=2,则有 x﹣ ﹣ ) =(
2 2 2



=

﹣y=1,此时有(x﹣y) =4,而(x

2

﹣y) =1,故 f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)不成立,所以不满足三角不

等式,故①不满足 对于②,f(x,y)=|x﹣y|≥0 满足(1) ;f(x,y)=|x﹣y|=f(y,x)=|y﹣x|满足(2) ;f(x, y)=|x﹣y|=|(x﹣z)+(z﹣y)|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f(x,z)+f(z,y)满足(3) ,故②能够成为 关于的 x、y 的广义“距离”的函数 对于③,由于 x﹣y>0 时, 无意义,故③不满足

故答案为:② 点评: 本题考查理解题中的新定义, 利用定义解题是近几年的 2015 届高考中是常考的题型, 要注意.解题的关键是要把已知的定义转化为解题的工具. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+ f( )= . ) (x∈R,A>0,ω>0)的最小正周期为 6π,且

(1)求 f(x)的解析式; (2)设 α∈[ ,π],f(3α+π)= ,f(3β+ )=﹣ ,求 sin2α 的值.

考点: 正弦函数的图象;二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由已知及周期公式可求得 ω 的值,由 f( (x)的解析式; )= 可求得 A 的值,从而可得 f

(2)由 f(3α+π)=

及诱导公式可求得 cosα,sinα 的值,从而由倍角公式即可求解.

解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意, 则 ∴ (2)∵f(3α+π)=2sin(α+ ∴cosα= ∵ ∴sinα= ∴ = = ,…(10 分) …(12 分) ,…(8 分) ,得 …(2 分) ,得 A=2…(5 分) …(6 分) )=2cosα= ,

点评: 本题主要考查了诱导公式,二倍角的正弦公式的应用,考查了正弦函数的图象和性 质,属于基本知识的考查. 16. (14 分)2012 年春节前,有超过 20 万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托 车沿 321 国道长途跋涉返乡过年,为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶,手脚僵硬影响驾 驶操作而引发交通事故,某地公安交警部门在 321 国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘 人员休息站,让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小李在某休息 站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就进行省籍询问一次, 询问结果如图所示: (1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法? (2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有 5 名,则四川籍 的应抽取几名? (3)在上述抽出的驾驶人员中任取 2 名,求抽取的 2 名驾驶人员中四川籍人数 ξ 的分布列及 其均值.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法;收集数据的方法;离散型随机变量 及其分布列. 专题: 综合题.

分析: (1)由于交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车就 进行省籍询问一次,间隔相同,故是系统抽样方法; (2)先确定被询问了省籍的驾驶人员广西籍的总人数、四川籍的总人数,利用分层抽样,即 可得到四川籍的应抽取的人数; (3)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,求出相应的概率,即可得到 ξ 的分布列与均值. 解答: 解: (1)由于交警小李在某休息站连续 5 天对进站休息的驾驶人员每隔 50 辆摩托车 就进行省籍询问一次,故交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方 法. (3 分) (2)从图中可知,被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有:5+20+25+20+30=100 人, 四川籍的有:15+10+5+5+5=40 人, (4 分) 设四川籍的驾驶人员应抽取 x 名,依题意得 即四川籍的应抽取 2 名. (7 分) (3)ξ 的所有可能取值为 0,1,2; (8 分) , ξ 的分布列为: ξ 0 P (11 分) 均值 . (12 分) , , (10 分) ,解得 x=2

1

2

点评: 本题考查系统抽样、分层抽样,考查离散型随机变量的分布列与期望,确定变量的 取值及含义是关键.

17. (14 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, =(a+b,a+c) , =(c,b ﹣a) , 且 ∥ . (1)求 B; (2)若 a+c=8,b=7,求△ ABC 的面积; (3)若 sinAsinC= ,求 C.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 综合题;解三角形. 2 2 2 分析: (1)由已知得 (a+b)×(b﹣a)﹣c×(a+c)=0,可求得 a +c ﹣b =﹣ac,再由余 弦定理即可求 B 的值. 2 2 (2)由(1)可求得(a+c) ﹣b =ac,代入已知即可求得 ac 的值,代入三角形面积公式即可 求值.

(3)由 可得 另解(3) :由

,可求 cos(A﹣C)=cos(A+C)+2sinAsinC= 或 ,从而可求 C 的值. ,可求得 =

,又由



,即有



分析角的范围即可求得 C 的值. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 (a+b)×(b﹣a)﹣c×(a+c)=0, 2 2 2 则 a +c ﹣b =﹣ac.…(2 分) 由余弦定理得, 因此, .…(4 分)
2 2 2 2 2

,…(3 分)

(2)由(1)知 a +c ﹣b =﹣ac,即(a+c) ﹣b =ac, 又 a+c=8,b=7,则 ac=15,…(6 分) ∴ (3)由(Ⅰ)知 ,…(9 分) .…(8 分)

所以 cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C) +2sinAsinC= 又 又 ,因此, ,故 或 = ,…(11 分) 或 .…(14 分) ,…(9 分) ,…(10 分) , = , ,得 = 或 ,或 2C = , , ,…(12 分) ,…(13 分)

