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电动力学-第1章-第2节-电流和磁场


第二节 电流和磁场 (1)

电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律
§1, 电荷和电场 §2, 电流和磁场 §3, 麦克斯韦方程组 §4, 介质的电磁特性 §5, 电磁场边值关系 §6, 电磁场的能量和能流

一、电荷守恒定律
1,电流密度 J(矢量) 电荷的运动形成电流, 通常用 J 来描述电流密度。 其中 ρ

r

r r J = ρv r 代表电荷密度, 代表电荷运动的平均速度。 v

方向:沿着该点上的电流方向; 大小:数值上等于单位时间垂直通过单位面积的电量。 如有几种带电粒子,其电荷密度分别为 ρ i ,平均速度 r r r 为 vi ,则有:

J = ∑ ρ i vi

第二节 电流和磁场 (2)
2,电流强度 I 单位时间内垂直穿过导线横截面的电量。

第二节 电流和磁场 (3)
4,电荷守恒定律 1) 语言描述: 封闭系统内的总电荷严格保持不变。 总电荷不可能产生或消灭,在一个地方电荷增加了, 另一地方的电荷必然减少,而且增加和减少的量值相等。 对于开放系统,单位时间流出电荷总量等于封闭曲面 S 内总电荷的减少率。

I = dq/dt
3,I 和 J 的关系 通过面元 dS 的电流 dI 为:

r r dI = JdS ′ cos θ = J ? dS ′
I = ∫ J ? dS ′
S

r J )θ r dS ′

通过任一曲面 S 的总电流强度 I r r 为:

第二节 电流和磁场 (4)
2) 积分形式:

第二节 电流和磁场 (5)
3) 微分形式:

r r 单位时间流出的总电量:∫SJ ? dS ′ (流出为正,流入为负) dQ d = ? ∫ ρ dV ′ 封闭曲面 S 内总电荷的减少率: ? dt dt V r r ?ρ d ∴ ∫ J ? dS ′ = ? ∫ ρ dV ′ = ? ∫ dV ′ S V ?t dt V ——这是电荷守恒定律的积分形式。

Q

∫ J ? dS ′ = ∫ ? ? J dV ′
S V

r

r

r

=∫ ? (
V

?ρ )dV ′ ?t

∫(? ? J + ?t ) dV ′ = 0
V

r



而曲面S (所包围的V)是任意选取的,所以被积函数恒为零,

若 V 为全空间,S 为无穷远处的界面,由于在 S 上没有 r r 电流流出,因而 ∫ J ? dS ′ = 0
S

r ?ρ ∴ ??J + =0 ?t
这就是电荷守恒定律的微分形式,称为电流连续性方程。

总电量不随时间变化,故

dQ =0 dt

这时全空间的总电荷守恒,即:

d ρ dV ′ = 0 dt ∫V

第二节 电流和磁场 (6)
4) 讨论:

第二节 电流和磁场 (7) 二、毕奥-萨伐尔 (Biot-Savart) 定律 1,磁场
1820年4月,丹麦物理学家奥斯特在向学生做演 示实验时发现载流导线附近的磁针因受力而偏 转(课堂上获得的重大发现)。 ---- “电流具有磁效应”的首次实验验证。 稳恒电流 (直流电) 1920年9月,法国科学家安倍发现两条平行导线当电流同 向时互相吸引,电流异向时互相排斥。 电流之间存在作用力,这种作用力是通过一种物质作为 媒介来传递,这种特殊物质称为磁场。 磁场也是物质存在的形式,用磁感应强度 B (x,y,z,t ) 来描 述。

r ?ρ =0 ?? J + ?t

反映了空间某点 ρ (x) 与 J (x) 之间的变化关系,电流线一般 不闭合。 若空间各点 ρ 与 t 无关,则

?ρ =0 ?t r ?? J = 0

这就表示稳恒电流的电场线分布无源,处处连续,没有发 源点和终止点,因而是闭合的。

ρ 与 J 均与 t 无关时,恒定电流只能够在闭合回路中通过,
电路一断,直流电就不能够通过。

第二节 电流和磁场 (7) 2,毕奥-萨伐尔定律 --- 电流和磁场的相互作用
1820年,法国物理学家毕奥和萨伐尔 (J. B. Biot & F.Savart) 通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了 题为 “运动中的电传递给金属的磁化力” 的论文,后来人们 称之为毕奥-萨伐尔定律 。 在数学家拉普拉斯的帮助下,以数学公式表示出这一定律。

