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2015步步高理科数学第六章 6.3



数学

R A(理)

§6.3 等比数列及其前n项和
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一
常数(不为零)

,那么这个数列叫做

等比数列,这个常数叫

做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示 . 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an
n-1 a · q = 1 .

3.等比中项 若
G2=a·b (ab≠0) ,那么 G叫做 a与 b的等比中项 .
题型分类 思想方法 练出高分 基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
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4.等比数列的常用性质
n-m q (1)通项公式的推广:an=am· ,(n,m∈N*).

(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则
ak· al=am· an

.

(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ? ? ?1 ? ? ?an? ? 2 ? ?,{an}, {an· ? ?仍是等比数列. b } , n ? ? ?an ? ? ?bn? ?
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要点梳理
知识回顾 理清教材

5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当q≠1时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,
n q S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为

.
练出高分

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5
2

答案
(1)× (2) ×(3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

A D
2n+1-2

2n

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

利用等比数列的通项公式 与前n项和公式列方程 (组 ) 计算.

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

(1) 显 然 公 比 q≠1 , 由 题 意 得 ?a1q· a1q3=1 ? ?a1? 1-q3? ? 1-q =7 ?
?a1=4 ? 解得? 1 q= ? 2 ? (舍去),



(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类

?a1=9 ? 或? 1 q=- ? 3 ?

1 a1?1-q5? 4?1-25? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( 33 C. 4 ) 17 D. 2

(2) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为
?a q3- a q= 6 ? 1 1 ? q(q≠0),则 4 ? a q ? 1 - a1= 15

,两式

q 2 相除,得 = , 2 5 1+ q
即 2q2-5q+2=0, 解得 q=2 或 q 1 = . 2
? ?a1=1 所以? ? ?q=2

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3 =______.
基础知识 题型分类

?a1=-16 ? 或? 1 q = ? 2 ?

.

故 a3=4 或 a3=-4.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( B ) 33 17 C. D. 4 2

(2) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为
?a q3- a q= 6 ? 1 1 ? q(q≠0),则 4 ? a q ? 1 - a1= 15

,两式

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3
4或-4 =______.
基础知识 题型分类

q 2 相除,得 = , 2 5 1+ q 即 2q2-5q+2=0, 1 解得 q=2 或 q= . 2
?a = 1 ? 1 所以? ? ?q= 2

?a1=- 16 ? 或? 1 q= ? 2 ?

.

故 a3=4 或 a3=-4.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列,Sn为其前 n项 和.已知a2a4=1,S3=7,则 S5等于 15 31 A. B. 2 4 ( B ) 33 17 C. D. 4 2

等比数列基本量的运算是 等比数列中的一类基本问 题,数列中有五个量 a1, n, q,an, Sn,一般可以 “知三求二”,通过列方 程 (组 )可迎刃而解 .
思想方法

(2)在等比数列{an}中,若a4 -a2=6,a5-a1=15,则a3
4或-4 =______.
基础知识 题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 A.9 B.10 (1)在等比数列{an}中, a1= 1,公比为 q,且 |q |≠ 1. ( C ) D.12 (B ) C.5 D.6 C.11

若 am= a1a2a3a4a5,则 m等于

(2)设 Sn为等比数列 {an}的前 n项和,已知 3S3= a4-2,3S2= a3- 2,则公比 q等于 A.3 B.4

q2· q3· q4=q10, 解析 (1)∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=q·
即 am=a1· q10,∴m=11.故选 C.
? ?3S3=a4-2, (2)因为? ? ?3S2=a3-2

a4 ①-②得 3a3=a4-a3,即 4a3=a4,则 q= =4. a3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

① ②

题型分类·深度剖析
(3)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3 1 =S6,则数列{ }的前 5 项和为 ( C ) an 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8 解析 (3)若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,
则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2. 1-q 1-q 1 1 n-1 n-1 n-1 故 an=a1q =2 , =(2) . an 1 1 所以数列{ }是以 1 为首项,以2为公比的等比数列, an

1 1×[1-?2?5] 31 其前 5 项和为 S5= = . 1 16 1- 2
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8= ________. (2)等比数列 {an}的首项a1=- S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8= ________. (2)等比数列 {an}的首项a1=- S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

利用等比数列的项的 性质和前n项和的性质 求解.

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中,

(1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=

2 2 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 a8,a3a5=a4,

=41,a4a8=5,则a4+a8= ________.

2 得 a2 4+a8=41.

