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陕西省师大附中11-12学年高一上学期期中试题数学



陕西师大附中 2011—2012 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试题
一、选择题(本题共12小题,每题4分,共48分) 1.已知集合 A ? ?x | ? 1 ? x ? 0 ? ,则正确的是 A. 0 ? A B. ?0 ? ? A C. ? ? A D. ?0 ? ? A

2.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程 f i ( x ) ( i ? 1, 2, 3, 4 )关于时间 x ( x ? 1 )的函 数关系是 f1 ( x )
? x , f 2( x ) ?2 x, f ( x) ? log 3
2 2

x f (4 x , )

2 ?

x

,

如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是 A. f1 ( x ) ? x 2 B. f 2 ( x ) ? 2 x C. f 3 ( x ) ? lo g 2 x
a,a

D. f 4 ( x ) ? 2 x

3.函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的反函数的图像过点 ? A. 2 B.
1 2

? ,则 a 的值
D. 3

C. 2 或

1 2

4.若函数 f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其 参考数据如下:
f (1) ? ? 2 f (1 . 375 ) ? ? 0 . 260 f (1 . 5 ) ? 0 . 625 f (1 . 4375 ) ? 0 . 162 f (1 . 25 ) ? ? 0 . 984 f (1 . 40625 ) ? ? 0 . 054

那么方程 x 3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0 . 1 )为 A. 1 . 2 5.设 f
:A? B

B. 1 . 3

C. 1 . 4

D. 1 . 5

是从集合 A 到集合 B 的映射,其中 A ? B ? ?? x , y ? x ? R , y ? R ? , 中元素 ?1, 3 ? 的原像是 C. ? 2 , ? 1 ?
2

f : ? x , y ? ? ? x ? y , x ? y ? ,那么 B

A. ? 4, ? 2 ?

B. ? ? 4, 2 ?
? 2m ?3

D. ? ? 2 ,1 ?

6.若幂函数 y ? ?m 2 ? 3 m ? 3 ?x m 值是 A. m
? ?2

的图像不过原点,且关于原点对称,则 m 的取

B. m

? ?1

C. m ? ? 2 或 m ? ? 1

D. ? 3 ? m ? ? 1

7.已知偶函数

f (x)

在区间 ? ? ? , 0 ? 上单调增加,则不等式 f ? 2 x ? 1 ? ? f ?3 ? ? 0 的解

集为 A. ? ? 2 ,1 ? B. ? ? 1, 2 ? C. ? ? ? ,1 ? D. ?1, ?? ?

8.已知一个函数的解析式为 y ? x 2 ,它的值域为 ?1, 4 ? ,则这样的函数的个数为 A.1 个 9. 0 . 3 0 .2 , 0 . 2 0 .3 , log B. 2 个
0 .3

C. 4 个

D.无数个

0 . 2 的大小关系为

A. 0 . 3 0 .2 ? 0 . 2 0 .3 ? log C. 0 . 2 0 .3 ? 0 . 3 0 .2 ? log 10.方程 lg x ? A. ( 0 ,1)
1 x

0 .3

0 .2 0 .2

B. log D. log

0 .3

0 .2 ? 0 .3 0 .2 ? 0 .2

0 .2

? 0 .2 ? 0 .3

0 .3

0 .3

0 .2

0 .3

0 .3

? 0 的解所在的区间为

B. ?1, 2 ?

C. ? 2 ,3 ?

D. ?3 , 4 ?

11.一水池有 2 个相同的进水口和 1 个出水口,一个进水口的进水量与时间的函数 关系如图甲, 出水口的出水量与时间的函数关系如图乙.某天 0 点到 6 点,该水池的 蓄水量如图丙.(至少打开一个水口). 给出以下 3 个 论断: ①0 点到 3 点 只进水不出 水; 点到 4 ②3 点不进水只出 水; ③4 点到 6 点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是 A.① B.①② C.①③ D.①②③ 12.已知函数 f ( x ) ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 5 ) 在 ( a , ?? ) 上是减函数,则 a 的取值范围是
2

A. ( ?? , 5 )

B. ( 3 , ?? )

C. ?3 , ?? ?

D. ?5 , ?? ?

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分) 13.已知 f ( x ) 是一次函数,满足 3 f ( x ? 1) ? 6 x ? 4 ,则 f ( x ) ? ________. 14.已知集合 A ? ? x
? 1 x ? log 3 ( x ? 1) ? 2 ? , B ? ? x ( ) ? 3 ? 3 ? ?

则 A ? C R B ? _____.

15.方程 4 x ? 3 ? 2 x ?1 ? 8 ? 0 的解集为______________. 16.若方程 x ? ( x ? 4 ) ? m 有 3 个解,则 m 的取值范围是_________.

三、解答题(17,18题每题10分,19,20,21题每题12分,共56分) 17.已知 T 是方程 x 2 ?
px ? q ? 0 ? p ? 4 q ? 0 ? 的解集, A ? ?1, 4 , 5 , 6 , 7 ? ,
2

B ? ?1, 2 , 3 , 5 ? ,且 T ? A ? ?

