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【北师大版选修2-1】2015-2016学年高中数学 3.3.1 双曲线及其标准方程课件



§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 课程目标 1.理解并掌握双曲线的定义, 了解双曲线的焦点、焦距. 2.掌握双曲线的标准方程,能 利用定义求标准方程及分析 解决有关问题.进一步体会待 定系数法求轨迹方程及分类 讨论、数形结合的数学思想 方法的运用. 学习脉络 1 2 1.双曲线 定义→平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且 小于

|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两个焦点 之间的距离叫作双曲线的焦距. 名师点拨双曲线的定义与椭圆的定义的异同: (1)两者都是描述动点与两定点距离的关系,但有本质区别,双曲线是动 点到两定点距离的差的绝对值是常数,而椭圆则是动点到两定点距离之和 是常数; (2)a,b,c 之间的关系,双曲线与椭圆有区别,在椭圆中有 a2=b2+c2,而在双 曲线中有 c2=a2+b2,这些隐含条件在解题时一定不要混淆. 1 2 思考 1 如何理解双曲线的定义? 提示:(1)定义中有一个大前提是“平面内”,若去掉它,则轨迹就是空间 图形了,不属于高中研究知识. (2)定义中的关键词“小于|F1F2|”:若改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则 轨迹成为两条射线(以 F1,F2 为端点);若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变, 则这样的曲线不存在. (3)定义中的关键词“绝对值”:若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则点的 轨迹表示的只是一支(焦点在 x 轴上:左支或右支;焦点在 y 轴上:上支或下 支). (4)定义中的关键词“定值”:若“定值”等于 0,其余条件不变,则点的轨迹 是线段 F1F2 的中垂线. 1 2 2.双曲线的标准方程 1 2 名师点拨 1.在双曲线的标准方程中,可用 x2,y2 项的系数的 正负来判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上:焦点在系数为正项对应的坐 标轴上. 2.双曲线标准方程中的两个参数 a,b 是双曲线的定形条件,但不定位,双曲线 在坐标系中的位置由焦点来确定. 3.以坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为 Ax +By y2 =1(AB<0),即方程 B 2 2 x2 =1(AB<0)或 A + Ax +By =1 2 2 x2 或 A y2 + =1 B 表示双曲线的充要条件为 AB<0. 1 2 思考 2 双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,其标准方程的 形式能够统一吗? 提示:尽管双曲线与椭圆是两种不同的圆锥曲线,但其标准方程的形式 能够统一.只要仔细观察一下它们的标准方程的形式就不难看出.在方程 x2 a2 x2 a2 + y2 b y2 b 1 1 ? 2=1 中,只要令 2=m,- 2=n,则对应的方程为 a b b 2 2 =1 中 , 令 =m, =n, 则对应的方程为 mx +ny =1;同样地,在方程 2 2 2 1 a 1 mx2+ny2=1.由此可见,双曲 线与椭圆的标准方程都能够化为 mx2+ny2=1(对于焦点在纵轴上的椭圆与 双曲线的标准方程也不难得出相同的结论).因此,在具体问题中可以考虑 将所要求的椭圆或双曲线的标准方程设为 mx2+ny2=1 的形式,只是要注意 这个方程在表示椭圆与双曲线时,对于 m,n 的要求不一样. 1 2 x2 思考 3 双曲线a2 ? y2 b 2 =1(a>0,b>0)的焦点是(-c,0),(c,0),但焦点 x2 是(-c,0),(c,0)的双曲线的方程一定是 2


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