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等价转化思想方法



习题 1. 已知 f(x)=tgx,x∈(0,

π π ),若 x 1 、x 2 ∈(0, )且 x 1 ≠x 2 , 2 2
(94 年全国高考)

求证:

x1 ? x 2 1 [f(x 1 )+f(x 2 )]>f( ) 2 2

【分析】从问题着手进行思考,运用分析法,一步

步探求问题成立的充分条件。 【证明】

x1 ? x 2 1 [f(x 1 )+f(x 2 )]>f( ) 2 2

?

x1 ? x 2 1 [tgx 1 +tgx 2 ]>tg 2 2

?

1 sin x1 1 sin( x1 ? x 2 ) sin x 2 sin( x1 ? x 2 ) sin( x1 ? x 2 ) ( + )> > ? 2 cos x1 cos x 2 1 ? cos( x1 ? x 2 ) 2 cos x1 cos x 2 1 ? cos( x1 ? x 2 )

? 1+cos(x 1 +x 2 )>2cosx 1 cosx 2 ? 1+cosx 1 cosx 2 +sinx 1 sinx 2 >2cosx 1 cosx 2 ? cosx 1 cosx 2 +sinx 1 sinx 2 <1 ? cos(x 1 -x 2 )<1
由已知显然 cos(x 1 -x 2 )<1 成立,所以

x1 ? x 2 1 [f(x 1 )+f(x 2 )]>f( ) 2 2

习题 1.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻 译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( A.54 B.90 C.126 D.152 )

解析:由于五个人从事四项工作,而每项工作至少一人,那么每项工作至多两人,因为 甲、乙不会开车,所以只能先安排司机,分两类:①先从丙、丁、戊三人中任选一人开车; 再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作, 共有 C31C42A33 种. ② 先从丙、丁、戊三人中任选两人开车;其余三人从事其他三项工作,共有 C32A33 种.所以, 不同安排方案的种数是 C31C42A33+C32A33=126(种).故选 C. 习题 2.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天.若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排 方案共有( ) B.960 种 C.1 008 种 D.1 108 种

A.504 种

解析:①甲、乙排在相邻两天的情况有 A22A66 种; ②甲、乙排在相邻两天,且丙排在 10 月 1 日的情况有 A22A55 种; ③甲、乙排在相邻两天,且丁排在 10 月 7 日的情况有 A22A55 种; ④甲、 乙排在相邻两天, 且丙排在 10 月 1 日, 丁排在 10 月 7 日的情况有 A22A44 种; 所以甲、乙排在相邻两天,且丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日的情况有 A22A66 -A22A55-A22A55+A22A44=1 008(种).故选 C.



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