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因为 、 是锐角 , 所以 0 < tan ( + ) = 1 > 0 , 所以 0 < 2 0< 4 . < 2 , 所以 0 < + 2 <

+ +

< < 2

,又 ,又

左边 = sin ( + ) + m sin( + ) cos

( + ) + n cos 2 ( + ) = co s2 ( + ) [ t an2 ( + ) + 1 [ t an 2 ( + 1 + t an2 ( + ) + ) + n] =

2

m t an ( + ) + n] = ) + m tan (

,则 + 2 =

点评 : 特别要注 意角的范围 , 当角的范围 比较大时 , 要根据已知条件和三角函数在各象 限的范围缩小角的范围, 直到能正确确定出角 的范围为止. 五、 三角证明, 学法突破 例5 + 已知方程 x + mx + n = 0 的两根为
2

1 - m 2 - m [( ) + m( ) + n] = m 2 1 n 1 - n 1+ ( ) 1- n m - m ( 1 - n) + n( 1 - n) = 2 ( 1 - n) n[ m + ( 1 - n) ] = n = 右边 . 2 2 ( 1 - n) + m 点评 : 在两角和 与差的正切公 式中, 出现 t an + t an 与 t an t an 的组合式 , 而两数和、 两 数积的问题广泛 应用于一元二次 方程根与系 数的关系 , 也叫韦达定理 . 看来 , 理解两 角和与差 的三角函 数公式 , 关键是能正用 , 逆用、 变用公能式 , 同时注意观 察三角函数的特 点, 观察角的特点, 观察式子 的特点, 从而寻求解决问题的方法 . 江苏张家港职业教育中心( 215600)
2 2 2 2 2

tan 、 t an , 求证 : sin2 ( + ) + m sin ( + ) cos ( ) + ncos2 ( + ) = n. 分析: 由一元二 次方程根 与系数的 关系, 可以得到 t an + t an = - m, t an t an = n. 从而求出

tan ( + ) , 再证明等式. ! = m - 4n
2

0,

证明 : 由 题 意 得 tan + tan = - m, 则 tan t an = n tan ( + ) = t an + t an = - m . 1 - t an t an 1- n 吴志鹏

用! 补集? 的观点理解! 命题的否定?
多年的教学中 , 我发现学生对 ! 命题的否 定? 中一些常用词语的否定只是死记硬背、 一 知半解, 致使在解决问题的过程中常常因为记 忆的失误而把结论搞错. 究其原因是学生对一 些词语的否定理解起来有困难 . 如果我们在平 时的教学中能够引导学生用集合中 ! 补集? 的 观点对其加以理解, 那样学生对! 命题的否定? 就能够获得比 较充分的认识 . 对于! 命题的否 定? 即复合命题 ! 非 P? , 我们可联想到集合中 的补集, 若将命题 P 对应集合 P , 则命题! 非 P ? 为 P 对应的集合在全集 U 中的补集 C U . 因此我 们在用! 补集? 的观点理解、 解决! 命题的否定? 时要弄清命题对应全集是什么? 补集对应的又 是哪些关系? 一、 用! 补集? 的观点对含有 ! 都、 全 ? 等词 语命题否定的理解 ! 都? 的否定是! 不都? 而非! 都不? ; ! 全? 的否定是! 不全? 而非! 全不? . 例1
2011 年第 1 期