因为 a4a8=5,
2 2 所以(a4+a8)2=a4 +2a4a8+a8

(2)等比数列 {an}的首项a1=- =41+2×5=51. S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 又 an>0,所以 a4+a8= 51. 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8= ________.

S10 31 = , a1 =- 1 知公比 S5 32 S10-S5 1 q≠ 1, =- . S5 32 (2) 由
由等比数列前 n 项和的性质知 S5, S10-S5, S15-S10 成等比数列,

(2)等比数列 {an}的首项a1=- 且公比为 q5, S10 1,前n项和为Sn,若 = 1 1 S5 故 q5=-32,q=-2. 31 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8=
51 ________.

S10 31 = , a1 =- 1 知公比 S5 32 S10-S5 1 q≠ 1, =- . S5 32 (2) 由
由等比数列前n项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10成等比数

(2)等比数列 {an}的首项a1=- 列,且公比为q5, S10 1,前n项和为Sn,若 = 1 1 5 S5 故 q =- , q =- . 1 32 2 31 - 2 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】 (1)在等比数列{an}中, (1)在解决等比数列的有关问题 各项均为正值,且 a6a10+a3a5 =41,a4a8=5,则a4+a8=
51 ________.
时,要注意挖掘隐含条件,利 用性质,特别是性质“若m+n =p+q,则 am· an=ap· aq”,可 以减少运算量,提高解题速度 .

(2)等比数列 {an}的首项a1=- 意性质成立的前提条件,有时需 S10 1,前n项和为Sn,若 = S5 要进行适当变形.此外,解题时 1 31 - 注意设而不求思想的运用. 2 ,则公比q=________. 32
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(2)在应用相应性质解题时,要注

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3= 5, a7a8a9= 10,则 a4a5a6等于 A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ( D.12 ) ( A )

(2)记等比数列 {an}的前n项积为Tn(n∈ N*),已知am-1· am+1- 2am= 0,且T2m-1= 128,则 m的值为 A.4 B.7 C.10

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且 S3= 8,S6= 7,则 a4+ a5+?+ a9= ________. 解析 (1)把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,知它们
分别是一个等比数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,这里的第 4 项刚好 是第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an}的各项均为正数,所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10=5 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3= 5, a7a8a9= 10,则 a4a5a6等于 A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ( A ) D.12 ( A )

(2)记等比数列 {an}的前n项积为Tn(n∈ N*),已知am-1· am+1- 2am= 0,且T2m-1= 128,则 m的值为 A.4 B.7 C.10

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且 S3= 8,S6= 7,则 a4+ a5+?+ a9= ________. (2)因为{an}是等比数列,所以am-1am+1=a2 m,
又由题中 am-1am+1-2am=0,可知 am=2.
m-1 由等比数列的性质可知前(2m-1)项积为 T2m-1=a2 , m

即22m-1=128,故m=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3= 5, a7a8a9= 10,则 a4a5a6等于 A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 ( A ) D.12 ( A )

(2)记等比数列 {an}的前n项积为Tn(n∈ N*),已知am-1· am+1- 2am= 0,且T2m-1= 128,则 m的值为 A.4 B.7 C.10

(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且 S3= 8,S6= 7,则 a4+ 7 -8 a5+?+ a9= ________.
(3)根据等比数列的性质,知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即8,7- 1 2 8,S9-7成等比数列,所以(-1) =8(S9-7).解得S9=7 8 .所以a4+a5 1 7 +?+a9=S9-S3=78-8=-8.
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题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知数列{an}的前n

项和为Sn,数列{bn}中,b1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1= (1)由 an+Sn= n及an+1+ Sn+1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 n+ 1转化成an与 an+1的递推关 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

系,再构造数列{an-1}.

(2)由cn求an再求bn.

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知数列{an}的前n

(1)证明 ∵an+Sn=n,




项和为Sn,数列{bn}中,b1= ∴an+1+Sn+1=n+1. a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 ②-①得 an+1-an+an+1=1, an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
基础知识 题型分类

∴2an+1=an+1,

∴2(an+1-1)=an-1,
an+1-1 1 ∴ =2, an-1

∴{an-1}是等比数列.

1 又 a1+a1=1, ∴a1= , 2
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

∵首项 c1=a1-1, 1 1 项和为Sn,数列{bn}中,b1= ∴c1=-2,公比 q=2. 又 cn=an-1, a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 1 1 ∴{cn}是以-2为首项, 以2为公比的

已知数列{an}的前n

an+Sn=n.