另解(3) :由(Ⅰ)知 ∴ = = ∴ 由 ∴2C 即

.…(14 分)

点评: 本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式的应用,三角函数求值,综合性较强, 属于中档题. 18. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA=PD,PA⊥平面 PDC, E 为棱 PD 的中点. (1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)通过 AD⊥CD 及线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD,再利用面面垂直的 判定定理即得结论; (2)过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,过点 F 作 FG⊥AC 于点 G,连接 EG,则∠EGF 是二面角 E ﹣AC﹣D 的平面角,∠EGF 二面角 E﹣AC﹣B 的平面角的补角,利用勾股定理即得结论. 解答: (1)证明:∵PA⊥平面 PDC,CD?平面 PDC,∴PA⊥CD, ∵底面 ABCD 为正方形,∴AD⊥CD, 又 PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD, 又 CD?平面 ABCD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD; (2)解:过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,过点 F 作 FG⊥AC 于点 G,连接 EG, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且相交于 AD,EF?平面 PAD, ∴EF⊥平面 ABCD, 又 FG?平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴EF⊥FG,EF⊥AC, 又 FG⊥AC,EF∩FG=F, ∴AC⊥平面 EFG, 又 EG?平面 EFG,∴EG⊥AC, ∴∠EGF 是二面角 E﹣AC﹣D 的平面角, ∴∠EGF 二面角 E﹣AC﹣B 的平面角的补角, 设 AD=4,在△ PAD 中,有 PA⊥PD, 则 ,∠PDA=45°, 又 E 为棱 PD 的中点,则 ,EF=DF=1,AF=3, 在 Rt△ AGF 中, 在 Rt△ EFG 中, 则 , , ,

∴二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值为



点评: 本题考查面面垂直的判定及求二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中 档题. 19. (12 分)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 问该农户如何安排种植计划,才能使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本) 最大,最大总利润是多少万元? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: 根据条件,设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,建立目标函 数和约束条件,根据线性规划的知识求最优解即可. 解答: 解:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元, 则目标函数为 z=(0.55×4x﹣1.2x)+(0.3×6y﹣0.9y)=x+0.9y.

线性约束条件为





,作出不等式组

表示的可行域,求得点 A(0,50) ,B(30,

20) ,C(0,45) . 平移直线 z=x+0.9y,可知当直线 z=x+0.9y 经过点 B(30,20) , 即 x=30,y=20 时,z 取得最大值,且 Zmax=48(万元) . 故黄瓜和韭菜的种植面积应该分别是 30 亩、20 亩时,利润最大.

点评: 本题主要考查生活中的优化问题,利用条件建立二元二次不等式组,利用线性规划 的知识进行求解是解决本题的关键. 20. (14 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率 为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大值; (3)当 n>m≥4 时,证明: (mn ) >(nm ) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出 f(x)的导函数,把 x=e 代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜 率,根据切线斜率为 3 列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值; (2)将原来的恒成立问题转化为研究函数的最值问题,研究 g(x)= 区间(1,+∞)
n m m n

上的最值问题,先求出函数的极值,研究极值点左右的单调性,最后确定出最小值,从而得 出 k 的最大值. (3)由(2)知,g(x)= 是[4,+∞)上的增函数,从而有当 n>m≥4 时,
mn m mn n



,由此式即可化简得到 ln(n m )>ln(m n ) 解答: 解: (1)因为 f(x)=ax+xlnx, 所以 f'(x)=a+lnx+1. (1 分) 因为函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e 处的切线斜率为 3, 所以 f'(e)=3,即 a+lne+1=3. 所以 a=1. (2 分) (2)由(1)知,f(x)=x+xlnx, 所以不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立, 即 k< 令 g(x)= 对任意 x>1 恒成立. (3 分) ,

则 g′(x)=

, (4 分)

令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) , 则 h′(x)=1﹣ = >0 在(1,+∞)上恒成立,

所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增. (5 分) 因为 h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 所以方程 h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4) . 当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g'(x)<0,当 x>x0 时,h(x)>0,即 g'(x)>0, (6 分) 所以函数 g(x)= 在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

所以[g(x)]min=g(x0)= 所以 k<[g(x)]min=x0∈(3,4) . 故整数 k 的最大值是 3. (8 分) (3)证明:由(2)知,g(x)= 所以当 n>m≥4 时, >

=

=x0∈(3,4) . (7 分)

是[4,+∞)上的增函数, (9 分) , (10 分)

即 n(m﹣1) (1+lnn)>m(n﹣1) (1+lnm) . 整理,得 mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n﹣m) . (11 分) 因为 n>m,所以 mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn. (12 分) mn m mn n 即 lnn +lnm >lnm +lnn . mn m mn n 即 ln(n m )>ln(m n ) . (13 分) n m m n 所以(mn ) >(nm ) . (14 分) 点评: 此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负确 定函数的单调区间,会利用导数研究函数的极值,掌握导数在最大值、最小值问题中的应用, 是一道中档题.



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