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河北省石家庄市2012届高三第一次模拟考试数学文试题


河北省石家庄市2012届高三第一次模拟考试数学文试题 河北省石家庄市2012届高三第一次模拟考试数学文试题 2012
注意事项: 1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名 、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动 ,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷(选择题60分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 ,B= ,则 =

A.

B.

C.

D.

2. 复数 A. i

= B. –i C. 1 –i D. 1+i )上单调递减的函数是

3. 下列函数中,既是奇函数,又在(0, A. B. C. D.

4. 一元二次方程 A. M<1 B . C.

有实数解的充要条件为 D. M>1 ,且 ,则点P的坐标为

5. 已知向量

A. (2,-4) B. ( 6. 函数.

-) C. (

) D. (-2,4)

为常数,

)的部分图象如

用心

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1

图所示,则f(0)= A. B. C. 0 D. ,则使 取得最小值时n的值为

7. 已知等差数列 A. 2 B. 4

的前n项和为 C. 5 D. 7

8. 已知实数%,y满足

则的最大值为

A. 9

B. 17

C. 5

D. 15

9. 已知程序框图如右图所示,当输入2与-2时,输出的值均为10,则输入1时输出的值为 A. 2 10. 已知A、 B 、 C 是球O的球面上三点,三棱锥O-ABC的高为 ,且 A. 11. 设F1,F2分别为双曲线 上,旦 的左、右焦点,点P在双曲线右支 B. ,AB=2,BC=4,则球O的表面积为 C. D. B. 4 C. 6 D. 8

,F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该

双曲线的离心率为 A. B. C. D.

12. 若实数X满足

其中

,则函数

的值域为

A.

B.

C.

D. 第II卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22 题?第:24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 抛物线的焦点坐标为.________ 14. 各项均为正数的等比数列{an}的前N项和为 ,则.S4=________

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2

15. 天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法进行试验,由 1、2、3、4表示下雨,由5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用计算器中的随机函数产生0?9之 间随机整数的20组如下: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为. ________ 16. 已知点P在曲线y=ex(e为自然对数的底数)上,点Q在曲线y=lnx上,则丨PQ丨的最小值是__ ______ 二、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 如图,已知 ΔABC 中, C的面积. ,AD=2DC, 求ΔABC

18. (本小题满分12分) 四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下,其中正视图是等边三角形,俯视图是直角梯形. (I)若F为AC的中点,当点M在棱AD上移动时, 是否总有BF丄CM,请说明理由. (II)求三棱锥的高.

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3

19. (本小题满分12分) 有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通 过这两条公路所用的时间互不影响. 据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表: 所用的时间(天数) 10111213 (I)为进行某项研究,从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆. (i) 若用分层抽样的方法抽取,求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆; (ii) 若从(i)的条件下抽取的6辆汽车中,再任意抽取两辆汽车,求这两辆汽车至少有一辆 通过公路1的概率. (II)假设汽车4只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车1只能在约定日期的前12天 出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车4和汽车S应如何选

所用的时间(天数 ) 通过公路1的频数 通过公路2的频数

10

11

12

13

20 10

40 40

20 40

20 10

择各自的路径.

20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(-2,0)、B(2,0),M是动点,且 直线MA与直线MB的斜率之积为 (I)求曲线C的方程; (II)过定点T(-1,0)的动直线l与曲线C交于P,Q两点,若 ,证明: 为定 ,设动点M的轨迹为曲线C.

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4

值.

21. (本小题满分12分) 已知函数 (I )若函数 (II)若 (e为自然对数的底数). 有极值,求实数a的取值范围; ,求证:当x>0时,

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 已知ΔABC中AB=AC,D为ΔABC外接圆劣弧 ),延长BD至E,延长交BC的延长线于F . (I )求证: ; 上的点(不与点A、C重合

( I I )求证:AB.AC.DF=AD.FC.FB.

23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,取原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐

标方程为

,直线C2的参数方程为:

(t为参数)

(I )求曲线C1的直角坐标方程,曲线C2的普通方程. (II)先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 倍得到曲线C3

P为曲线C3上一动点,求点P到直线C2距离的最小值,并求出相应的P点的坐标.

