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宁夏银川一中2015届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)


宁夏银川一中 2015 届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? ?2}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | ?2 ? x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | ?2 ? x ? 1} ) D. y ? x 3 ? x 2

B) ? ( )

D. {x | x ? ?2}

2.下列函数中,在 x ? 0 处的导数不等于零的是( A. y ? x ? e ? x
? 1

B. y ? x 2 ? e x

C. y ? x(1 ? x) )

3.已知 a ? 3 3 , b ? log 2 A. a ? b ? c 4.曲线

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a )

f ( x) ? x3 ? x ? 2 在点 P 处的切线的斜率为 4,则 P 点的坐标为(
B. (1, 0) 或 (?1, ?4) C. (1,8)

A. (1, 0)

D. (1,8) 或 (?1, ?4) )

5.一元二次方程 x 2 ? 2 x ? a ? 0 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( A. a ? 0 B. a ? 0 C.

a ? ?1

D. a ? 1

x 6. 已知函数 f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) , 且 f (log 0.5 4) ? ?3 ,

则 a 的值为( A.

) B. 3 C. 9 D.

3

3 2

8. 已知奇函数 f ? x ? 在 ?? ?,0 ? 上单调递增,且 f ?2 ? ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) ? 解集是( A. (?1, 3)
x 2

f ( x ? 1) ? 0 的

) B. (?? ? 1) C. (?? ? 1) ? (3,??) D. ?? 1,1? ? ?1,3?

9.函数 y ? 2 ? x 的图象大致是( )

1

10.若方程 | x ? 4 x |? m 有实数根,则所有实数根的和可能是(
2

) D. ?4、 ? 6、 ?8

A. ?2、 ? 4、 ?6 11.当 0 ? x ?

B. ?4、-5、 ?6

C. ?3、 ? 4、 ?5 )

1 时, 4 x ? log a x ,则 a 的取值范围是( 2
B. ( 2 ,1) 2 C. (1, 2)

A.

(0,

2 ) 2

D. ( 2,2) )

12.当 x ? [?2,1] 时,不等式 ax 3 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2] 第Ⅱ卷

D. [?4, ?3]

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ,当 f ( x) 取最小值时, x =
x

. .

14.计算由直线 y ? x ? 4, 曲线 y ? 2 x 所围成图形的面积 S ?
2

15. 要制作一个容器为 4 m 3 ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平 方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 元) 16. 给出下列四个命题: ①命题 " ?x ? R, cos x ? 0" 的否定是 " ?x ? R, cos x ? 0" ; ②函数 f ( x) ? (单位:

ax ?1 (a ? 0且a ? 1) 在 R 上单调递减; ax ?1

③设 f ( x) 是 R 上的任意函数, 则 f ( x) | f (? x) | 是奇函数, f ( x) + f (? x) 是偶函数; ④定义在 R 上的函数 f ? x ? 对于任意 x 的都有 f ( x ? 2) ? ?

4 ,则 f ? x ? 为周期函数; f ( x)

⑤命题 p: ?x ? R ,x ? 2 ? lg x ;命题 q:?x ? R ,x 2 ? 0 。 则命题 p ? (?q ) 是真命题; 其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)。

三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

2

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?cx ? 1 ? ? ?2
? x c
2

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

?1

满足 f (c 2 ) ?

9 . 8

(1)求常数 c 的值; (2)求使 f ( x) ?

2 ? 1 成立的 x 的取值范围. 8

18. (本题满分 12 分) 已知命题 p:| 1 ?

x ?1 2 2 |≤ 2;命题 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) 。若 ?p 是 ?q 的 3

必 要 而 不 充 分 条 件 ,求实数 m 的取值范围。

19. (本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax 3 ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

( 1 ) 当 a ? ?2 时 , 求 函 数 f ( x) 的 极 值 ; ( 2 ) 当 a ? 2 时 , 讨 论 函 数 f ( x) 零 点 的 个 数 .

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1)(a ? 1) ,若函数 y ? g ( x) 图象上任意一点 P 关于原点的 对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f ( x) 的图象 (1)写出函数 g ( x) 的解析式; (2)若 x ? ?0,1? 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范围。 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x (a, b ? R ) .
2

(1)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ?2b 的大小.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延
3

长线上.

