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江西省2011届高三4月八校联考数学试卷(文)及答案



2011 年江西省

抚州一中 吉安一中 萍乡中学 宜春中学

赣州一中 九江一中 新余一中 上饶县中

联 合 考 试

高三数学试卷(文)
命题人:萍乡中学 审题学校:吉安一中
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意

事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、座位号、考试 科目填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

正棱锥、圆锥的侧面积公式
S 锥侧 ? 1 2 cl

如果事件 A,B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

其中,c 表示底面周长、l 表示斜高或 母线长 球的体积公式

在独立性检验中,统计量
?
2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )



V球 ?

4 3

?R

3

其中 n ? a ? b ? c ? d

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的.答案要写在答题卷上 1.设集合 P ? ? 3, log 2 a ? , Q ? ? a , b ? ,若 P ? Q ? ?0 ? ,则 P ? Q = ( )

A. ? 3, 0 ?

B. ? 3, 0,1?
?

C. ? 3, 0, 2?

D. ? 3, 0,1, 2 ? )

2. 已知 (1 ? i ) ? z ? ? i ,那么复数 z 对应的点位于复平面内的( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

3.一个几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积是( A. 112 C. 7 2
4.下列命题正确的是( A.已知 p :
1 x ?1 ? 0, 则
?



B. 8 0 D. 6 4

p : 1 x ?1 ? 0

B.在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c,则 a>b 是 cosA<cosB 的充要 条件 C.命题 p:对任意的 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p :对任意的 x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 D.存在实数 x ? R ,使 sin x ? cos x ?
? ln x ? x 5.函数 f ( x ) ? ? ?2 x ? 1
2

?
2

成立

? 2x

( x ? 0) ( x ? 0)

的零点个数为(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

6.下图是某次民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图。去掉一个最高 分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( 7 8 9 A.84,4.84 9 4 3 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4 4 6 4 7 )

7.设数列 ?a n ? 为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a 1 ? a 4 ? a 7 ? 99 , a 2 ? a 5 ? a 8 ? 93 ,若 对任意 n ? N ? ,都有 S n ? S k 成立,则 k 的值为( A.22 B.21 C.20 D.19 )

8. 2002 年 8 月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三 角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ , 大正方形面积是 1, 小正方形面积是 A. ?
24 25
1 25

, 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值是( D.
7 25



B. ?

7 25

C.

24 25

9. 图 1 是某县参加 2011 年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形图表示学生人数依

次记为 A1、A2、…A10(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155 ) 内的人数]。图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在 160~180cm(含 160cm, 不含 180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )

A.i<6

B. i<7

C. i<8

D.i<9

? x ? 0 ? 10. 已知点 M ( a , b ) 在由不等式组 ? y ? 0 确定的平面区域内,则点 N ( a ? b , a ? b ) 所在平 ?x ? y ? 2 ?

面区域的面积是( ) A.1 B.2 C.4 D.8

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 11. 如图,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP ?
AQ ? 2 3 AB ? 1 4 AC 2 5 AB ? 1 5 AC ,
C

,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比
P A

Q





B

12. 曲 线 y ? ln x 上 的 点 到 直 线 2 x ? y ? 3 ? 0 的 最 短 距 离 是 ________

13.已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1、 F2 ,P 是双曲线上的一点,

且 P F1⊥P F2, ? PF 1 F 2 的面积为 2 ab,则双曲线的离心率 e=________. 14.在计算 "
1 1? 2 ? 1 2?3 1 k ( k ? 1) 1 1 ? ... ? 1 n ( n ? 1) 1 k ?1 1 3 1 n ( n ? 1) 1 1? 2 ? 3 ( n ? N *)" 时,某同学学到了如下一种方法:

先改写第 K 项:

?

1 k

?

,

由此得

1 1? 2 1

?

1 1

?

2 2?3 1

,

?

1 2

?

,...,

1 n ( n ? 1) 1 n ?1 1 2?3? 4

?

1 n

?

1 n ?1

,

相加,得

1? 2

?

2?3

? ... ?

?1?

类比上述方法,请计算 " ___________.

?

? ... ?

1 n ( n ? 1 )( n ? 2 )

( n ? N *)" , 其 结 果 为

15.不等式 x ? | 2 x ? 1 |? a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值集合是______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答 写在答题卡上的指定区域内. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 内角 A, C 所对边长分别为 a , b , c ,AB ? AC ? 8 ,? B A C ? ? ,a ? 4 . B, (Ⅰ)求 b ? c 的最大值及 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2 3 s in (
2

?
4

? ? ) ? 2 cos ? ?
2

3 的最值.

17. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? { x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? { x (1)在区间 ( ? 4 , 4 ) 上任取一个实数 x ,求“ x ? A ? B ”的概率;

x?2 x?3

? 0} .

