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26.1.7 二次函数符号和图象



二次函数 y=ax? +bx+c 的符 号问题

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号: 由抛物线的开口方向确定 a>0 开口向上 a<0 开口向下 (2)C的符号: 由抛物线与y轴的交点位置确定. c>0 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点 c<0 c=0

观察下列函数图象,看一看抛物线和X轴交点情 观察下列函数图象,看一看对称轴位置和系数a、b 况和△=b2-4ac的符号关系: 的符号关系: 2

y o

y

y=2x -3x+2

y=x2-2x-1 y两个交点:△>0 轴右侧:a、b异号

x
(1)

o
y=2x2+3x+2

x

y

y 没有交点:△<0 轴右侧:a、b异号 (2)

y

y 轴左侧:a、b同号 没有交点:△<0

y o x
(5)

o x
o
(4)

x
y=-x2-2x+3

(3)

y=-x2+2x-1

y两个交点:△>0 轴左侧:a、b同号

y 轴右侧:a、b异号 唯一交点:△=0

由对称轴的位置确定 (3)a、b的符号:

对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
(4)b2-4ac的符号:

a、b同号 a、b异号 b=0

由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0

练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y

a>0,
b<0,

o

x

c>0,
△>0.

练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y

a>0,
b>0,

o

x

c=0,
△>0.

练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y

a<0,
b<0,

o

c>0,
x

△>0.

练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y

a>0,
b<0,

o

x

c>0,
△=0.

练习
5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y

a>0,
b=0,

o

c=0,
x

△=0.

练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、△的符号:
y

a<0,
b>0,

o

c<0,
x

△<0.

练习
7、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示,则点M(
b c

,a)在
y

( D )

A、第一象限
C、第三象限

B、第二象限
D、第四象限

a<0, b>0,
o x

c>0,

练习
8、已知:一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系中的大致图 象是图中的( C ) y y
o
x (A) y y (B)

o

x

o

x (C)

o (D)

x

9.抛物线y=ax2+bx+c的图象过一,三,四象 限确定a,b,c的符号_______

10、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 m= . 11、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴 上则b= ________ 12、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 x=2则b= ________

1、x=1时抛物线y=ax2+bx+c的函数值Y= 2、x=-1时抛物线y=ax2+bx+c的函数值Y=

a+b+c a-b+c

3、分别在下列图像中确定x=1或x=-1时的函数值的符号:

y
-1

y

o

1

x

-1

o

1

x

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a+b+c>0 点在x轴上方 a+b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a+b+c=0 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c>0 点在x轴上方 a-b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a-b+c=0

练一练:
1、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示,下列结论中:①abc>0; ②b=2a;③a+b+c<0;④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的个数是 ( C )
y

A、2个
C、4个

B、3个
D、5个
-1 o 1 x

练一练:
2、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如 图所示,下列结论中不正确的是( D) A、abc>0 y

B、b2-4ac>0
C、2a+b>0 D、4a-2b+c<0
-1

o

1

x

知识点二:
1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么?

?a> 0 ? 2 ? b ? 4 ac < 0
的值永远是正值的条件是什么?

x

变式:不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0) 你知道吗?不论x取何值时,函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非 负数的条件是什么?

知识点二:
2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条 件是什么?
?a ? < 0 ? ? b 2 ? 4 ac < 0 ?

x

变式:不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的值永远是负值的条件是什么?

你知道吗?不论x取何值时,函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非 正数的条件是什么?

二、典型例题分析
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c, 且a<0,a-b+c>0,则一定有( A ) A.b2-4ac>0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D. b2-4ac≤0 2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示,则点M(b,c/a)在 (D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

-1

a <0,b >0,c >0

3.(河北省)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )

4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示,则函数值 y<0时,对应的x取值范围 是 -3<x<1 .

-3



.-3

5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示,下列结论: ① a+b+c<0,②a-b+c>0; ③ abc>0;④b=2a 中正确个数为 (A ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0 当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1

6、无论m为任何实数,二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 (C ) A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0)

10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两

个交点,则a的取值范围是 ( D )
A.a>0 B.a>- 4/9

C.a> 9/4

D.a<9/4且a≠0



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