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云南省昆明市第三中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题



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昆明三中 2014—2015 学年度下学期高一年级期末考试

数 学 试 题
命题人 注意事项
1.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、学号、考场号、座位号等信息填写清楚。 2.第 I 卷答题区域使用 2B 铅笔填涂,第 II 卷答题区域用黑色碳素笔书写,字体工整,笔迹 清楚,按照题号顺序在各题目的答

题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷 上答题无效。 3.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄皱,第 I 卷答题区域修改时用橡皮擦擦干净,第 II 卷答题区域 修改禁用涂改液及涂改胶条。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回,试卷由考生妥善保管。

昆明第三中学

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 100 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题共 36 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题, 每小题 3 分,共 36 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列 ?an ? 中, a5 ? 15,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为 A. 30 B. 45 C. 60 D. 120

2.若直线 a ∥直线 b,且 a ∥平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 A.一定平行 B.不平行 C.平行或相交 D.平行或在平面内 3.已知 x ? ( ? A.
7 24

?
2

, 0) , cos x ?
B. ?
7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
C.
24 7

) D. ?
24 7

4.一个球的体积等于其表面积,那么这个球的半径为 A.

1 2
0

B.1
0 0

C.2
0

D.3

5.设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a

6 ,则 a, b, c 大小关系是 2
D. a ? c ? b

6.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于 A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3

高一数学试卷第 1 页

7.在等比数列 an 中, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A.7 B.5 C. ? 5 D. ?7

? ?

8.已知圆锥高为 h,底面圆半径、锥高、母线长构成等比数列,则圆锥的侧面积是 A. ? h

1 3

2

B. ?h

1 2

2

C. ? h

2

D. 2?h

2

9.函数 y ? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 的图象的一个对称中心是 A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. ( ?

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3

, ? 3)

10.设等比数列 an 的公比 q ? 1 ,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? qn ? k ,则 k ? A.2 B.1 C.0 D. ?1

? ?

11.已知两条直线 m , n 和两个平面 ? , ? ,下面给出四个命题: ① ? ? ? ? m , n ? ? ? m ∥ n 或 m 与 n 相交; ②? ∥ ? , m ?? , n ? ? ? m ∥ n ; ③ m ∥ n , m ∥? ? n ∥? ; ④ ? ? ? ? m , m ∥ n ? n ∥ ? 且 n ∥ ? .其中正确命题的序号是 A.① 12.已知 tan(? ? B.①④ C.④ D.③④

?

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 ? ) ? ? ,且 ? ? ? ? ,则 ? ? 4 2 2 sin(? ? ) 4
B. ?

A.

2 5 5

3 5 10

C. ?

2 5 5

D. ?

3 10 10

高一数学试卷第 2 页

昆明三中 2014—2015 学年度下学期高一年级期末考试

数 学 试 题
第 II 卷(非选择题共 64 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把答案填在题中横线上。
13. cos2 660? 的值等于 .

14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此 几何体的体积是

cm .


3

15.等差数列 ?an ? 中,若 a15 ? 8 , a60 ? 20 ,则 a75 ? 16.已知等腰三角形的底边长为 6,一腰长为 12,则它的 外接圆半径为 . 17.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,如果 Sm?1 ? ?2 ,

Sm ? 0 , Sm?1 ? 3 ,则 m ?



三、解答题:本大题共 5 小题;共 49 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
18. (本小题满分 8 分) (Ⅰ)给定线段 AB ? 4 ,用斜二测画法作正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1; (Ⅱ)设 P 是棱 A1B1 上一点, PB1 ?

1 A1 B1 ,求多面体 P ? BCC1B1 的体积. 4

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) (? ? 0 , ? 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

?? ?

?
2

) 的图象关于直线 x ?

?
3

?
2

] 时,求函数 y ? f ( x) 的最大值和最小值.

高一数学试卷第 3 页

20. (本小题满分 10 分)

M , E , F , N 分别是棱 A1B1 , B1C1 , 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

C1D1 , A1D1 的中点.
求证: (Ⅰ) E , F , B , D 四点共面; (Ⅱ)平面 AMN ∥平面 EFDB .

21. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

22. (本小题满分 11 分) 正项数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

n ?1 * ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N , 2 2 (n ? 2) an
5 . 64

都有 Tn ?

高一数学试卷第 4 页

昆明三中 2014—2015 学年度下学期高一年级期末考试
数学参考解答及评分标准
说明: 一、 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果 考生的解法与本题解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基础运算。每小题 3 分,满分 36 分. 1.C 2.D 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.C 9.B 10.D 11.A 12.C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 3 分,满分 15 分. 13.