(2)设 ( a, b) 为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数,b 是从集合 B 中任取的 一个整数,求“ b ? a ? A ? B ”的概率.

18. (本小题满分 12 分)

已知直角梯形 A B C D 中, A B // C D , A B ? B C , A B ? 1, B C ? 2, C D ? 1 ?

3, 过 A 作

A E ? C D ,垂足为 E , G、 F 分 别 为 AD、 CE 的中点,现将 ? A D E 沿 A E 折叠,使得 D E ? EC .

(1)求证: F G // 面 B C D ; (2)设四棱锥 D-ABCE 的体积为 V,其外接球体积为 V / ,求 V : V / 的值. D D E F · C G E A 19. (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n ? 1 ?
2
n ?1



F

C

B

A

B

an
n

an ? 2

( n ? N ? ).

? 2n ? (Ⅰ)证明:数列 ? ? 是等差数列; ? an ?

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅲ)设 bn ? n ( n ? 1) a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n . 20. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? x 2 ? b sin x ? 2( b ? R ), F ( x ) ? f ( x ) ? 2 , 且 对 于 任 意 实 数 x , 恒 有
F ( x ? 5) ? F (5 ? x ) 。

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 2( x ? 1) ? a ln x 在区间 (0,1) 上单调,求实数 a 的取值范围; (3)函数 h ( x ) ? 2 ln x ?
1 2 f ( x ) ? k 有几个零点?

21. (本小题满分 14 分) 如图, ? ABC 中 ,已知 A(- 2 ,0), B( 2 ,0), CD ? AB 于 D, ? ABC 的垂心为 H, CD ? 2CH . 在 且 (Ⅰ)求点 H 的轨迹方程; (Ⅱ)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G , H (点 G 在 F,H 之间) ,且满 足 FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围. y C

H

A

2011 年江西省“八校”联合考试高三数学试卷(文)参考答案(2011.4.8)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1~5、BBBBD 6~10、CCBCC 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.
4 5

12.

4 ? ln 2 5

13. 5

14.

n

2

? 3n

4 ( n ? 1 )( n ? 2 )

15. ( ?? , ]
2

1

2 2 2 16.(Ⅰ) bc ? cos ? ? 8 b ? c ?2 b c o ? ? 4 c s 即 b 2 ? c 2 ? 32 ????????2 分 2 2 又 b ? c ? 2 bc ,所以 b c ? 1 6 ,即 b c 的最大值为 16??????4 分



8 cos ?

? 16

所以 c o s ? ?
?
2

1 2

, 又 0< ? < ?

所以 0< ? ?

?
3

??6 分

(Ⅱ) f (? ) ?

3 ? [1 ? c o s (

? 2 ? )] ? 1 ? c o s 2 ? ?

3 ?

3 s in 2 ? ? c o s 2 ? ? 1

? 2 s in ( 2 ? ?

?
6

)?1

????????????????9 分
?
6 ? 5? 6

因 0< ? ? 当 2? ? 当 2? ?
?
6

?
3 ? ?

,所以
5? 6

?
6

< 2? ?
?
3



1 2

? s in ( 2 ? ? 1 2 ?1 ? 2

?
6

)?1

???10 分

即? ? 即? ?

时, f (? ) m in ? 2 ?

?????11 分 ?????12 分

?
6

?
2

?
6

时, f (? ) m ax ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

17. (Ⅰ)由已知 A ? { x ? 3 ? x ? 1} B ? { x ? 2 ? x ? 3} ,???????2 分 设事件“ x ? A ? B ”的概率为 P1 , 这是一个几何概型,则 P1 ?
3 8

.???????5 分

(2)因为 a , b ? Z ,且 a ? A , b ? B , 所以, 基本事件共 12 个: ? 2, ? 1) , ? 2, 0) , ? 2,1) , ? 2, 2) , ? 1, ? 1) , ? 1, 0 ) , ? 1,1) , ( ( ( ( ( ( (
( ? 1, 2 ) , (0, ? 1) , (0, 0) , (0,1) , (0, 2) .

???????9 分

设事件 E 为“ b ? a ? A ? B ” ,则事件 E 中包含 9 个基本事件,???????11 分 事件 E 的概率 P ( E ) ?
9 12 ? 3 4

.???????12 分

18. (1)证明:取 A B 中点 H ,连接 G H , F H ,
? G H // BD , F H // B C , ? G H // 面 B C D , F H // 面 B C D
? 面 F H G // 面 B C D , ? G F // 面 B C D ????????6 分

( 2 )V ?

1 3

? 2 ?1? R ?

3 ? 1 2

2 3

3
2

又 接 半 外 球 径 4 3 ? V :V
/

1 ? 2
2

? ( 3)

2

?

2

?V

/

?

? ?2 2 ?
? 6 8

8 3

2

?

