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高一数学(人教A版)必修3课件:变量之间的相关关系 两个变量的线性相关


数学人教A版 ·必修3

第二章
2.3.1 2.3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关

温故知新 1.下列数字特征一定是样本数据中的数据是( A.众数 C.标准差 B.中位数 D.平均数 )

[答案] A

2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均 数、中位数和众数的大小关系是( A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 )

[答案] D

3.(2012~2013· 安徽检测)从甲、乙两班分别任意抽出10 名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为s 13.2,s2 2=26.26,则( )
2 1



A.甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐 B.乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐 C.甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐 D.不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度

[答案] A

4.在初中数学及《数学必修1》中,我们研究了两个变 量之间的函数关系,变量之间的函数关系是一种确定的关 系,当自变量x的值确定之后,都有唯一确定的y值与之对 应,这种关系是一种理想的关系模型.但现实生活中两个变 量之间存在着另外一种关系,其中一个变量与另一个变量有 关,但确定这个变量的因素不止一个,这种关系就是本节我 们要学习的变量间的相关关系,学习这种相关关系要同变量 间的函数关系区分开来.

新课引入

西方流传的一首民谣: 丢失一个钉子,坏了一只蹄铁; 坏了一只蹄铁,折了一匹战马; 折了一匹战马,伤了一位骑士; 伤了一位骑士,输了一场战斗; 输了一场战斗,亡了一个帝国.

马蹄铁上一个钉子是否丢失与一个帝国存与亡关系有多 大呢?显然,这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述, 那么这究竟是一种什么样的关系?本节,我们共同研究.

自主预习 阅读教材P84-91,回答下列问题: 1.相关关系 (1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一 个变量的取值带有一定的 随机 性,那么这两个变量之间的 关系,叫做相关关系.

(2)两类特殊的相关关系:如果散点图中点的分布是从
左下 角到 右上 角的区域,那么这两个变量的相关关系称

为正相关,如果散点图中点的分布是从 左上 角到 右下 角 的区域,那么这两个变量的相关关系称为负相关.

[归纳总结] 两个变量间的关系分为三类:一类是确定 性的函数关系,如正方形的边长与面积的关系;另一类是变 量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性, 它们的关系是带有随机性的,这种关系就是相关关系,例 如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系, 我们称它们为相关关系;再一类是不相关,即两个变量间没 有任何关系.

(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是(

)

A.二次函数y=ax2+bx+c中,a,c是已知常数,取b为 自变量,因变量是判别式Δ=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩田施肥量和粮食亩产量

[答案] A

[解析]

在A中,若b确定,则a,b,c都是常数, Δ=b2

-4ac也就唯一确定了,因此,这两者之间是确定性的函数 关系;一般来说,光照时间越长,果树亩产量越高;降雪量 越大,交通事故发生率越高;施肥量越多,粮食亩产量越 高.所以B、C、D是相关关系.故选A.

归纳总结:函数关系是一种确定性关系,相关关系是 一种非确定性关系,判断两个变量间的关系是否为相关关系 的关键是看这个关系是否具有不确定性.

(2)如下图所示,表示两个变量不具有相关关系的有 ________.

[答案] ①④

[解析]

①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一

条曲线周围;③中的点大都分布在一条直线周围;④中点的 分布没有任何规律可言,x,y不具有相关关系.

2.线性相关 (1)定义:如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大 致在一条 直线 附近,我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做 回归直线. ^ x+ a ^ 时,使得 (2)最小二乘法:求线性回归直线方程 ^ y=b 样本数据的点到它的 距离的平方和 最小的方法叫做最小二 乘法,其中a,b的值由以下公式给出:

^是回归方程的 斜率 ,a ^是回归方程在y轴上的 其中,b
截距.

[破疑点]

线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上

的一个难点,可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直 线,并能求出回归直线方程.因此在学习过程中,要重视信 息技术的应用.

^x+a ^的叙述正确的是( 下列有关回归方程^ y=b ①反映^ y与x之间的函数关系; ②反映y与x之间的函数关系; ③表示^ y与x之间的不确定关系; ④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线. A.①② B.②③ C.③④

)

D.①④

[答案] D

^x+a ^ 表示^ [解析] ^ y =b y与x之间的函数关系,而不是y与x 之间的函数关系.但它所反映的关系最接近y与x之间的真实 关系.故选D.