第二节 电流和磁场 (8)
恒定电流激发磁场由毕奥–萨伐尔定律给出。 设 J (x’) 为源点 x’上的电流密度,r 为由 x’ 点到场点 x 的距离。电流元 J (x’) dV ’ 在场点所激发的磁场为

r s r r r ? J ( x′) × r dB( x ) = 0 dV ′ r3 4π
则区域 V 内所有的电流所激发的磁感应强度 (满足叠加原 理) 为:

r r ? B( x ) = 0 4π



V

r r r J ( x′) × r dV ′ r3

第二节 电流和磁场 (9)
若激发磁场的源是面电流σ(x’),则面电流元σ(x’) dS’ 在 场点所激发的磁场为: 算符

第二节 电流和磁场 (10) 三、磁场的散度、旋度和安倍环路定理
r r r 1 r ? = ? 3 , ? × J ( x′) 0 . = r r r r r Q ? × ? f ) ??) f + ? ? × f ( = ( × 公式见附录 (I.20) r r 1 r r 1 r r 1 ? r r 1? ∴ ? × ? J ( x′) ? = (? ) × J ( x′) + ? × J ( x′) = (? ) × J ( x′) r r? r r ?
1,磁场的散度 对 x 的微分算符,与 x’ 无关,可得:

r r r r r ? σ ( x′) × r dB( x ) = 0 dS ′ r3 4π

则面 S 内所有的电流所激发的磁感应强度为:

r r r r r ? σ ( x′) × r B( x ) = 0 ∫ dS ′ 4π S r 3

细导线上恒定电流的线电流元 Idl 激发的磁场为: r 则闭合回路 L 内所有的电流所激发的磁感应强度为:

r r r ? I dl × r dB( x ) = 0 3 4π r

r r ? B( x ) = 0 4π

r r I dl × r ∫L r 3

r r 毕-萨 B ( x ) = ? 0 定律 4π

r r r ?0 r r 1 J ( x′) × r ∫V r 3 dV ′ = ? 4π ∫V J ( x′) × (? r )dV ′ r r ? J ( x′) ? ? r r 1? dV ′ = 0 ∫ ? × ? J ( x′) ? dV ′ = 0 ? × ∫V 4π r 4π V r? ?

r r r ? J ( x′) B( x ) = 0 ? × ∫ dV ′ V 4π r r r ? 0 J ( x′) r r dV ′ , 则: B = ? × A 令: A = 4π ∫V r
因为矢量场的旋度必为无源场,即

第二节 电流和磁场 (11)

第二节 电流和磁场 (12)
3,磁场的旋度 前面已得到: B = ? × A

r

r

r r r ? ? ? × A = 0 , ? ? B( x ) = 0
2,电磁通量
S

r r r r r ∴ ? × B( x ) = ? × (? × A) = ?(? ? A) - ? 2 A r r r ? r J ( x′) dV ′ 先计算 ? ? A , 又 A = 0 ∫ 4π V r
r r ?0 r r 1 ? J ( x′) ? ??? ∫V ? r ? dV ′ = 4π ∫V J ( x′) ? ? r dV ′ ? 1 1 ( r 的函数对 x 微分与对 x’微分仅差一负号) Q ? = ??′ r r r ? ?? A = 0 4π

(1) 电流激发的磁感应强度 B 对任何闭合曲面的总通量为 零。 静磁场 B 为无源场,磁力线总是闭合的, (2) 它不仅适用于静磁场,它也适用于变化磁场。

r r r r r Φ = ∫ B( x ) ? dS = ∫ ? ? B( x ) dV
V

(

)

=0

r ? ∴ ?? A = ? 0 4π



V

r r 1 J ( x′) ? ?′ dV ′ r

第二节 电流和磁场 (13) r r r ? 1 ? ? A = ? 0 ∫ J ( x′) ? ?′ dV ′ 4π V r r r r 公式见附录 (I.19) Q ?(? f ) (??) f + ? ? ? f ? r = ? r r r J ( x′) r r 1 1 = J ( x′) ? ?′ + ?′ ? J ( x′) ∴ ?′ ? r r r r r r r ? J ( x′) ? ? ?0 1 ∴ ? ? A = ? 0 ∫ ?′ ? ? ? dV ′ + ∫V r ?′ ? J ( x′) dV ′ V 4π 4π ? r ? r r r r ′) r ? 0 1 ? J (x =? 0 ∫ ? dS ′ + ∫V r ?′ ? J ( x′) dV ′ = 0 S r 4π r 4π 故 ?? A = 0
右边第一项:由于积分区域包括所有 电流在内,没有电流通过闭合区域的 界面 S ,因而这面积积分为零。 右边第二项:由恒定电流的 r 连续性,?′ ? J ( x′) = 0 , 因 此这积分也等于零。