? ? ? ? ? ? ? ? 12 分
a n ?1 2
n ?1

19. (Ⅰ)由已知可得

?

an an ? 2
n

,即

2

n ?1

?

2

n

? 1 ,即

2

n ?1

?

2

n

?1

a n ?1

an

a n ?1

an

∴ 数列 ?
2
n

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列 ? an ?
2 a1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ a n ?
2
n

????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

an

n ?1

?????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn ? n ? 2 n
Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3 n

2Sn ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

??????10 分

相减得: ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

? n?2

n ?1

? 2

n ?1

? 2 ? n?2

n ?1

??????????12 分

∴ S n ? ( n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2

?????

20 。 (1)由题设得 F ( x ) ? x 2 ? b sin x ,
? F ( x ? 5) ? F (5 ? x ) ,则? F ( ? x ) ? F ( x ) ,

所以 x 2 ? b sin x ? x 2 ? b sin x ????????2 分 所以 b sin x ? 0 对于任意实数 x 恒成立
? b ? 0 .故 f ( x ) ? x ? 2 ????????3 分
2

(2)由 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ( x ? 1) ? a ln x ? x 2 ? 2 x ? a ln x ,求导数得
g (x) ? 2 x ? 2 ?
'

a x

( x ? 0 ) ????????4 分
' '
2

g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上恒单调,只需 g ( x ) ? 0 或 g ( x ) ? 0 在 ( 0 ,1) 上恒成立,即 2 x ? 2 x ? a ? 0 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 恒 成 立 , 所 以 a ? ? ( 2 x ? 2 x ) 或 a ? ? ( 2 x ? 2 x ) 在 ( 0 ,1) 上 恒 成
2

2

2

立????????6 分 记 u ( x ) ? ? ( 2 x 2 ? 2 x ), 0 ? x ? 1 ,可知: ? 4 ? u ( x ) ? 0 ,
? a ? 0 或 a ? ? 4 ????????8 分

(3) 令 y ? 2 ln x ?

1 2

f ( x ) ? 2 ln x ?

1 2

x

2

? 1, y ?
'

2? x x

2

( x ? 0 ), ……9 分

令 y ' ? 0, 得 0 ? x ?
x ? 0 时, y ? ?? ,

2 , y ' ? 0, 得 x ?

2?x ?

2时, y 有极大值

ln 2 ? 0

x ? ?? 时, y ? ?? ? k ? ln 2 时, h ( x ) 无零点, k ? ln 2 时, h ( x ) 有两个零点

………………………………………11 分
k ? ln 2 时, h ( x ) 有一个零点

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…..13 分

21. (1)设点 H 的坐标为(x,y) 点坐标为(x, m), 则 D(x.,0) ,C
? CD ? ( 0 , ? m ), CH ? ( 0 , y ? m ), CD ? 2 CH , ? m ? 2 y , 故 C 点为( x , 2 y ) ? AC ? BH ? 0 ,? ( x ? x
2

…………………………2 分
2, y) ? 0

2 ,2 y ) ? ( x ?

? 2y

2

?1
x
2

故点 H 的轨迹方程为

? y

2

? 1 ( y ? 0 ) ……………………………………….6 分

2

(2)当直线 GH 斜率存在时, 设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2 , 代入椭圆方程 得(
1 2 ? k )x
2 2

x

2

? y
3 2

2

? 1,

2
? 4 kx ? 3 ? 0 . 由 ? ? 0得 k
2

?

.

设 G ( x 1 , y 1 ), H ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 ? x 2 ?

? 4k 1 2 ? k
2

, x1 x 2 ?

3 1 2 ? k
2

……………………8 分

又 ? FG ? ? FH ,

? ( x1 , y 1 ? 2 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2 )
x1 ? x 2 1? ? x1 x 2

? x1 ? ? x 2 ,

? x 1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x 2 , x 1 x 2 ? ? x 2 .
2

?(

)

2

? x2 ?
2

?



( ?

? 4k 1 2 (1 ? ? ) ? k
2

)

2

3 1 ? 2 ? k
2

2

?

, 整理得 3(
16 3

16 1 2k
2

? ? 1)

(1 ? ? )

2

?

……………………10 分

? k

2

?

3 2

,? 4 ?

16 3 2k
2

? ?3

.

?4 ? ? ?

1

?

? 2 ?

16 3

.解得

1 3

? ? ? 3.

……..12 分

? k ? ?

2时 , ? ?

3 5



5 3

, 但 k ? ?

2 ,? ? ?

3 5

且? ?

5 3

………………13 分

又 ? 0 ? ? ? 1,

?

1 3

? ? ? 1. 且 ? ?

3 5 1 3 FH , ? ? 1 3 .

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0 , FG ?
? 1 3 ? ? ? 3 5 3 5 ? ? ?1



……………………………………………………….14 分



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