归纳总结:回归直线是对原数量关系的一种拟合,如 果两个变量不具有线性相关关系,即使求出回归方程也是毫 无意义的,而且由其得到估计和预测的值也是不可信的.

识、画散点图判断变量间是否具有相关关系
学法指导 两个变量x与y相关关系的判断方法: (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在 一定规律,直观地判断;如果发现点的分布从整体上看大致 在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不 要受个别点的位置的影响.

(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断; (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附 近,那么变量之间就有相关关系.

(1)如图是两个变量统计数据的散点图,判断 两个变量之间是否具有相关关系?

(2)有个男孩的年龄与身高的统计数据如下. 年龄(岁) 身高(cm) 1 2 3 4 5 6

78 87 98 108 115 120

画出散点图,并判断它们是否有相关关系.

[解析]

(1)不具有相关关系,因为散点图散乱地分布在

坐标平面内,不呈线形. (2)散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出散点图 如图:

由图可见,具有线性相关关系.

对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点 图(1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散 点图(2).由这两个散点图可以判断( )

A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关

[答案] C

[解析]

图(1)中的数据y随着x的增大而减小,因此变量x

与变量y负相关;图(2)中的数据随着u的增大,v也增大,因 此u与v正相关.

回归直线方程
学法指导 求回归直线方程的一般步骤: ①收集样本数据,设为(xi,yi),(i=1,2,?,n)(数据一 般由题目给出). ②作出散点图,确定x,y具有线性相关关系. ③把数据制成表格xi,yi,x2 i ,xiyi.
n 2 ④计算 x , y , xi , xiyi, i=1 i=1

?

n

?

? n -- ? ?xiyi-nx y ? ? ^ i=1 , ?b= ^ ^,公式为? n - ⑤代入公式计算b,a 2 ?xi -nx2 ? i=1 ? ? ^- ^ ? ?a= y -b x.
^ ^ ^. ⑥写出回归直线方程y=bx+a

随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭 轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随着使用年 限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族 非常关心的问题.某汽车销售公司作了一次抽样调查,并统 计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下 的数据资料:

使用年限x 总费用y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料,知y对x呈线性相关关系.试求: ^x+a ^的回归系数a ^、b ^; (1)线性回归方程^ y=b (2)估计使用年限为10年时,车的使用总费用是多少?

[分析]

第一步,列表xi,yi,xiyi;

n n 2 2 第二步,计算- x ,- y , xi , yi , xiyi; i=1 i=1 i=1

?

n

?

?

第三步,代入公式计算b,a的值; 第四步,写出回归直线方程.

(1)利用公式: ? n n ? x ??yi-- y ? ?xiyi-n - x - y ? ?xi-- ? i=1 i=1 ? ^= = ?b n n ? - 2 2 2 - ? x - x ? x - n ? ? i ?i i=1 i=1 ? ? ^=- ^- ? y -b x, ?a

来计算回

归系数.有时为了方便常列表,对应列出xiyi、x 2 i ,以利于求 和.(2)获得线性回归方程后,取x=10,即得所求.

[解析] i

(1)列表: 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36

xi yi xiyi xi2

5 2 - x =4,- y =5, xi =90, xiyi=112.3 i=1 i=1

?

5

?

112.3-5×4×5 12.3 ^ 于是b= = =1.23; 10 90-5×42 ^=- a y -b- x =5-1.23×4=0.08. (2)线性回归直线方程是 ^ y =1.23x+0.08,当x=10(年) 时, ^ y =1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时, 支出总费用是12.38万元.

归纳总结:求回归直线方程应给出线性回归系数公 式,在求解时为了使计算更准确可以先制表,这样使计算过 程更具条理性.

某公司的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有下 列对应数据:由资料显示y对x呈线性相关关系. x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

^ x+ a ^ 中的 b ^= 根据上表提供的数据得到回归方程 ^ y=b 6.5,预测销售额为115万元时约需________万元广告费.

[答案] 15

2+4+5+6+8 - [解析] x = =5, 5 30+40+60+50+70 - y= =50. 5 ^得a ^= ∵回归方程过样本中心(5,50),代入 ^ y =6.5x+ a 17.5, ∴^ y=6.5x+17.5,当^ y=115时,x=15.

