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4-4参数方程和普通方程的互化



4.4.2 参数方程和普通方程的互化
学习目标: 1)掌握参数方程化为普通方程几种基本方法; 2)选取适当的参数化普通方程为参数方程; 学习重点、难点: 参数方程与普通方程的等价性;

创设情境
? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程

转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ?1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

知识点分析
1.参数方程和普通方程的互化:
(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程

? x ? a ? r cos? , 如:①参数方程 ? 消去参数? ? y ? b ? r sin ? .
可得圆的普通方程(x - a)2+(y - b)2=r2. ? ?x ? t , ②参数方程 ? (t为参数) ? ? y ? 2 t ? 4. 通过代入消元法消去参数t , 可得普通方程:y=2x - 4

(x≥0)

注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的
取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

例3:把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线?
? ?x= t ? 1 x= sin ? ? cos? (1)? (t为参数) (2)? (? 为参数). ? ? ? y ? 1? 2 t ? y ? 1 ? sin 2? 解: (1)因为x ? t ? 1 ? 1 所以普通方程是y ? ?2 x ? ( 3 x ? 1) 这是以(1, 1)为端点的一条射线(包括端点) ? (2)因为:x ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) 4 ? 所以x ? ? ? 2, 2 ? ?

?. 所以普通方程是x 2 ? y , x ? ? ? 2, 2 ? ?

y

? 2

o

2

x

所以与参数方程等价的 普通方程为 x 2 ? y , x ? [? 2 , 2 ]. 这是抛物线的一部分。

巩固练习
练习1、将下列参数方程化为普通方程:
? x ? 2 ? 3 cos? (1) ? ? y ? 3 sin ?

? x ? sin ? (2) ? ? y ? cos2?

(3)

x=t+1/t
y=t2+1/t2

步骤:(1)消参; (2)求定义域;
解答:(1)(x -2) 2+ y 2=9 (2)y =1- 2x 2(- 1≤x≤1) (3)x2- y=2(x≥2或x≤-2)

小结:
总结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见 方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数; 2.三角法:利用三角恒等式消去参数; 3.整体消元法:根据参数方程本身结构特征,从整体上消去;

化参数方程为普通方程为F(x,y)=0: 在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得 x、y的取值范围。

P26 练习:4(2)(4)
作业:4.(1)(3)

普通方程化成参数方程
x2 y 2 例4 求椭圆 ? ? 1的参数方程。 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;

(2)设y=2t,t为参数.

解:( 1)把x ? 3 cos ?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos ? { (?为参数) y ? 2 sin ?
2 2

x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x 2 ? 9(1 ? t 2 ), x ? ?3 1 ? t 2 x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 { x ? 3 1? t2 y ? 2t ( t为参数)和{ x ? ?3 1 ? t 2 y ? 2t
2 2

2

2

参数方程和普通方程的互化:
(2)普通方程化为参数方程需要引入参数
如:①直线L 的普通方程是2x - y+2= 0,可以化为参数方程

?x ? t, ( t为参数) ? ? y ? 2t ? 2.
②在普通方程xy=1中,可以化为参数方程

解:(1)将 x=t 代入 xy=1 得:t· y=1, 1 ∵t≠0,∴y= t , ? ?x=t, ∴? 1 (t 为参数,t≠0). y= t ? ?

②在普通方程xy=1中,令x = tan?,可以化为参数方程

1 (2)将 x=tan θ 代入 xy=1 得:y= . tan θ x=tan θ, ? ? kπ ? ∴ (θ 为参数,θ≠ ,k∈Z). 1 2 y= ? ? tan θ

练习2、:曲线y=x2的一种参数方程是( ).
2 ? x ? t ? A、 ? 4 y ? t ? ?

? x ? sin t B、 ? 2 y ? sin t ?

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

?x ? t D、 ? 2 y ? t ?

分析:

在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都

发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,

x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值 范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

[例 2]

将下列参数方程化为普通方程:
? ?x=5cos θ ;(2)? ? ?y=4sin θ-1

? ?x=t+1 t- 1 ? (1)? 2t ? y = 3 ? ? t -1 [思路点拨] y 表达式.

(θ 为参数).

t+ 1 (1)可采用代入法,由 x= 解出 t 代入 t- 1

(2)采用三角恒等变换求解.

[解]

t+ 1 x+1 (1)由 x= ,得 t= . t- 1 x-1
2

?x+1??x-1? 2t 代入 y= 3 化简得 y= (x≠1). t -1 3x2+1 x ? ? ?cos θ=5 ?x=5cos θ (2)由? 得? ? ?y=4sin θ-1 ?sin θ=y+1 4 ?
2 ? y + 1 ? x 2 2 ① +② 得 + =1. 25 16 2

① , ②

1 ? ?x=t+ , t 2.方程? 表示的曲线是( ? ?y=2 A.一条直线 C.一条线段 B.两条射线

)

解析:t>0 时

D.抛物线的一部分 1 x=t+ t ≥2

1 1 当 t<0,x=t+ t =-(-t+ )≤-2. -t 即曲线方程为 y=2(|x|≥2),表示两条射线.

答案:B

? ?x=sin θ-cos 3. 把参数方程? ? ?y=sin 2θ

θ,

(θ 为参数)化成普通方程

是________.
解析:将 x=sin θ-cos θ 两边平方得 x2=1-sin 2θ, 即 sin 2θ=1-x2,代入 y=sin 2θ,得 y=-x2+1. π 又 x=sin θ-cos θ= 2sin(θ- ),∴- 2≤x≤ 2, 4 故普通方程为 y=-x2+1(- 2≤x≤ 2).

答案:y=-x2+1(- 2≤x≤ 2)

? ?x=sin θ-cos 3. 把参数方程? ? ?y=sin 2θ

θ,

(θ 为参数)化成普通方程

是________.
解析:将 x=sin θ-cos θ 两边平方得 x2=1-sin 2θ, 即 sin 2θ=1-x2,代入 y=sin 2θ,得 y=-x2+1. π 又 x=sin θ-cos θ= 2sin(θ- ),∴- 2≤x≤ 2, 4 故普通方程为 y=-x2+1(- 2≤x≤ 2).

答案:y=-x2+1(- 2≤x≤ 2)

x ? 1? t 3、若已知直线的参数方程为{ ( t为参数) y ? 1? t x ? 2 cos? 求它与曲线{ (?为参数)的交点。 y ? 2 sin?

课堂小结
引入参数 普通方程 消去参数 参数方程

作业:

P26 5



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