第二节 电流和磁场 (14)
r s J ( x′) ∫V r dV ′ r r r ? ? J ( x′) ? ?0 r r 2 1 J ( x′)? dV ′ ∴ ?2 A = 0 ∫ ?2 ? ? dV ′ = V 4π ∫V r 4π ? r ? 1 r r 利用 ? 2 = ?4πδ ( x - x ′) 可得: rr r r r r r r ? 2 A = ? ? 0 ∫ J ( x′) ? δ ( x - x′)dV ′ = ? ? 0 J ( x )
再计算 ? 2 A , Q A =

r

r

?0 4π

r r r r r ∴ ? × B( x ) = ? × (? × A) = ?(? ? A) - ? 2 A r r r = ?? 2 A = ?0 J ( x )
r r

V

(1) 磁场为有旋场,但在 J (x ) 无分布区域,场的旋度为零; (2) 稳恒电流是激发静磁场的涡旋源。

第二节 电流和磁场 (15)
3,磁场的旋度方程

第二节 电流和磁场 (16) 四、安培作用力定律
----



L

r r r r r r B( x ) ? dl = ∫ ? × B( x ) ? dS ′
S

通电物体在磁场中受力大小的实验定律

= ?0 ∫

S

r r r J ( x ) ? dS ′ = ? 0 I

线电流元: 体电流元:

(1) 其中 L 为任一闭合曲线,I 为通过 L 所围成曲面的总 电流,不通过 L 所围成曲面的电流对环量没有贡献。 (2) 磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围成的电流 I 成正比。 (3) 此方程也称为安倍环路定理。仅由它还不足以确定一个 矢量,当电流分布具有明显的对称性时,也可直接计算出 磁场的分布。

r r r dF = ( Jd V ) × B

r r r dF = Id l × B
r r

在闭合回路中: F = 或

∫ Id l × B r r r F = ∫ J × B dV
L
V

r

第二节 电流和磁场 (17)
2,两电流元之间的相互作用力 r r r r 它们相距 r12 = r21 设两个体电流元分别为 J1 d V1 ,J 2 d V2 , r r r r r J1 d V1 在 r12 处产生的磁感应强度为:dB1 = ? 0 J1dV13 × r12 r r12 4π J 2 d V2 受到的作用力: r r r r r r ? J 2 × ( J1 × r12 ) dF12 = J 2 dV2 × dB1 = 0 dV1dV2 3 4π r12

第二节 电流和磁场 (18)
将Ampere’s law与Coulomb’s law比较,可看到电流元之间 的相互作用力:a) 也服从平方反比律; b) 方向不具有有心性质; c) 不满足Newton第三定律。 3,两通电闭合导线回路之间的相互作用力

r r r r r ? J dV × r J 2 d V2 在 r21 处产生的磁感应强度为:dB2 = 0 2 2 12 3 4π r21 r r r r J1 d V1 受到的作用力:
r r r ? J1 × J 2 × r21 dF21 = J1dV1 × dB2 = 0 dV1dV2 3 4π r21

(

)

在一般情况下

r r dF12 ≠ dF21

r r r d F12 = I 2 d l2 × dB1 r r r r r r ? ? 0 I1 d l1 × r12 ? ? 0 I1 I 2 d l2 × d l1 × r12 = I 2 d l2 × ? ?= r3 4π r3 ? 4π r r r12 r12 r ? r r ?II (d l2 ? r12 ) d l1 ? (d l2 ? d l1 ) r12 F12 = 0 1 2 ∫ ∫ 4π L2 L1 r3 r r r12 ?II (d l2 ? d l1 ) r12 =? 0 1 2 ∫ ∫ 3 4π L2 L1 r12

(

)

第二节 电流和磁场 (19) 五、总结
静磁场的基本方程:

第二节 电流和磁场 (20)
例题:电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内,求空间 各点的磁场强度,并由此计算磁场的旋度。 解:在与导线垂直的平面上作一半径为 r 的圆,圆心在导线 轴上。由对称性,在圆周各点的磁感应强度有相同数值,并 沿圆周环绕方向。 I 1) 先求磁感应强 r 度: r > a 时,通过圆内的总电流为 I, (1) 当 r r 用安培环路定理得: B ? dl = 2π r B = ? I

r ??B = 0 微分形式: ? × B = ? 0 J , r r r r r r r 积分形式: ∫ B( x ) ? dl = ?0 J , ∫S B( x ) ? dS = 0
L

磁场为无源有旋场,磁力线总是闭合的,它的激发源是 流动的电荷(电流) 。



L

0

因此可以得出:

r ? I r B = 0 e? 2π r
式中

r e?