, T ? B ? B ,试求 p , q 的值.

18.(1)计算: 0 .0 6 4

?

1 3

? (?

1 8

5

) ?7
0

lo g 7 2

? 0 .2 5 2 ? 0 .5
30 .

?4



(2)已知 a ? lg 2 ,1 0 ? 3 ,用 a , b 表示 lo g 6
b

19.已知二次函数 y ? f ( x ) 与 g ( x ) ? x 2 的图像开口大小和方向都相同,且
y ? f ( x) 在 x ? m
3 ,求 m

处取得最小值为 ? 1 .若函数 y ? f ( x ) 在区间 ?? 2 ,1? 上的最大值为

的值.

20.一片森林原来面积为 a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减 少 p% ,10 年后森林面积变为 ,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的
2
1 4

a

,已知到今年为止,森林面积为

2 2

a

.

(1)求 p% 的值; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

21.已知 f ( x ) ? lo g a

x ?1 x ?1

( a ? 0 且 a ? 1 ).

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2)若 a ? 1 ,用单调性定义证明函数 f ? x ? 在区间 (1, ?? ) 上单调递减; (3)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 的定义域为 ? m , n ? 时,值域为

?1 ? lo g a n ,1 ? lo g a m ? ,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,则说明理由.

陕西师大附中 2011—2012 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试题答题纸
一、选择题(本题共12小题,每题4分,共48分) 题号 答案 二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分) 题号 答案 三、解答题(17,18题每题10分,19,20,21题每题12分,共56分) 17.已知 T 是方程 x 2 ?
px ? q ? 0 ? p ? 4 q ? 0 ? 的解集, A ? ?1, 4 , 5 , 6 , 7 ? ,
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

B ? ?1, 2 , 3 , 5 ? ,且 T ? A ? ?

, T ? B ? B ,试求 p , q 的值.

18.(1)计算: 0 .0 6 4

?

1 3

? (?

1 8

5

) ?7
0

lo g 7 2

? 0 .2 5 2 ? 0 .5
30 .

?4



(2)已知 a ? lg 2 ,1 0 ? 3 ,用 a , b 表示 lo g 6
b

19.已知二次函数 y ? f ( x ) 与 g ( x ) ? x 2 的图像开口大小和方向都相同,且
y ? f ( x) 在 x ? m
3 ,求 m

处取得最小值为 ? 1 .若函数 y ? f ( x ) 在区间 ?? 2 ,1? 上的最大值为

的值.

20.一片森林原来面积为 a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减

少 p% ,10 年后森林面积变为 ,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的
2
1 4

a

,已知到今年为止,森林面积为

2 2

a

.

(1)求 p% 的值; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

21.已知 f ( x ) ? lo g a

x ?1 x ?1

( a ? 0 且 a ? 1 ).

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2)若 a ? 1 ,用单调性定义证明函数 f ? x ? 在区间 (1, ?? ) 上单调递减; (3)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 的定义域为 ? m , n ? 时,值域为

?1 ? lo g a n ,1 ? lo g a m ? ,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,则说明理由.

陕西师大附中 2011—2012 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试题答案
一、选择题(本题共12小题,每题4分,共48分) 题号 答案 题号 答案 1 D 2 D 13
2x ? 2 3

3 B

4 C

5 C 14
(1,1 0 )

6 A

7 A

8 D 15

9 B

10 C

11 A 16
( ? 4, 0)

12 D

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分)

?1, 2 ?

三、解答题(17,18题每题10分,19,20,21题每题12分,共56分) 17..已知 T 是方程 x 2 ? p x ? q ? 0 ? p 2 ? 4 q ? 0 ? 的解集, A ? ?1, 4 ,5 , 6 , 7 ? ,
B ? ?1, 2 , 3 , 5 ? ,且 T ? A ? ? , T ? B ? B ,试求 p , q 的值.

解:由题意: T 中只有2个元素. 因为 T ? B ? B ,所以 T ? B ,又因为 T ? A ? ? ,所以 T ? ? 2, 3? 故 2 , 3 是方程 x 2 ? p x ? q ? 0 的两个根.
由韦达定理得: ?
?2 ? 3 ? ? p ? 2?3 ? q
? 1 3

,解得: p ? ? 5, q ? 6 .

18.(1)计算: 0 .0 6 4

? (?

1 8

5

) ?7
0

lo g 7 2

? 0 .2 5 2 ? 0 .5
30 .

?4



(2)已知 a ? lg 2 ,1 0 ? 3 ,用 a , b 表示 lo g 6
b

解: (1)原式 ?

10

1 5 1 ?4 5 1 ?1? 2 ? ( ) ? ( ) ? ?1? ? 4 4 2 2 2 2

(2)? 1 0 b ? 3,? b ? lg 3
? lo g 6 30 ? 1 2 lo g 6 3 0 ? 1 2 (1 ? lo g 6 5)

?