等比数列.

(1)设cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
基础知识 题型分类

(2)解 由(1)可知
?1?n =-?2? , ? ?

? 1? ?1?n-1 ? ? cn=?-2?· ? ? ?2?

?1? ∴an=cn+1=1-? ?n. ?2?

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

∴当n≥2时,bn=an-an-1=1 ? ?1 ? ? 项和为Sn,数列{bn}中,b1= ?1 ? ?1 ? ?1 ? - ? ? ? ? - ?n n 1 ? ?n 1 ? ?n 1 - -? - = - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 ?1 ? ?n =? ? ? . an+Sn=n. ?2 ?
(1)设cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
基础知识 题型分类

已知数列{an}的前n

1 又b1=a1= 代入上式也符合, 2
?1? ?n ∴bn=? ? ? . ?2?

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知数列{an}的前n

项和为Sn,数列{bn}中,b1= 注意判断一个数列是等比数列 a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 的方法,另外第(2)问中要注意 an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

验证n=1时是否符合n≥2时的 通项公式,能合并的必须合并.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,有 a1+a2=S2=4a1+2.

∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
? ?Sn+1=4an+2, 又? ? ?Sn=4an-1+2,

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1, 所以 an+1-2an=2(an-2an-1).

∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,
故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
(2)由(1)知bn=an+1-2an=3· 2n-1,
an+1 an 3 所以 n+1- n=4, 2 2 an 1 3 故{ n}是首项为2,公差为4的等差数列. 2
an 1 3 3n-1 n-2 所以 n=2+(n-1)· = ,得 a = (3 n - 1)· 2 . n 4 4 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例:(5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q 的取值范围为 __________________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例:(5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q 的取值范围为 __________________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

本题易忽视q的范围,由于等比数列求和公式中分两种情况q =1和q≠1,而本题未说明q的范围,求解时应分类讨论,而 a1?1-qn? 不能直接利用公式Sn= . 1- q

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例:(5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q 的取值范围为 __________________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

因为{an}为等比数列,Sn>0,可以得到 a1=S1>0,q≠0,

a1?1-qn? 当 q=1 时,Sn=na1>0; 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q

1-qn 即 >0(n=1,2,3,?),上式等价于不等式组 1-q
?1-q<0, ? ? n ? 1 - q <0, ?

(n=1,2,3,?),



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例:(5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q (-1,0)∪(0,+∞) 的取值范围为 __________________.

易 错 分 析
? ?1- q>0, 或? (n= 1,2,3,?). n ? ?1- q >0,

解 析

温 馨 提 醒



解①式得q>1,解②式,由于n可为奇数,可为偶数, 得-1<q<1.
综上,q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例:(5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q (-1,0)∪(0,+∞) 的取值范围为 __________________.

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

a1?1-qn? a1-anq 在应用公式Sn= 或Sn= 求和时,应注意公式的 1-q 1-q 使用条件为q≠1,而当q=1时,应按常数列求和,即 Sn=na1. 因此,对含有字母参数的等比数列求和时,应分 q=1和q≠1两 种情况进行讨论,体现了分类讨论思想 .
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思想方法·感悟提高
1.已知等比数列{an} 1 2 (1)数列{c· an}(c≠0),{|an|},{an},{ }也是等比数列. an (2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1.

方 法 与 技 巧

2.判断数列为等比数列的方法 an+1 (1)定义法: =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*)? an an 数列 {an}是等比数列;也可用 =q(q 是不等于 0 an-1 的常数,n∈N*,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的 本质是相同的,其区别只是 n 的初始值不同. 2 * (2) 等比中项法: an +1 = an an+ 2(anan +1an + 2≠0 , n∈N ) ?数列{an}是等比数列.
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思想方法·感悟提高

1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况.

失 误 与 防 范

2.由 an+1=qan, q≠0, 并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证 a1≠0.

3.在运用等比数列的前 n 项和公式时, 必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论, 防止因忽略 q=1 这一特殊情形而 导致解题失误.

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1.(2012· 安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数, 且a3a11=16,则log2a10等于 A.4 B.5 C.6 D.7 ( B )

解析 利用等比数列的性质和通项公式求解.
2 ∴ a 7=16. ∵a3· a11=16,

又∵等比数列{an}的各项都是正数,∴a7=4.