1 2

14. 18

15.24

16.

8 5 5

17.5

三、解答题:本题考查推理证明能力和综合应用知识解决问题的能力。满分共 49 分.

18. (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)作图略 (Ⅱ) VP ? BCC1B1 ?

1 16 ? 4 ? 4 ?1 ? . 3 3

19. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题意, T ? ? ?

2?

由题意, f ( ) ? ? 3 ? sin( ∵?

?

?

? ? ? ? ? 2 ∴ f ( x) ? 3sin(2x ? ?) 2? 2? ? ? ? ? ) ? ?1 ? ? ? ? k? ? ? ? ? k ? ? 3 3 2 6

?
2

3

?? ?

?
2

∴ k ? 0 ,? ? ?

?

(Ⅱ) f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
6

)

6 ? ? ? 5? x ?[ 0 , ? ] ? ?2 x ? ? 2 6 6 6

6

∴? ? 2 ,? ? ?

?



∴?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

∴?

3 ? ? 3 sin(2 x ? ) ? 3 2 6 3 . 2

∴函数 y ? f ( x) 的最大值是 3 ,最小值是 ?
高一数学答案第 1 页

20. (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)连接 B1D1 . ∵ E , F 分别是棱 B1C1 , C1D1 的中点 ∴ EF ∥ B1D1 ∵ B1D1 ∥ BD ∴ EF ∥ BD

∴ E , F , B , D 四点共面. (Ⅱ)连接 MF ,则 MF ∥ A1D1 ∴ ADFM 是平行四边形 ∵ AD ∥ A1D1 ∴ AM ∥ DF ∴ AD ∥ MF ∴ AM ∥平面 EFDB

∵ M , N 分别是棱 A1B1 , A1D1 的中点 ∴ MN ∥ B1D1 ∵ B1D1 ∥ BD ∴ MN ∥ BD ∴ MN ∥平面 EFDB

∵ AM ? MN ? M

∴平面 AMN ∥平面 EFDB .

21. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理,求得 C ?

3? . 4

(Ⅱ)

cos(? ? A) cos(? ? B) 2 (cos ? cos A ? sin ? sin A)(cos ? cos B ? sin ? sin B) 2 ? ? ? 2 2 cos ? 5 cos ? 5

∴ (cos A ? tan ? sin A)(cos B ? tan ? sin B) ?

2 5
2

∴ cos A cos B ? sin( A ? B) tan ? ? sin A sin B tan

??

2 5

∵ sin( A ? B) ? sin C ? sin

3? 2 3 2 ? , cos A cos B ? 4 2 5



3 2 2 2 ? tan ? ? sin A sin B tan 2 ? ? 5 2 5

∵ cos( A ? B) ? cos C ? cos

3? 2 2 ∴ cos A cos B ? sin A sin B ? ? ?? 4 2 2
∴ sin A sin B ?



3 2 2 ? sin A sin B ? ? 5 2

2 10

高一数学答案第 2 页



3 2 2 2 2 ? tan ? ? tan 2 ? ? ? tan 2 ? ? 5 tan ? ? 4 ? 0 5 2 10 5

∴ tan ? ? 1 或 tan ? ? 4 .

22. (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ) Sn 2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ? [Sn ? (n2 ? n)](Sn ? 1) ? 0 ∵ {an } 是正项数列 ∴ Sn ? 0 ∴ Sn ? 1 ? 0 ∴ Sn ? (n2 ? n) ? 0 ∴ Sn ? n2 ? n ∴ {an } 是等差数列,且

?d ?1 ? ?d ? 2 ?2 ?? ? ?a ? d ? 1 ?a1 ? 2 1 ? ? 2

∴ an ? 2n .

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 n ?1 n ?1 (n ? 2)2 ? n2 ? [ 2? ] ? ? 2 2 2 2 2 2 16 n (n ? 2) 2 (n ? 2) an (n ? 2) 4n 16n (n ? 2)

∴ Tn ?

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ??? ( 2 ? ) ? 2 ? 16 ? 1 3 2 4 3 5 4 6 n (n ? 1) ?

?

1 1 1 1 1 1 1 5 [ 2? 2? ? ] ? ? (1 ? ) ? 2 2 16 1 2 (n ? 1) (n ? 2) 16 4 64
5 . 64

* 即对于任意的 n ? N , 都有 Tn ?

高一数学答案第 3 页

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