1 2

(1 ?

lg 5 lg 6

)?

1 2

(1 ?

1 ? lg 2 lg 2 ? lg 3

) ?

1 2

(1 ?

1? a a?b

)?

b ?1 2(a ? b)

19.已知二次函数 y ? f ( x ) 与 g ( x ) ? x 2 的图像开口大小和方向都相同,且
y ? f ( x) 在 x ? m
3 ,求 m

处取得最小值为 ? 1 .若函数 y ? f ( x ) 在区间 ?? 2 ,1? 上的最大值为

的值;
2

解:由题意得, f ( x ) ? ? x ? m ? ? 1 所以二次函数 y ? f ( x ) 的对称轴为 x ? m , 1)当 m ? ?
2

1 2

时,则 f (1) ? 3

? (1 ? m ) ? 1 ? 3 ,解得: m ? ? 1 或 m ? 3 (舍),所以 m ? ? 1 .

2)当 m ? ?
2

1 2

时,则 f ( ? 2) ? 3

? ( ? 2 ? m ) ? 1 ? 3 ,解得: m ? 0 或 m ? ? 4 (舍),所以 m ? 0 .

综上, m 的值为 ? 1 或 0 . 20.一片森林原来面积为 a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减 少 p% ,10 年后森林面积变为 ,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的
2 a

1 4

,已知到今年为止,森林面积为

2 2

a

.

(1)求 p% 的值; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解: (1)由题意得: a (1 ? p% ) 1 0 ? 解得: p% ? 1 ? ( )
2
2 2
2 2 1
m

a 2

,即 (1 ? p % ) 1 0 ?

1 2



1

1 10

(2)设经过 m 年森林面积为

a

,则
1

a (1 ? p% )

m

?

a

, 即 ( ) 10 ? ( ) 2 ,
2 2

1

m 10

?

1 2

,解得 m ? 5

故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年,则 n 年后森林面积为
2 2 a (1 ? p% )
n



2 2

a (1 ? x )

n

≥ a ,即 (1 ? x ) n ≥
4

1

2 4



1 ( ) 10 2

n

≥( ) 2 ,
2

1

3

n 10



3 2

,解得 n ≤ 15

故今后最多还能砍伐 15 年. 21.已知 f ( x ) ? lo g a
x ?1 x ?1

( a ? 0 且 a ? 1 ).

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2)若 a ? 1 ,用单调性定义证明函数 f ? x ? 在区间 (1, ?? ) 上单调递减; (3)是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 的定义域为 ? m , n ? 时,值域为

?1 ? lo g a n ,1 ? lo g a m ? ,若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,则说明理由.
解: (1)由
x ?1 x ?1 ? 0 得: x ? ? 1 或 x ? 1

.

所以,函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) . 又? f ( ? x ) ? lo g a
?x ?1 ?x ?1 ? lo g a x ?1 x ?1 ? ? lo g a x ?1 x ?1 ? ? f ( x)

? f ( x ) 为奇函数.

(2)任取 x1 , x 2 ? (1, ? ? ) ,且 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x 2 ? 0 . 因为
x1 ? 1 x1 ? 1 ? x2 ? 1 x2 ? 1 ? 2 ( x 2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0

所以

x1 ? 1 x1 ? 1

?

x2 ? 1 x2 ? 1

,又因为 a ? 1 ,所以 lo g a

x1 ? 1 x1 ? 1

? lo g a

x2 ? 1 x2 ? 1



故 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,所以,函数 f ? x ? 在区间 (1, ?? ) 上单调递减. (3)假设存在实数 a 满足题目条件. 由题意得: m ? 0, n ? 0 ,又? ? m , n ? ? ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? ) ,? 1 ? m ? n 又? 1 ? lo g a n ? 1 ? lo g a m ,? lo g a m ? lo g a n ,? a ? 1 . 故,由(2)得:函数 f ? x ? 在区间 (1, ?? ) 上单调递减. 所以,函数 f ? x ? 在区间? m , n ? 上单调递减.
m ? lo g a ? ? f ( m ) ? 1 ? log a m ? m 故, ? ,所以 ? ? f ( n ) ? 1 ? log a n ? lo g n a ? n ?
? m 2 ? (1 ? a ) m ? a ? 0 所以 ? 2 ? n ? (1 ? a ) n ? a ? 0
? m, n

?1 ?1 ?1 ?1

? lo g a ? lo g a

a m a n





是方程 x 2 ? (1 ? a ) x ? a ? 0 的两个不同的实根.

故,方程 x 2 ? (1 ? a ) x ? a ? 0 在区间 (1, ?? ) 上有两个不同的实根.
? ? ? (1 ? a ) 2 ? 4 a ? 0 ? 1? a ? 则? ? ?1 2 ? f (1) ? 0 ? ?

,解得: a ? 3 ? 2 2 .又? a ? 1 ,

所以, a ? 3 ? 2 2 所以,满足题目条件的实数 a 存在,实数 a 的取值范围是 (3 ? 2 2 , ? ? ) .



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