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深圳科学高中2013-2014学年高一数学暑假作业(4) 参考答案


深圳科学高中 2013-2014 高一暑假作业(数学 4)答案
一、选择题(每小题 4 分,共 32 分). 1 A 2 D 3 C 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分).
9. 12.

-1 13 16

10. 13.

1 2 4π

11. 14.

14 - 2 857

13.已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB =1,BC= 2,则球 O 的表面积等于________. 解析 将三棱锥 S-ABC 补形成以 SA、AB、BC 为棱的长方体,其对角线 SC 为球 O 的直径,所以 2R=SC=2,R=1,∴表面积为 4πR2=4π. 答案 14. 对于任意实数 x, 符号[x]表示 x 的整数部分, 即[x]是不超过 x 的最大整数. 在 实数轴 R(箭头向右)上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[x]就是 x. 这个函数[x]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那 么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+?+[log3243]=________. 解析 当 1≤n≤2 时,[log3n]=0,当 3≤n<32 时, [log3n]=1, ?,当 3k≤n<3k
+1

时,[log3n]=k.

故 [log31] + [log32] + [log33] + [log34] + ? + [log3243] = 0×2 + 1×(32 - 3) + 2×(33-32)+3×(34-33)+4×(35-34)+5=857. 答案 857 三、解答题: (共 6 题,10+10+10+10+12+12=64 分) 15. 解 (1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c) a=0a=0. (2) a+λ b=(1,2)+λ (2,-2)=(2λ +1,2-2λ ), 由于 a+λ b 与 a 垂直, ∴2λ +1+2(2-2λ )=0,
1

5 ∴λ = . 2 (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ . ∴|a|cos θ = 16. 解

a·b 1×2+ - = 2 |b| 2+ -

2

=-

2 2 2

=-

2 . 2

(1)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C,

由正弦定理,得 a(a-b)+b2=c2,即 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 1 π 由余弦定理,得 cos C= 2ab =2,结合 0<C<π,得 C=3. (2)由 a2+b2=6(a+b)-18,得(a-3)2+(b-3)2=0, 从而得 a=b=3, 1 π 9 3 所以△ABC 的面积 S=2×32×sin 3= 4 . 17. 解 将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 化成标准方程为 x2+(y-4)2=4,则

此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 |4+2a| 3 =2,解得 a=- . 2 4 a +1

(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质, |CD|= , ? a +1 ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2. |4+2a|
2 2 2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1.

故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 18. 解 (1)由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校数目为 6× 21 = 21+14+7

3;从中学中抽取的学校数目为 6× 为 6×

14 =2;从大学中抽取的学校数目 21+14+7

7 =1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. 21+14+7

(2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记 为 A4, A5,1 所大学记为 A6, 则抽取 2 所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,
2

A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6), (A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为(A1, A2),(A1,A3),(A2,A3),共 3 种. 3 1 所以 P(B)=15=5. 19. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,

由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a, 所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], ?x +2x+3,x∈ ,6] 且 f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0],
2

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区 间是[-6,0]. 20.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上 底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,在直 观图中,M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯 视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)若 N 是 BC 的中点,证明:AN∥平面 CME; (2)证明:平面 BDE⊥平面 BCD. (3)求三棱锥 D-BCE 的体积. (1)证明 连接 MN,则 MN∥CD,AE∥CD,

1 又 MN=AE=2CD, ∴四边形 ANME 为平行四边形,
3

∴AN∥EM.∵AN?平面 CME,EM?平面 CME, ∴AN∥平面 CME. (2)证明 ∵AC=AB,N 是 BC 的中点,AN⊥BC,

又平面 ABC⊥平面 BCD, ∴AN⊥平面 BCD. 由(1),知 AN∥EM, ∴EM⊥平面 BCD. 又 EM?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 BCD. (3)解 1 VD-BCE=VE-BCD=3S△BCD· |EM|

1 2 2×4 8 =3× 2 × 2=3.

4


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