为圆周环绕方向单位矢量。

第二节 电流和磁场 (21)
(2) 若 r < a,则通过圆内的总电流为

第二节 电流和磁场 (22)
2

应用安培环路定理得

r r πr I r I′ = J ? S = π r2J = I = π a2 a2
2

(2) 若 r < a, B =

r ? Ir r r r r2 B ? d l = 2π r B = ? 0 I ′ = ? 0 2 I ? B = 0 2 e? ∫L 2π a a

2) 用柱坐标的公式求磁场的旋度 (1) 当 r > a 时,B =

r

?0 I r r e? = B? e? , Br = 0 , Bz = 0 2π r
r

? 0 Ir r r e? = B? e? , Br = 0 , Bz = 0 2π a 2 r ?B r 1 ? r 由附录 (I.36) 可得: ? × B = ? ? er + (rB? )ez , r ?r ?z 1 ? ? 0 Ir 2 r ( )e z , = r ?r 2π a 2 r ?I r = 0 2 ez = ? 0 J πa
r

由附录 (I.36) 可得: ? × B = ?

?B? r 1 ? r er + (rB? )ez , r ?r ?z

某点邻域上的磁感应强度的旋度只和该点上的电流密度有关。

=0

第二节 电流和磁场 (23)
练习题: 一个半径为 a 的通有稳恒电流为 I 的无限长圆柱体, 内有一半径为b的圆柱形空腔,空腔轴心 O′离开圆柱轴心O 的距离为 d 。求: (1)空间各点的磁场B;(2)空间各点处B的散度及旋度。 x2

第二节 电流和磁场 (24)
解:先将系统看成两个柱体,通过 电流密度大小相同而方向相反的电 流,其中半径为a 的柱体电流与原 电流同向。 对于大的圆柱体,安培环路定律: x2
r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

a
φ

a

o O′(c, 0)

φ

b

x1

r r ∫L Ba ? d l = ?0 I a =r2πRBa ?I ?I r ? Ba = 0 a , Ba = 0 a e? 2πR 2πR a2 I 2 = 2 2 I (i) 当 R > a 时, I a = π a π (a 2 - b 2 ) (a - b ) R2 I 2 = 2 2 I (ii) 当 R < a 时,I a = π R π (a 2 - b 2 ) (a - b )

o O′(c, 0)

x1

第二节 电流和磁场 (25)
r ?I r Ba = 0 a e? 2πR
? ?0 a 2 I r e? ? 2 2 ? 2π (a ? b ) R =? ? 0 RI r ? e ? 2π (a 2 ? b 2 ) ? ? ( R > a) ( R < a)
a
φ

第二节 电流和磁场 (26)
x2
r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

所求磁场为:

x2

r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

r r r B = Ba + Bb

o O′(c, 0)

x1

r = (? Ba sin ? + Bb sin ? ′) e1 r + ( Ba cos ? ? Bb cos ? ′) e2

a
φ

o O′(c, 0)

x1

区域 I, R > a ,

对于小的圆柱体,同理可得:

? ? 0b 2 I r e′ ?? 2 2 r ′ ? ? I r ? 2π (a ? b ) R Bb = ? 0 b e? ′ = ? ? 0 R′I r 2πR′ ?? e ? 2π (a 2 ? b 2 ) ? ′ ?

r B1 =

( R′ > b) ( R′ < b)

?? ?r a2 b2 ? e + + ??? 2 2 2 2? 1 2π (a ? b ) ?? x1 + x 2 ( x1 ? c) + x 2 ? ? ??

? 0I
2

2

? a2 x ( x1 ? c) ? r ? ? +? 2 12 ? ? e2 ? x1 + x 2 ( x1 ? c) 2 + x 2 ? ? 2 ? ? ? ?

第二节 电流和磁场 (27)
x2
r Ba
R

第二节 电流和磁场 (29)
r P( x )
r R′ Bb
b

区域 III, R′ < b ,

x2

r Ba
R

r P( x )
r R′ Bb
b

a
φ

r B3 =
x1

o O′(c, 0)

2π (a 2 ? b 2 )

? 0Id

r e2

a
φ

o O′(c, 0)

x1

区域 II, R′ > b ,R < a ,

r B2 =

?? ? r b2 ? ? x 2 e1 + ??? 1 + 2 2 2 2π (a ? b ) ?? ( x1 ? c) + x 2 ? ? ??

? 0I

对于磁场散度和旋度,直接运算有:

? b 2 ( x1 ? c) ? r ? ? + ? x1 ? ? e2 ? ( x1 ? c) 2 + x 2 ? ? 2 ? ? ? ?

r r r ? ? B1 = ? ? B2 = ? ? B3 = 0 r r ? × B1 = ? × B3 = 0

r ? × B2 =

π (a ? b )
2 2

?0 I

r r e2 = ? 0 J


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