又∵a10=a7q3=4×23=25, ∴log2a10=5.故选B.
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2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于( A ) A.(-2)n- 1 C.(-2)n B.-(-2)n-1 D.-(-2)n

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

解析 ∵|a1 |=1, ∴a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2=a2· q3, ∴q3=-8,∴q=-2.

又 a5>a2,即 a2q3>a2, ∴a2<0. 而 a2=a1q=a1· (-2)<0, ∴a1=1. 故 an=a1· (-2)n 1=(-2)n 1.
- -

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3.(2013· 课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3= a2+10a1,a5=9,则 a1 等于 1 1 1 A. B.- C. 3 3 9 ( C ) 1 D.- 9

解析 设等比数列{an}的公比为q,
由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1, 即 a3=9a1,q2=9,

1 又 a5=a1q =9,所以 a1= . 9
4

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4.一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所 有项的积为 729,则该数列的项数是 A.13 B.12 C.11 D.10 ( B )

解析 设该等比数列为{an},其前n项积为Tn,
则由已知得 a1· a2· a3=3,an-2· an-1· an=9,(a1· an)3=3×9

an=3,又 Tn=a1· a2· ?· an-1· an, =33, ∴a1· Tn=an· an-1· ?· a2· a1,

∴T2 an)n, 即 7292=3n, ∴n=12. n=(a1·
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5.数列{an}中, 已知对任意 n∈N*, a1+a2+a3+?+an=3n-1,
2 3 2 则 a1 +a2 + a +?+ a 2 3 n等于 1 n n 2 A.(3 -1) B. (9 -1) 2

( B ) C.9 -1
n

1 n D. (3 -1) 4

解析 ∵a1+a2+?+an=3n-1,n∈N*, n≥2时,a1+a2+?+an-1=3n-1-1,
∴当n≥2时,an=3n-3n 1=2· 3n 1,
- -

又 n=1 时,a1=2 适合上式,∴an=2· 3n-1,
2 故数列{an }是首项为 4,公比为 9 的等比数列.
n 4 ? 1 - 9 ? 1 n 2 2 2 因此 a1+a2+?+an= =2(9 -1). 1-9

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6.等比数列{an}中,Sn表示前n项和,a3=2S2+1,a4=

3 2S3+1,则公比q为________.
解析 由a3=2S2+1,a4=2S3+1得

a4-a3=2(S3-S2)=2a3,

∴a4=3a3,
a4 ∴q= =3. a3
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7.(2012· 江西)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1 =1,则对任意的 n∈N*,都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5
11 =_____.
解析 利用“特殊值”法,确定公比.

由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,
则 a1(q2+q-2)=0.

由 q2+q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去),
a1?1-q5? 1-?-2?5 则 S5= = =11. 3 1-q
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8.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,

-2 Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为________.
解析 由已知条件得2Sn=Sn+1+Sn+2,

an+2 即2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1

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9.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求 {bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
?a +d=2 ? 1 则由已知得? ? ?a1+4d=8

.

∴a1=0,d=2.

∴an=a1+(n-1)d=2n-2.
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9.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求 {bn}的前n项和Tn.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,则由已知得q+q2=a4,
∵a4=6, ∴q=2 或 q=-3.

∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2.
b1?1-qn? 1×?1-2n? n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2
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10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y =3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列 {cn}的前 n 项和,求 Tn.
解 (1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,

∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N*),
an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,n>1,

a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列.
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10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y =3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列 {cn}的前 n 项和,求 Tn.
(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n, bn=log4an+1= n,cn=an+bn=4n 1+n,Tn=c1+c2+?+cn=(40+1)+


(41+2)+?+(4n-1+n)=(1+4+42+?+4n-1)+(1+2+ 4n-1 n?n+1? 3+?+n)= + . 3 2
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1.已知{an}是首项为 1 的等比数列, 若 Sn 是{an}的前 n 项和, 且 28S3 ?1 ? =S6,则数列? ?的前 4 项和为 ( C ) ?an? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解析 设数列{an}的公比为q.
当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84.
而 S6=6,两者不相等,因此不合题意. 28?1-q3? 1-q6 当q≠1时,由28S3=S6及首项为1,得 = . 1-q 1-q

解得 q=3.所以数列{an}的通项公式为 an=3n 1. ?1? 1 1 1 40 ? ? 所以数列 a 的前 4 项和为 1+3+9+27=27. ? n?


