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2.2 空间向量的运算 课件 (北师大选修2-1)



知识点一 理解 教材新知 知识点二 知识点三 考点一 第 二 章 § 2 把握 热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 在射击时,为保证准确命中目标,要考虑风速、温度 等因素.其中风速对射击的精准度影响最大.如某人向正 北100 m远处的目标射击,风速为西风1 m/s. 问题1:射手能否直接瞄准目标射击? 提示:不能. 问题2:射手应怎样瞄准目标? 提示:瞄准方向为

北偏西一定角度. 问题3:问题2的原因是什么? 提示:在射击过程中,子弹运行的实际位移是子弹与风 位移的合成. 问题4:空间向量的加法与平面向量类似吗? 提示:类似,满足平行四边形法则. 空间向量的加减法 (1)空间向量的加法: 设 a 和 b 是空间两个向量,过一点 O 作 a 和 b 的 相等 向 量 OA 和 OB ,以 OA 、OB 为边作平行四边形,则对角线 OC 对 应的向量 OC 就是 a 与 b 的和,记作 a+b,如图. (2)空间向量的减法: a与b的差定义为a+(-b),记作 a-b ,其中 -b 是 b的相反向量. (3)空间向量加减法的运算律: ①结合律:(a+b)+c= a+(b+c) . ②交换律:a+b= b+a . a为一空间向量. 问题1:空间向量a与一个实数λ的乘积为λa,λa是向量 吗? 提示:是. 问题2:当λ=0时,λa=0对吗? 提示:不对,应为0. 问题3:若a与λa方向相反, λ的取值范围是什么? 提示:(-∞,0). 空间向量的数乘 (1)定义:与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积 向量 ,记作 λa. 仍然是一个 (2)向量λa与a的关系: λ的范围 λ> 0 λ= 0 λ< 0 方向关系 方向 相同 λa= 0 ,其方向是 任意的 方向 相反 模的关系 λa的模是a的 模的 |λ| 倍 (3)空间向量的数乘运算律: ①交换律:λa= aλ (λ∈R); λa+λb , ②分配律:λ(a+b)= (λ+μ)a=λa+μ a(λ∈R,μ∈R); ③结合律:(λμ)a= λ(μa) (λ∈R,μ∈R). (4)定理:空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件 是存在实数λ,使得 a=λb . 设 a,b,c 是任意空间向量,类比平面向量的数量 积,回答以下问题. 问题 1:由 a· b=0,一定能推出 a=0 或 b=0 吗? π 提示:不一定,也可能〈a,b〉= . 2 问题 2:由 a· b=a· c 能得到 b=c 吗? 提示:不一定. 问题 3:(a· b)c=a(b· c)成立吗? 提示:不一定. 空间向量的数量积 (1)空间两个向量a和b的数量积是一个 数 ,等于 b. |a||b|cos〈a,b〉,记作 a· (2)运算律: b=b· a; ①交换律: a· (b+c)=a· b+a· c ; ②分配律: a· b ③λ(a· b)= (λa)· (λ∈R). (3)常见结论: a ; ①|a|= a· b=0 ; ②a⊥b ? a· a· b ③cos〈a,b〉= |a||b| (a≠0,b≠0.) a (4)对任意一个非零向量, 把 |a| 叫作向量 a 的单位向量, 记作 a0.a0 与 a 同 方向. 与平面向量类似,空间向量的加减、数乘、数量积运算 有如下特点 1.空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则,结 果仍是一个向量. 2.空间向量的数乘运算,结果仍是一个向量,方向取决 于λ的正负,模为原向量模的|λ|倍.


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