(1)若
2

EC 1 ED 1 DC 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB

(2)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF // CD . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取

? x ? 3 cos ? 相同的长度单位,建立极坐标系. 设曲线 C 参数方程为 ? ( ? 为参数),直线 l 的 ? ? ? y ? sin ?
极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 2 . 4 (1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

?

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3 x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3 x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1

? ,求 a 的值.

4

银川一中 2015 届高三第一次月考数学(理科)参考答案

18. 解 : 由 : | 1 ?
2

x ?1 |? 2 , 解 得 ? 8 ? x ? 4 , 记 A ? ?x | ?8 ? x ? 4? 3
2

由 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) , 得

? 1 ? m ? x ? ?1 ? m

记 B ? ?x | ?1 ? m ? x ? ?1 ? m, m ? 0? ∵ ?p 是 ?q 的 必 要 不 充 分 条 件 ,

∴ p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 , 即 A ? B ,又 m ? 0 , 则 只 需
?

? ?1? m ? 4 ? ?? 1 ? m ? ?8 ? m?0 ?

解 得 m ? 7 , 故 所 求 实 数 m 的 取 值 范 围 是 [7,??) .

19 .解 : f ?? x ? ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3(ax ? 2)( x ? 1)
2

5

20.解:(1)设 P ( x, y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的任意一点 ,则 P 关于原点的对称点 Q 的 坐标为 (? x,? y ) ∵已知点 Q 在函数 f ( x) 的图像上 ,即 ? y ? f (? x) ,而 f ( x) ? log a ( x ? 1) ∴ ? y ? log a (? x ? 1) 则 y ? ? log a (? x ? 1) 又 P ( x, y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点 ∴ y ? g ( x) ? ? log a (? x ? 1) =- log a (1 ? x) (2)当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) - log a (1 ? x) = log a 下面求当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? g ( x) 的最小值 令

1? x 1? x

1? x x ?1? 2 2 2 1? x ∵ x ? ?0,1? ,可得 ≥1, ? ? ?1 ? ? ?1 ? 1? x 1? x 1? x x ?1 1? x
6

又 a ? 1 则 log a

1? x ? log a 1 ? 0 1? x

∴ f ( x) ? g ( x) ? 0 ∴ 当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? g ( x) 的最小值为 0 又 当 x ? ?0,1? 时,总有 f ( x) ? g ( x) ? m ∴ m ? 0 所求 m 的取值范围: m ? 0

(2)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ,
2

得 2ax 2 ? bx ? 1 ? 0 , 显然,x1 ? 0, x2 ? 0

? b ? b 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 8a , x2 ? 由 ? ? b ? 8a ? 0 得 x1 ? 4a 4a
当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递减, 当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递增,

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 所 以 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? , ? ? 4a ? ?
综上所述 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ?0,?? ? 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ?

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ?

7

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? . ? ? 4a ? ?
(Ⅱ) 由 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得最小值,

? b ? b 2 ? 8a 由(Ⅰ)知, 是 f ? x ? 的唯一的极小值点, 4a


? b ? b 2 ? 8a ? 1 ,整理得 4a

2a ? b ? 1 即 b ? 1 ? 2a .
1 ? 4x x

令 g ? x ? ? 2 ? 4 x ? ln x , 令 g ?? x ? ? 0, 得 x ? 当0 ? x ? 当x?

则 g ?? x ? ?

1 , 4

1 时, g ?? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增; 4

1 时, g ?? x ? ? 0, g ? x ? 单调递减. 4
?1? ?4? 1 ? 1 ? ln 4 ? 0 , 4

因此 g ? x ? ? g ? ? ? 1 ? ln

故 g ?a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 23 解:⑴由 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 2 得 ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 ,

∴l : x ? y ? 4 ? 0
8

由?

? x2 ? x ? 3 cos ? 得C : ? y2 ? 1 3 ? ? y ? sin ?

⑵在 C :

x2 ? y 2 ? 1 上任取一点 P( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为 3
| 2sin(? ? ) ? 4 | 3 ≤3 2 . ………………7 分 2

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
∴当 sin(? ?

?

?

5 )= -1,即 ? ? ? ? 时, d max ? 3 2 .………………10 分 3 6

9


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