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5

24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 解不等式:

2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 高三数学(文科答案) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1-5 ABCBC 6-10 ACBCC 11-12 BD

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

( 0, 4 )

14. 15

15. 0.25

16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解:因为 ∠BDA = 60 , ∠C = 30 ,
0 0

可知 BD = CD ,…………2 分 又 AD = 2 DC , 所以在 ?ABD 中,

( 3)

2

= BD 2 + (2 BD) 2 ? 2 × BD × 2 BD cos 600 …………4 分

解得 BD = 1, ………………6 分 所以 AC 边上的高 h = 1× sin 60 =
0

3 , ……………8 分 2

则 S ?ABC =

1 ? AC ? h …………………10 分 2

1 3 3 = × 3× = 3. 2 2 4

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6

所以 ?ABC 的面积为

3 3 .…………………12 分 4

18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)总有 BF ⊥ CM 理由如下: 取 BC 的中点 O ,连接 AO , 由俯视图可知, AO ⊥ 面BCDE , CD ? 面BCDE , 所以 AO ⊥ CD ……………………2 分 又 CD ⊥ BC ,所以 CD ⊥ 面 ABC , 故 CD ⊥ BF . 因为 F 是 AC 的中点,所以 BF ⊥ AC .…………………4 分 又 AC I CD = D 故 BF ⊥ 面 ACD ,

A M F E D

CM ? 面 ACD ,所以 BF ⊥ CM . ……………………6 分 1 (Ⅱ) (Ⅰ) 由 可知,AO ⊥ 面BCDE , ?CDE = ? CD ? BC = 2 , S 2
又在正 ? ABC 中, AO =

B

O

C

3,

所以

1 1 2 3 V?A?CDE = S ?CDE ? AO = ? 2 ? 3 = , ……………………8 分 3 3 3 5, 5,

在 Rt ?ABE 中, AE =

在直角梯形 BCDE 中, DE = 在 Rt ?ACD 中, AD = 2 2 , 在 ?ADE 中, 可求 S ?ADE =

1 1 ?1 ? ? AD ? DE 2 ? ? AD ? = × 2 2 × 3 = 6 , ………10 分 2 2 ?2 ?

2

设三棱锥 C ? ADE 的高为 h , 则 V?C ? ADE =

1 6 ? 6 ?h = h, 3 3

又 V?A?CDE = V?C ? ADE ,

可得

6 2 3 h= ,解得 h = 2 . 3 3
……………………12 分

所以,三棱锥 C ? ADE 的高为 2 .

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7

19.解: (Ⅰ) (i)公路 1 抽取 6 × 公路 2 抽取 6 ×

20 = 2 辆汽车, 20 + 40

40 = 4 辆汽车.……………………2 分 20 + 40

(ii) 通过公路 1 的两辆汽车分别用 A1 , A2 表示,通过公路 2 的 4 辆汽车分别用

B1 , B2 , B3 , B4 表示,
任意抽取 2 辆汽车共有 15 种可能的结果:

( A1 , A2 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,( A1 , B3 ) ,( A1 , B4 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , B2 ) ,( A2 , B3 ) ,( A2 , B4 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B4 , B1 ) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , B4 ) , ( B3 , B4 ) ,………………………4 分
其中至少有 1 辆经过公路 1 的有 9 种, 所以至少有 1 辆经过 1 号公路的概率 (Ⅱ)频率分布表,如下: 所用时间 公路 1 的频率 公路 2 的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1 ………………………………8 分 设 C1 , C2 分别表示汽车 A 在前 11 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙; D1 , D2 分别表 示汽车 B 在前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙.

3 .…………………6 分 5

P(C1 ) = 0.2 + 0.4 = 0.6


,

P(C2 ) = 0.1 + 0.4 = 0.5

.

汽车 A 应选择公路 1. …………………………10 分 ,

P( D1 ) = 0.2 + 0.4 + 0.2 = 0.8


P( D2 ) = 0.1 + 0.4 + 0.4 = 0.9 ,

汽车 B 应选择公路 2.…………………………12 分

20.解: (Ⅰ)设动点 M ( x, y )( x ≠ 2) ,则 k MA =

y y , k MB = ,……………2 分 y+2 x?2

1 y y 1 Q kMA k MB = ? ,∴ ? =? , 4 x+2 x?2 4

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8



x2 + y 2 = 1 ( x ≠ ±2 ).…………………4 分 4
3 3 ), Q(?1, ? ) , 2 2

(Ⅱ)当 l 的斜率不存在时, P ( ?1, 若 S (?

uur uuu 33 r 17 , 0) , SP ? SQ = .………………6 分 8 64
k ≠ 0 ,联立方程组

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y = k ( x + 1) ,

? y = k ( x + 1) ,消去 y 得 (1 + 4k 2 ) x 2 + 8k 2 x + 4k 2 ? 4 = 0 , ? 2 2 ?x + 4 y = 4
? 8k 2 , x1 + x2 = ? ? ? 1 + 4k 2 设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) ,则 ? ………………8 分 4k 2 ? 4 ?x x = . ? 1 2 1 + 4k 2 ? uur uuu r 17 17 Q SP = ( x1 + y1 ), SQ = ( x2 + , y2 ) . 8 8

uur uuu r 17 17 2 17 17 2 SP ?SQ = x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 2 + y1 y2 = x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 2 + k 2 ( x1 x2 + x1 + x2 + 1) 8 8 8 8
17 17 2 2 = (1 + k ) x1 x2 + (k + )( x1 + x2 ) + k + 2 , 8 8
2 2