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2.(2013· 福建 )已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am(n-1)+1+ am(n-1)+ 2 +?+ am(n-1)+ m, cn=am(n-1)+ 1· am(n-1)+ 2· ?· am(n- 1)+m(m, n∈ N*),则 以下结论一定正确的是 A.数列 {bn}为等差数列,公差为qm B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m C.数列 {cn}为等比数列,公比为qm2 D.数列 {cn}为等比数列,公比为qmm
解析 ∵bn=am(n-1)(q+q2+?+qm)
bn+1 amn?q+q2+?+qm? amn ∴ = = =qm(常数). 2 m bn am?n-1??q+q +?+q ? am?n-1?

(

)

bn+1-bn不是常数.
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2.(2013· 福建 )已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am(n-1)+1+ am(n-1)+ 2 +?+ am(n-1)+ m, cn=am(n-1)+ 1· am(n-1)+ 2· ?· am(n- 1)+m(m, n∈ N*),则 以下结论一定正确的是 A.数列 {bn}为等差数列,公差为qm B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m C.数列 {cn}为等比数列,公比为qm2 D.数列 {cn}为等比数列,公比为qmm
又∵cn=(am(n-1)) q
m 1+2+?+m
m ?1 2

( C )

=(am(n-1) q

)m,

cn+1 amn m ∴ =( ) =(qm)m=qm2(常数). cn am?n-1? cn+1-cn不是常数. ∴选 C.

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3.在数列{an}中, 已知 a1=1, an=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2, ? n=1 ?1, an=? n-2 ? 2 × 3 , n≥2 * ? n∈N ),这个数列的通项公式是__________________________.

解析 由已知n≥2时,an=2Sn-1
当n≥3时,an-1=2Sn-2




an ①-②整理得 =3 (n≥3), an-1
?1, ? ∴an=? n-2 ? 2 × 3 , ?

n=1, n≥2.
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4.已知在正项数列 {an}中, a1=2,点 An( an , an+1)在双曲线 y2-x2= 1 1 上,数列 {bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn} 2 的前 n 项和 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列 {bn}是等比数列 .
(1)解 由已知点An在y2-x2=1上知,an+1-an=1,
∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列,

∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)证明 ∵点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上, 1 ∴Tn=-2bn+1,
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4.已知在正项数列 {an}中, a1=2,点 An( an , an+1)在双曲线 y2-x2= 1 1 上,数列 {bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn} 2 的前 n 项和 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列 {bn}是等比数列 .
1 ∴Tn-1=- bn-1+1(n≥2), 2
1 1 ①②两式相减得 bn=- bn+ bn-1(n≥2), 2 2



3 1 1 ∴ bn= bn-1,∴bn= bn-1(n≥2). 2 2 3
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4.已知在正项数列 {an}中, a1=2,点 An( an , an+1)在双曲线 y2-x2= 1 1 上,数列 {bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn} 2 的前 n 项和 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列 {bn}是等比数列 .
1 令n=1,得b1=-2b1+1,
2 ∴b1=3,

2 1 ∴{bn}是一个以3为首项,以3为公比的等比数列.
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3 5.(2013· 天津 )已知首项为 的等比数列 {an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈ N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列 . (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列 {Tn}的最大项的值与最小项的值 . Sn



(1)设等比数列{an}的公比为q,

因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,

所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,

a 1 即 4a5=a3, 于是 q2= 5= . a3 4
1 3 又{an}不是递减数列且a1=2, 所以 q=-2.
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3 5.(2013· 天津 )已知首项为 的等比数列 {an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈ N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列 . (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列 {Tn}的最大项的值与最小项的值 . Sn

3 ? 1?n-1 n-1 3 故等比数列{an}的通项公式为an=2×?-2? =(-1) ·n. 2 ? ?
1 ? 1 + ,n为奇数, ? 1?n ? 2n (2)由(1)得 Sn=1-?- ? =? 1 ? 2? ?1- n,n为偶数. 2 ?

当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,
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3 5.(2013· 天津 )已知首项为 的等比数列 {an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈ N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列 . (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列 {Tn}的最大项的值与最小项的值 . Sn

1 1 3 2 5 3 所以1<Sn≤S1= , 故 0<Sn-S ≤S1-S =2-3=6. 2 n 1 3 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大, 所以 =S2≤Sn<1, 4 1 1 3 4 7 故 0>Sn- ≥S2- =4-3=-12. Sn S2 7 1 5 * 综上,对于 n∈N ,总有- ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6 5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12
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