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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 导数的概念及运算练习 理-课件



第二章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2015·赣州高三期末]已知 t 为实数,f(x)=(x -4)(x-t)且 f′(-1)=0,则 t 等于( A.0 C. 1 2
2 2

) B.-1 D.2

答案 C 解析 依题意得,f′(x)=2x(x-t)+(x

-4)=3x -2tx-4,∴f′(-1)=3+2t-4
2

1 =0,即 t= . 2

x2+a 3π 2.[2015·洛阳二练]曲线 f(x)= 在点(1,f(1))处切线的倾斜角为 ,则实数 a x+1 4
=( ) A.1 C.7 答案 C 2x?x+1?-?x +a? x +2x-a 解析 f′(x)= = 2 2, ?x+1? ?x+1? 3π 又∵f′(1)=tan =-1,∴a=7. 4 3.[2016·云南师大附中月考]曲线 y=a 在 x=0 处的切线方程是 xln 2+y-1=0,则
x
2 2

B.-1 D.-7

a=(
A. 1 2

) B.2 D.ln 1 2

C.ln 2 答案 A 解析 由题知,y′=a ln a,y′ 选 A.
x

|

x=0

1 =ln a,切线斜率为-ln 2=ln a,∴a= ,故 2
3 2

4.[2016·辽宁五校联考]已知 f(x)=x -2x +x+6,则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与 坐标轴围成的三角形的面积等于( A.4 C. 25 4
3 2

) B.5 D. 13 2

答案 C 解析 ∵f(x)=x -2x +x+6,∴f′(x)=3x -4x+1,∴f′(-1)=8,切线方程为 y 5 -2=8(x+1),即 8x-y+10=0,令 x=0,得 y=10,令 y=0,得 x=- ,∴所求面积 S 4
1
2

1 5 25 = × ×10= . 2 4 4

5.[2015·郑州二检]如图,y=f(x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x =3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( A.-1 C.2 答案 B 1 1 解析 由图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- , 即 f′(3)=- .又 g(x)= 3 3 B.0 D.4 )

xf(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由图可知 f(3)=1,所以 g′(3)

? 1? =1+3×?- ?=0. ? 3?
6.[2015·平顶山模拟]点 P 是曲线 x -y-ln x=0 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x -2 的最小距离为( A.1 C. 5 2 ) B. 3 2
2

D. 2

答案 D 1 2 2 解析 将 x -y-ln x=0 变形为 y=x -ln x(x>0),则 y′=2x- .令 y′=1,则 x=

x

1 2 1 或 x=- (舍),可知函数 y=x -ln x 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x=1,纵坐标为 2

y=1.故切线方程为 x-y=0.则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离即切线 x-y=0 与 y=x-2
|0+2| 的两平行线间的距离,d= = 2. 2 7.[2016·昆明一中调研]若曲线 f(x)=acosx 与曲线 g(x)=x +bx+1 在交点(0,m) 处有公切线,则 a+b=( A.-1 C.1 答案 C 解析 依题意得, f′(x)=-asinx, g′(x)=2x+b, 于是有 f′(0)=g′(0), 即-asin0 =2×0+b,故 b=0,又有 m=f(0)=g(0),则 m=a=1,因此 a+b=1,选 C.
2
2

) B.0 D.2

8.[2016·大同质检]已知 a 为常数,若曲线 y=ax +3x-ln x 存在与直线 x+y-1=0 垂直的切线,则实数 a 的取值范围是( ) 1? ? B.?-∞,- ? 2? ? D.(-∞,-1]

2

? 1 ? A.?- ,+∞? ? 2 ?
C.[-1,+∞) 答案 A

1 2 解析 由题意知曲线上存在某点的导数为 1,所以 y′=2ax+3- =1 有正根,即 2ax

x

1 +2x-1=0 有正根.当 a≥0 时,显然满足题意;当 a<0 时,需满足 Δ ≥0,解得- ≤a<0. 2 1 综上,a≥- . 2 9.[2015·太原一模]函数 f(x)=xe 的图象在点(1,f(1))处的切线方程是________. 答案 y=2ex-e 解析 ∵f(x)=xe ,∴f(1)=e,f′(x)=e +xe , ∴f′(1)=2e, ∴f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 y-e=2e(x-1), 即 y=2ex -e. 10.设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c 是两两不等的常数),则 + =________. f′?b? f′?c? 答案 0 解析 ∵f(x)=x -(a+b+c)x +(ab+bc+ca)x-abc, ∴f′(x)=3x -2(a+b+c)x+ab+bc+ca,
2 3 2

x

x

x

x

a f′?a?



b

c

f′(a)=(a-b)(a-c), f′(b)=(b-a)(b-c), f′(c)=(c-a)(c-b).
∴ = =

a b c + + f′?a? f′?b? f′?c?
+ + ?a-b??a-c? ?b-a??b-c? ?c-a??c-b?

a

b

c

a?b-c?-b?a-c?+c?a-b? =0. ?a-b??a-c??b-c?