有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国 民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数 量,如下表: 人均GDP/万元 患白血病的儿童数 /人 10 351 8 312 6 207 4 175 3 132 1 180

(1)画出散点图,并判定这两个变量是否具有线性相关关 系; (2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为^ y =23.25x+ 102.15,假如一个城市的人均GDP为12万元,那么可以断言, 这个城市患白血病的儿童一定超过380人,请问这个断言是否 正确?

[错解]

(1)根据表中数据画散点图,如图所示,从图可以

看出,虽然后5个点大致分布在一条直线的附近,但第一个点 离这条直线太远,所以这两个变量不具有线性相关关系. (2)将x=12代入 ^ y =23.25x+102.15,得 ^ y =23. 25×12+ 102.15=381.15>380.所以上述断言是正确的.

[错因分析] 在第(1)问中,是否具有线性相关关系,要看 大部分点、主流点是否分布在一条直线附近,个别点是不影 响“大局的”,所以可断定这两个变量具有线性相关关 系.在第(2)问中,381.15只是一个估计值,由它不能断言这 个城市患白血病的儿童一定超过380人,如果这个城市的污染 很严重,有可能人数远远超过3 80,若这个城市的环境保护得 得很好,则人数就有可能远远低于380.

[正解]

(1)根据表中数据画散点图,如图所示,从圈可以

看出,在6个点中,虽然第一个点离这条直线较远,但其余5 个点大致分布在这条直线的附近,所以这两个变量具有线性 相关关系. (2)上述断言是错误的,将x=12代入 ^ y =23.25x+102.15得 ^ y =23.25×12+102.15=381.15>380,但381.15是对该城市人 均GDP为12万元的情况下所作的一个估计,该城市患白血病 的儿童可能超过380人,也可能低于380人.

1.下列两个变量之间的关系: ①角度和它的余弦值; ②正n边形的边数与内角和; ③家庭的支出与收入; ④某户家庭用电量与电价间的关系. 其中是相关关系的有( A.1个 B.2个 ) C.3个 D.4个

[答案] A

2.散点图的作用( A.查找个体个数

)

B.比较个体数据大小关系 C.探究个体分类 D.粗略判断变量是否具有相关关系

[答案] D

3.下列图形中两个变量具有相关关系的是(

)

[答案] C

[解析]

A是一种函数关系,因为任给一个x都有惟一确

定的y和它对应;B也是一种函数关系;C中从散点图可看出 所有点看上去都在某条直线附近波动,具有相关关系,而且 是一种线性相关;D中所有的点在散点图中没有显示任何关 系,因此变量间是不相关的.

4.两个变量x与y之间的回归直线方程( A.表示x与y之间的函数关系 B.表示x与y之间的不确定关系 C.反映x与y之间真实关系的形式

)

D.反映x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合

[答案] D

5.线性回归方程^ y=bx+a必过( A.点(0,0) C.点(0,^ y) B.点( x ,0) D.点( x , y )

)

[答案] D

6.设一个回归方程为 ^ y =3+1.2x,则变量x增加一个单 位时( )

A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加3个单位 C.y平均减少1.2个单位 D.y平均减少3个单位

[答案] A

7.现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、 E(10,12),去掉________组数据后,剩下的4组数据的线性相 关性最大.

[答案] D

8.下表提供了某厂节能降耗技术改造生产甲产品过程 中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照 数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的 ^x+a ^; 回归方程^ y=b

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤.试根据(2)求出的回归方程,预测生产100吨甲产品的生 产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

[分析]

(1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为

纵坐标,在平面直角坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求 ^ 的值;(3)实际上就是求当x=100时,对 得线性相关系数 b , a 应的y的值.
^

[解析]

(1)散点图,如图所示.

(2)由题意,得 66.5,

i=1

?x iyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=

n

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 x= =4.5, y = =3.5, 4 4
2 2 2 2 ?x2 i =3 +4 +5 +6 =86, n

i=1

66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 ∴b= = =0.7, 86-4×4.52 86-81
^ ^ ^ a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35,

故线性回归方程为^ y=0.7x+0.35.

(3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准 煤的数量为0.7×100+0.35=70.35, 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨标准煤).



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