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数学:2.3平面向量的基本定理及坐标表示 教案(新人教必修四).



2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 §2.3.1 平面向量基本定理
教学目的: (1)了解平面向量基本定理; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达 . 教学重点 :平面向量基本定理. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、 复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

?

? ?

(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ

?

?

?

?

?

? a =0
2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ;分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b 3. 向量共线定理

?

?

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? ?

?

?

向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使

?

?

? ? b =λ a .
二、讲解新课:
[来源:学科网]

平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a = λ 1 e1 +λ 2 e2 . 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

?

?

(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 三、讲解范例:
[来源:学科网]

?

例 1 已知向量 e1 , e2 例 2 如图

求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a ,

?

? ? ? AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD
例 3 已知 ABCD 的 两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是

任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 例4 (1) 如图,OA ,OB 不共线,AP =t AB (t?R)用 OA ,

OB 表示 OP .
(2)设 OA、 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且 OB

??? ?? ? ?

??? ? ??? ??? ? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.
例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的 实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线. 四、课堂练习: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e 2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R ) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

? ?

?

?

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

5.已知 λ1>0, 2>0, 1、 2 是一组基底, a =λ1e1+λ2e2, a 与 e1_____, 与 e2_________(填 λ e e 且 则 a 共线或不共线). 五、小结(略)

六、课后作业(略) : 七、板书设计(略) 八、课后记:

第 5 课时 §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为 基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj …………○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a ? ( x, y) …………○

?

?

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2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○式叫做向 量的坐标表示.与 a 相等的向量的坐标也为 ( x, y ) . . .......... 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置 由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也 就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯 一表示. 2.平面向量的坐标运算 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b

? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y 2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、j , ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj , ?a ? (?x, ?y) 则 即 三、讲解范例: 例 1 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标. 例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐

??? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使 这四点构成平行四边形四个顶点. 解:当平行四边形 为 ABCD 时,由 AB ? DC 得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为 DACB 时,得 D3=(?6, 0) 例 4 已知三个力 F1 (3, 4), 坐标. 解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0 得: (3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的

即: ?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

∴?

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 (?5,1)

四、课堂练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标 2
.

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD 是梯形. 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记:

第 6 课时 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量的坐标运算
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]

教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面 向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地,

i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .
2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、讲解新课:

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)

?

?

其中 b ? a .

? ?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 一个不为 0 (2)充要条件不能写成

?

∴x2, y2 中至少有

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?

?

?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

三、讲解范例:

例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同

?

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?

?

?

?

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∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x= 2

?

?

例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗?
[来源:学科网 ZXXK]

解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4 ×1=0 ∴ AB ∥ CD

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) , AB =(2, 4),2×4-2×6?0 ∴ AC 与 AB 不 平行 ∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 )? ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、 的方向分别与 x、 轴正方向相同且为单位向量). j y

AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为(
A.1,2 B.2,2 C.3,2

) D.2,4 . . .

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x=

五、小结 (略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记:



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