1 3 2 11.已知点 M 是曲线 y= x -2x +3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解 (1)y′=x -4x+3=(x-2) -1≥-1,
2 2

5 ∴当 x=2 时,y′=-1,y= , 3

3

? 5? ∴斜率最小的切线过?2, ?, ? 3?
斜率 k=-1, 11 ∴切线方程为 x+y- =0.即 3x+3y-11=0 3 (2)由(1)得 k≥-1,

? π ? ? 3π ? ∴tanα ≥-1,∴α ∈?0, ?∪? ,π ?. 2? ? 4 ? ?
ln x 12.设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线.

x

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 解 ln x 1-ln x (1)设 f(x)= , 则 f′(x)= .所以 f′(1)=1.所以 L 的方程为 y=x-1. 2

x

x

(2)证明: 令 g(x)=x-1-f(x), 则除切点之外, 曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(?

x2-1+ln x x>0,x≠1).g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x)= . x2
当 0<x<1 时,x -1<0,ln x<0, 所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x -1>0,ln x>0, 所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(? x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. [B 组·能力提升练] 1.[2015·洛阳期末]已知直线 m:x+2y-3=0,函数 y=3x+cosx 的图象与直线 l 相 切于 P 点,若 l⊥m,则 P 点的坐标可能是( 3π ? ? π A.?- ,- ? 2 ? ? 2 C.? ) B.?
2 2

?π ,3π ? ? 2 ? ?2

?3π ,π ? 2? ? 2 ?

π? ? 3π D.?- ,- ? 2? ? 2

答案 B 1 解析 因为直线 m 的斜率为- ,l⊥m,所以直线 l 的斜率为 2.因为函数 y=3x+cosx 2 的图象与直线 l 相切于点 P,设 P(a,b),则 b=3a+cosa 且 y′

|

x=a

=3-sina=2,所以

3π π 3π ?π ? sina=1, 解得 a= +2kπ (k∈Z), 所以 b= +6kπ (k∈Z), 所以 P? +2kπ , +6kπ ? 2 2 2 ?2 ?

?π 3π ? (k∈Z),当 k=0 时,P? , ?,故选 B. 2 ? ?2
2.[2016·新乡质检]过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x -3x 的切线最多有( A.3 条 C.1 条 B.2 条 D.0 条
4
3

)

答案 A 解析 由题意得,f′(x)=3x -3,设切点为(x0,x0-3x0),那么切线的斜率为 k=3x0- 3,利用点斜式方程可知切线方程为 y-(x0-3x0)=(3x0-3)(x-x0),将点 A(2,1)代入可得 关于 x0 的一元三次方程 2x0-6x0+7=0.令 y=2x0-6x0+7,则 y′=6x0-12x0.由 y′=0 得
2 x0=0 或 x0=2.当 x0=0 时, y=7>0; x0=2 时, y=-1<0.所以方程 2x3 故 0-6x0+7=0 有 3 个解. 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2

过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x -3x 的切线最多有 3 条,故选 A. 3.[2015·石家庄一模]对于曲线 f(x)=-e -x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的 切线 l1,总存在过曲线 g(x)=ax+2cosx 上一点处的切线 l2,使得 l1⊥l2,则实数 a 的取值 范围为________. 答案 [-1,2] 解析 函数 f(x)=-e -x 的导数为 f′(x)=-e -1,设曲线 f(x)=-e -x 上的切点 为(x1, f(x1)), 则 l1 的斜率 k1=-ex1-1.函数 g(x)=ax+2cosx 的导数为 g′(x)=a-2sinx, 设曲线 g(x)=ax+2cosx 上的切点为(x2,g(x2)),则 l2 的斜率 k2=a-2sinx2.由题设可知 1 ,对? x1,? x2 使得 ex1+1
x x x x

3

k1·k2=-1,从而有(-ex1-1)(a-2sinx2)=-1,∴a-2sinx2=
等式成立,则有 y1=
? ?a-2≤0 ? ?a+2≥1 ?

1 的值域是 y2=a-2sinx2 值域的子集,即(0,1)? [a-2,a+2], ex1+1

,∴-1≤a≤2.
3 2 2

4.[2016·唐山一中月考]已知函数 f(x)=ax +3x -6ax-11,g(x)=3x +6x+12 和直 线 m:y=kx+9,且 f′(-1)=0. (1)求 a 的值; (2)是否存在 k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线?如果存 在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由已知得 f′(x)=3ax +6x-6a,
2

∵f′(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)存在.由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的切线,则设切 点为(x0,3x0+6x0+12). ∵g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为 y-(3x0+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将(0,9)代入切线方程,解得 x0=±1. 当 x0=-1 时,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9. 由(1)知 f(x)=-2x +3x +12x-11, ①由 f′(x)=0 得-6x +6x+12=0,解得 x=-1 或 x=2. 在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18; 在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. ②由 f′(x)=12 得-6x +6x+12=12,
2 2 3 2 2 2

5

解得 x=0 或 x=1. 在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11; 在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, ∴y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.

6



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