(1 + k 2 )(4k 2 ? 4) = + 1 + 4k 2 = = ?4(1 + 4k 2 ) 17 2 + 2 1 + 4k 2 8

(k 2 +

17 )(?8k 2 ) 17 2 8 + k 2 + 2 ……………10 分 1 + 4k 2 8

33 .…………………12 分 64 2e x 2e x (1 + ax 2 ? 2ax) / ,可得 f ( x) = ,………………….2 分 1 + ax 2 (1 + ax 2 ) 2

21.解:(Ⅰ) 由 f ( x ) =

依题意,需方程 1 + ax ? 2ax = 0 在 x ∈ R 上有两个不等实根,
2

用心

爱心

专心

9

则: ?

?a ≠ 0
2 ?? = 4 a ? 4 a > 0

,…………………4 分

解得: a > 1, 或a < 0 . (Ⅱ)若 a = 1 , f ( x) =

……………………5 分

2e x 1 + x2

,

∴ f ( x) ?

2 x 2 ? mx + 2 2e x ? 2 x 2 + mx ? 2 = , 1 + x2 1+ x2

设 h( x) = 2e x ? 2 x 2 + mx ? 2 ,

h / ( x ) = 2e x ? 4 x + m = g ( x ) , g / ( x ) = 2e x ? 4 ,
令 g / ( x) = 0 , 得 x = ln 2 . 当 x ∈ ( ?∞, ln 2) 时, 当 x ∈ (ln 2, +∞) 时, ………………………7 分

g / ( x) < 0 , g ( x) 单调递减; g / ( x) > 0 , g ( x) 单调递增;
,

∴ g ( x ) min = g (ln 2) = 4 ? 4 ln 2 + m ∴ h / ( x ) ≥ 4 ? 4 ln 2 + m

,…………………9 分

∵ m > 4(ln 2 ? 1) ,∴ h / ( x ) ≥ 4 ? 4 ln 2 + m > 0 , ∴ h( x ) 在 (0,+∞) 上单调递增, ∴ h( x) > 0 , ∵ h(0) = 0 , ……………………………11 分

2e x ? 2 x 2 + mx ? 2 ∵1 + x > 0 , ∴ >0 1 + x2
2



∴ f ( x) ?

2 x 2 ? mx + 2 2e x ? 2 x 2 + mx ? 2 = >0, 1 + x2 1+ x2

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10

即 f ( x) >

2 x 2 ? mx + 2 1 + x2

.

……………………12 分

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:Q A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 ∴ ∠CDF = ∠ABC .………………2 分

Q AB = AC ∴∠ABC = ∠ACB 且 ∠ADB = ∠ACB , ∠EDF = ∠ADB = ∠ACB = ABC ,……………4 分 ∴ ∠CDF = ∠EDF .………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∠ADB = ∠ABF ,又Q ∠BAD = ∠FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似, AB AD ∴ = ∴ AB 2 = AD ? AF ,…………7 分 AF AB 又Q AB = AC , ∴ AB ? AC = AD ? AF , ∴ AB ? AC ? DF = AD ? AF ? DF 根据割线定理得 DF ? AF = FC ? FB ,……………9 分 AB ? AC ? DF = AD ? FC ? FB .……………10 分
23. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) ρ 2 = 2 ρ cos θ ,

x2 + y 2 = 2x ,

曲线 C1 的直角方程为 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 .………………2 分 曲线 C2 的普通方程为

x ? y +4=0 .…………………4 分

(Ⅱ)曲线 C3 的方程为

x2 + y 2 = 1 ,……………………6 分 3
点 P 到直线的距离为

设点 P ( 3 cos θ , sin θ ),

d=

3 cos θ ? sin θ + 4 2

π 2 cos(θ + ) + 4 6 = ,………………8 分 2

由三角函数的性质知,当 θ +

π = π 时, d 取得最小值 2 , 6 5π 3 1 此时 θ = , 所以 P 点坐标为 ( ? , ) .……………………10 分 6 2 2

24. (本小题满分 10 分)

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11

解:当 x ? x <0,即 0<x<1 时,不等式成立;……………3 分
2

当 x ? x >0,即 x > 1或x<0 时, x ? x ≥ x .………………5 分
2

2

∴ x ? x 2 ≤ x ≤ x 2 ? x ,……………7 分
解得 x ≥ 2或x ≤ 0 , 所以 x < 0或x ≥ 2 .……………………8 分

∴ 原不等式的解集为 (?∞, 0) U (0,1) U [2, +∞ ) ………………10 分

用心

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12



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