写出下列命题的否定 : X 、 Y 是整数 , # 23 #

若 X + Y 是偶数, 则 X 、 Y 都是偶数 . 分析 : 我们可把 X 、 Y 对应的奇偶数的所有 关系理解为全集 U, 则全集 U 包含了以下四种 关系: ? X 是偶数、 Y 是偶数 ; % X 是偶数、 Y是 奇数; & X 是奇数、 Y 是偶数 ; ?X 是奇数、 Y是 奇数 . 原命题所对应的是集合中的 第 ? 种关 系, 它的否定就应该理解为第 ? 种关系对应全 集中的补集即为其它三种关系 , 概括为 X 、 Y不 都是偶数 . 而不是 X 、 Y 都不是偶数 , 因为它仅 仅是集合中的第 ? 种关系 . 所以原命题的否定 为: X 、 Y 是整数, 若 X + Y 是偶数 , 则 X 、 Y 不都 是偶数. 二、 用 ! 补 集? 的 观点 对 含有 ! 至 少 有一 个? 、 ! 至多有一个? 等词语命题否定的理解 ! 至少有一个? 的否定是! 没有一个或一个 也没有?! 至多有一个? 的否定是! 至少有两个? 例2 写出下列命题的否定 : 若 abc = 0, 则 a、 b、 c 至少有一个为 0. 分析 : 我们可以把全集理解为 a 、 b、 c 与 0的 所有关系 , 则全集包含 ? a 、 b、 c 全为 0; % a、 b、 c 三个中有两个为 0、 一个不为 0 ; & a 、 b、 c 中有一 个为 0, 其余两个不为 0; ?a、 b、 c 全部不为 0 四 种关系. 原命题所对应的是全集中的第 ? % & 种关系, 则它的否定就应该理解为第 ? % & 种 关系在全集中的补集即为第 ? 种关系. 所以原 命题的否定为: 若 abc = 0, 则 a、 b、 c 没有一个为 0. 例3 若 abc = 0, 则 a、 b、 c 至多有一个为 0. 分析 : 原命题所对应的是全集中的第 & ? 种关系, 它的否定应该为第 ? % 种关系, 所以 原命题的否定为: 若 abc = 0, 则 a、 b、 c 至少有两 个为 0. 三、 用! 补集? 的观点对含有! 或? 、 ! 且? 的 复合命题否定的理解 ! P 或 Q ? 的否定是! 非 P 且非 Q? , 而不是 ! 非 P 或非 Q ? ; ! P 且 Q ? 的否定是! 非 P 或非 Q ? 而不是! 非 P 且非 Q ? . 例4 # 24 # 写出下列命题的否定: X = 1 或 Y = 2. R, 2
+

分析 : 把 X 与 1, Y 与 2 的全部关系对应为 全集即全集包含以下四种关系 ? X = 1 且 Y = 2; % X = 1 且 Y ( 2; & X ( 1 且 Y = 2 ; ?X ( 1 且 Y ( 2 . 原命题所对应的是全集中的第 ? % & 种关系, 因此它的否定对应为第 ?种关 系. 所以原命题的否定为 : X ( 1 且 Y ( 2. 例5 写出下列命题的否定: X = 1 且 Y = 2. 原命题所对应的是全集中的第 ? 种关系 , 因此它的否定应对应为集合中的第 ? % & 种 . 所以原命题的否定为: X ( 1 或 Y ( 2. 四、 用! 补集? 的观点对全称命题特称命题 中! 任意? 或! 存在? 否定的理解 ! 任意? 的否定词是! 存在? ! 存在? 的否定词是! 任意? 例 6 ( 2007 山东高考题 ) 对于! 任意的 x ) R, x 3 - x 2 + 1 ? 0? 的否定是: 分析: X ) R, X 与 P : x - x + 1 ? 0 的关
3 2

系可归纳为以下 三类: ? 全部的 X 满足关系 P , % 部分 X 满足关系 P , 部分 X 不满足关系 P ; & 全部的 X 不满足关系 P . 原命题所对应的 是全集中的第 ? 类 , 它的否定应该理解为第 ? 类在全集中的补集即第 % & 类 , 可归纳为存在 X 不满足关系 P . 所以原命题的否定为 : 存在 X 0 ) R, x 3 - x 2 + 1 > 0. 例7
0

( 2009 天津理科高考题 ) ! 存在 X 0 )

? 0? 的否定是:

分析 : 原命题所对应的关系是全集中的第 % & 类 , 它的否定应该理解为第 % & 类在全集 中的补集即为第 ? 种. 所以原命题的否定为 : 任意的 X ) R, 2 + > 0. 本文通过几个简单的例子, 用集合中补集 的知识有效地解决非 P 中的一些疑难问题 . 假 如你能细细品味, 认真领会其真谛 , 以小见大 , 你便能走上解决此类问题的康庄大道. 福建省德化第一中学 ( 362500)

201 1 年第 1 期



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