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1.2应用举例1



1.2

应用举例(1)

2016/9/27

问题提出

1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什 么?
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
2 2 2

c = a + b - 2ab cos C 2 2 2 a = b + c

- 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B
2016/9/27

2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些 类型的三角形? 正弦定理:一边两角或两边与对角; 余弦定理:两边与夹角或三边.

2016/9/27

3.在测量问题中,对于可到达的点之间 的距离,一般直接度量,对于不可到达 的两点间的距离,常在特定情境下通过 解三角形进行计算,我们将对这类问题 作些实例分析.

2016/9/27

2016/9/27

探究(一):不可到达点的距离测量

例1.如图,设A、B两点在河的两岸, 测量者在点A的同侧,在点A所在河岸边 选定一点C,若测出A、C的距离是55m, ∠BAC=51°,∠ACB=75°,如何求出A、 B两点的距离? B
A

55sin 75 AB ? ? 65.7 ? sin 54 2016/9/27

?

C

例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
解:如图,测量者可 以在河岸边选定两点 C、D,设CD=a, ∠BCA=α,∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠ADB=δ
A B

δ D

γ

a

β

α C

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
2016/9/27

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC ?中,应用正弦定理得 ?

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin ? ?180 ? ( ? ? ? ? ? ) ? ? sin( ? ? ? ? ? )
?

a sin ? a sin ? BC ? ? ? sin ? ?180 ? (? ? ? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ? ? )
计算出AC和BC后,再在?ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离

AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos?
2 2
2016/9/27

练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗?
解:在?ASB中,?SBA=115?, ?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile) sin 45? sin 45? 设点S 到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile) ? h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行 答:此船可以继续沿正北方向航行 2016/9/27

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m). (1)什么是最大仰角?

(2)例题中涉及一个怎样的三角
形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

C A
2016/9/27

B

已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC. 解:由余弦定理,得
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 ? AB ? AC ? cos A ? 1.952 ? 1.402 ? 2 ?1.95 ?1.40 ? cos 66? 20? ? 3.571 ? BC ? 1.89(m)

最大角度

答:顶杆BC约长1.89m。

C A

2016/9/27

B

1.2

应用举例(2)

2016/9/27

2016/9/27

探究(一):测量高度

思考1:设AB是一个底部不可到达的竖直 建筑物,A为建筑物的最高点,在水平面 上取一点C,可以测得点A的仰角,若计 算建筑物AB的高度,还需解决什么问题?
A

计算AC的长
C
2016/9/27

B

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑 物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识,只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角,就可以计算 D 出建筑物的高。所以应该设 G 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
2016/9/27

A

?

C

?

E B

H

例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,CD=a,测角仪 ? 中, 器的高是h.那么,在 ACD 根据正弦定理可得

A

a sin ? AC ? sin(? ? ? )

D G

?

C H

?

E
B

a sin ? sin ? AB ? AE ? h ? AC sin ? ? h ? ?h sin(? ? ? ) 2016/9/27

例4.如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角

? ? 54 0 40' , 在塔底
C处测得A处的俯 角? ? 50 01'. 已知铁 塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D(精确到1m).
分析:根据已知条件,应该设 法计算出 AB或AC的长 2016/9/27
D A C B

?
?

解:在⊿ABC中,∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理,
BC AB ? sin(? ? ? ) sin( 90? ? ? )
BC sin(90? ? ? ) BC cos ? 所以,AB ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

B C

?
?

解Rt?ABD, 得 BC cos ? sin ? BD ? AB sin ?BAD ? sin(? ? ? )

D

A

27.3 cos 50?1' sin 54? 40' ? sin( 54? 40' ? 50?1' ) ? 177 (m) CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
2016/9/27 答:山的高度约为 150米。

例5:如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析:要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件,可以计算出BC的长。

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解:在⊿ABC中, ∠A=15°,
∠C= 25° ?15°=10°.

根据正弦定理,

BC AB ? sin A sin C

AB sin A 5 sin 15 BC ? ? ? 7.4524(km). ? sin C sin 10
?

CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答:山的高度约为1047米。
2016/9/27

解斜三角形应用题的一般步骤是:
1、分析:理解题意,画出示意图 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这 些三角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解。

实际问题→数学问题(三角形) →数学问题的解(解三角形)→实际问题的解

2016/9/27



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