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2015步步高理科数学第六章 6.3



数学

R A(理)

§6.3 等比数列及其前n项和
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一
常数(不为零)

,那么这个数列叫做

等比数列,这个常数叫

做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示 . 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an
n-1 a · q = 1 .

3.等比中项 若
G2=a·b (ab≠0) ,那么 G叫做 a与 b的等比中项 .
题型分类 思想方法 练出高分 基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
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4.等比数列的常用性质
n-m q (1)通项公式的推广:an=am· ,(n,m∈N*).

(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则
ak· al=am· an

.

(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ? ? ?1 ? ? ?an? ? 2 ? ?,{an}, {an· ? ?仍是等比数列. b } , n ? ? ?an ? ? ?bn? ?
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要点梳理
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5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当q≠1时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,
n q S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为

.
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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5
2

答案
(1)× (2) ×(3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

A D
2n+1-2

2n

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

利用等比数列的通项公式 与前n项和公式列方程 (组 ) 计算.

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

(1) 显 然 公 比 q≠1 , 由 题 意 得 ?a1q· a1q3=1 ? ?a1? 1-q3? ? 1-q =7 ?
?a1=4 ? 解得? 1 q= ? 2 ? (舍去),



(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类

?a1=9 ? 或? 1 q=- ? 3 ?

1 a1?1-q5? 4?1-25? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

(2) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为
?a q3- a q= 6 ? 1 1 ? q(q≠0),则 4 ? a q ? 1 - a1= 15

,两式

q 2 相除,得 = , 2 5 1+ q
即 2q2-5q+2=0, 解得 q=2 或 q 1 = . 2
? ?a1=1 所以? ? ?q=2

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类

?a1=-16 ? 或? 1 q = ? 2 ?

.

故 a3=4 或 a3=-4.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( B ) 33 17 C. D. 4 2

(2) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为
?a q3- a q= 6 ? 1 1 ? q(q≠0),则 4 ? a q ? 1 - a1= 15

,两式

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3
4或-4 =______.
基础知识 题型分类

q 2 相除,得 = , 2 5 1+ q 即 2q2-5q+2=0, 1 解得 q=2 或 q= . 2
?a = 1 ? 1 所以? ? ?q= 2

?a1=- 16 ? 或? 1 q= ? 2 ?

.

故 a3=4 或 a3=-4.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( B ) 33 17 C. D. 4 2

等比数列基本量的运算是 等比数列中的一类基本问 题,数列中有五个量 a1, n, q,an, Sn,一般可以 “知三求二”,通过列方 程 (组 )可迎刃而解 .
思想方法

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3
4或-4 =______.
基础知识 题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 A.9 B.10 (1)在等比数列{an}中, a1= 1,公比为 q,且 |q |≠ 1. ( C ) D.12 (B ) C.5 D.6 C.11

若 am= a1a2a3a4a5,则 m等于

(2)设 Sn为等比数列 {an}的前 n项和,已知 3S3= a4-2,3S2= a3- 2,则公比 q等于 A.3 B.4

q2· q3· q4=q10, 解析 (1)∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=q·
即 am=a1· q10,∴m=11.故选 C.
? ?3S3=a4-2, (2)因为? ? ?3S2=a3-2

a4 ①-②得 3a3=a4-a3,即 4a3=a4,则 q= =4. a3
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① ②

题型分类·深度剖析
(3)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3 1 =S6,则数列{ }的前 5 项和为 ( C ) an 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8 解析 (3)若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,
则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2. 1-q 1-q 1 1 n-1 n-1 n-1 故 an=a1q =2 , =(2) . an 1 1 所以数列{ }是以 1 为首项,以2为公比的等比数列, an

1 1×[1-?2?5] 31 其前 5 项和为 S5= = . 1 16 1- 2
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8= ________. (2)等比数列 {an}的首项a1=- S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8= ________. (2)等比数列 {an}的首项a1=- S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

利用等比数列的项的 性质和前n项和的性质 求解.

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中,

(1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=

2 2 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 a8,a3a5=a4,

=41,a4a8=5,则a4+a8= ________.

2 得 a2 4+a8=41.

因为 a4a8=5,
2 2 所以(a4+a8)2=a4 +2a4a8+a8

(2)等比数列 {an}的首项a1=- =41+2×5=51. S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 又 an>0,所以 a4+a8= 51. 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8= ________.

S10 31 = , a1 =- 1 知公比 S5 32 S10-S5 1 q≠ 1, =- . S5 32 (2) 由
由等比数列前 n 项和的性质知 S5, S10-S5, S15-S10 成等比数列,

(2)等比数列 {an}的首项a1=- 且公比为 q5, S10 1,前n项和为Sn,若 = 1 1 S5 故 q5=-32,q=-2. 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8=
51 ________.

S10 31 = , a1 =- 1 知公比 S5 32 S10-S5 1 q≠ 1, =- . S5 32 (2) 由
由等比数列前n项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10成等比数

(2)等比数列 {an}的首项a1=- 列,且公比为q5, S10 1,前n项和为Sn,若 = 1 1 5 S5 故 q =- , q =- . 1 32 2 31 - 2 ,则公比q=________. 32
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题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, (1)在解决等比数列的有关问题 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8=
51 ________.
时,要注意挖掘隐含条件,利 用性质,特别是性质“若m+n =p+q,则 am· an=ap· aq”,可 以减少运算量,提高解题速度 .

(2)等比数列 {an}的首项a1=- 意性质成立的前提条件,有时需 S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 要进行适当变形.此外,解题时 1 31 - 注意设而不求思想的运用. 2 ,则公比q=________. 32
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(2)在应用相应性质解题时,要注

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3= 5, a7a8a9= 10,则 a4a5a6等于 A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ( D.12 ) ( A )

(2)记等比数列 {an}的前n项积为Tn(n∈ N*),已知am-1· am+1- 2am= 0,且T2m-1= 128,则 m的值为 A.4 B.7 C.10

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且 S3= 8,S6= 7,则 a4+ a5+?+ a9= ________. 解析 (1)把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,知它们
分别是一个等比数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,这里的第 4 项刚好 是第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an}的各项均为正数,所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10=5 2.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3= 5, a7a8a9= 10,则 a4a5a6等于 A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ( A ) D.12 ( A )

(2)记等比数列 {an}的前n项积为Tn(n∈ N*),已知am-1· am+1- 2am= 0,且T2m-1= 128,则 m的值为 A.4 B.7 C.10

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且 S3= 8,S6= 7,则 a4+ a5+?+ a9= ________. (2)因为{an}是等比数列,所以am-1am+1=a2 m,
又由题中 am-1am+1-2am=0,可知 am=2.
m-1 由等比数列的性质可知前(2m-1)项积为 T2m-1=a2 , m

即22m-1=128,故m=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3= 5, a7a8a9= 10,则 a4a5a6等于 A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ( A ) D.12 ( A )

(2)记等比数列 {an}的前n项积为Tn(n∈ N*),已知am-1· am+1- 2am= 0,且T2m-1= 128,则 m的值为 A.4 B.7 C.10

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且 S3= 8,S6= 7,则 a4+ 7 -8 a5+?+ a9= ________.
(3)根据等比数列的性质,知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即8,7- 1 2 8,S9-7成等比数列,所以(-1) =8(S9-7).解得S9=7 8 .所以a4+a5 1 7 +?+a9=S9-S3=78-8=-8.
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题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知数列{an}的前n

项和为Sn,数