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椭圆离心率的求法



专题四椭圆离心率的求法

1. 如图,



是椭圆

与双曲线

的公共焦点,



分别是 )





第二、四象限的公共点,若四边形

为矩形,则



的离心率是(

A.

B.

C.

D.

[答案] D

[解析] 设 所以 所以



,因为点 ,即 ,即

在椭圆 ,又四边形 ,

上, 为矩形,

解方程组 设双曲线

得 的实轴长为 , ,焦距为

, ,则

, ,

所以双曲线的离心率为

.

2.三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点 如果以 是(

是椭圆的一个短轴端点,

为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围 )

A. [答案] B

B.

C.

D.

[解析] 设椭圆 C 的方程为:

, 设直线





由题意可得直线 与直线 与椭圆相交所得的弦长相等,联立直线 与椭圆 C 的方程得,所

截得的弦长为

,用

代替 k 可得直线 与椭圆 C 的方程得,所截得的

弦长为

,两个弦长相等得

,欲使以



直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个, 只需使方程 有三个不同的正实根即可, 令 , 则 ,

又因为

,所以只需使

即可,整理得离心率的范围



又因为椭圆的离心率小于 1,所以

. ,椭圆

3. 在同一坐标系中,离心率为 的椭圆与离心率为 的双曲线有相同的焦点 与双曲线的一个交点与两焦点 (A) 2 (B)3 的连线互相垂直,则 (C) , 椭圆长轴长 ,① ,② , , (D) , 双曲线实轴长

(

)

[答案] A [解析] 依题意, 设焦距为 由椭圆的定义知 由双曲线的定义知 又 由① , ② 得

, 令点 在上去先的右支上,

,即

,故

.

4. 已知椭圆 范围为( A. B. C. D. [答案] A [解析] 椭圆 : ,解得 椭圆 的离心率 )

与双曲线

有相同的焦点,则椭圆 的离心率 的取值

与双曲线 ,

有相同的焦点,



,又 .



故椭圆 的离心率的取值范围是

5. 椭圆 + =1(a>b>0) 的右焦点为 F, 其右准线与 x 轴的交点为 A. 在椭圆上存在点 P 满足 线段 AP 的垂直平分线过点 F, 则椭圆离心率的取值范围是( A. [答案] D [解析]依题意, |PF|=|FA|, 而|FA|= -c, |PF|≤a+c, ∴ -c≤a+c, ∴a2≤ac+2c2. B. C. [ -1, 1) D. )

又 e= , ∴2e2+e≥1, ∴2e2+e-1≥0, 即(2e-1) (e+1) ≥0, 又 0<e<1, ∴ ≤e<1, 故选 D. 6.过椭圆 + =1(a>b>0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点, 若∠F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为( )

A. [答案] B

B.

C.

D.

[解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a, 又∠F1PF2=60°, ∴|PF1|= |PF2|, ∴ |PF2|=2a? |PF2|= a, |PF1|= a,

在 Rt△ PF1F2 中, |PF1|2+|F1F2|2= ∴ +(2c) 2= ? e= =

,

, 故选 B. · =0 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取

7.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点, 满足 值范围是( A. (0, 1) ) B. C.

D.

[答案] C [解析]设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a、b、c, ∵ · =0, ∴M 点的轨迹是以原点 O 为圆心, 半焦距 c 为半径的圆. 又 M 点总在椭圆内

部, ∴该圆内含于椭圆, 即 c<b, c2<b2=a2-c2? 2c2<a2. ∴e2= < , ∴0<e< . 故选 C.

8. 设 F1、 F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0) 的左、 右焦点, 若在其右准线上存在点 P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2, 则椭圆离心率的取值范围是( A. [答案] D [解析]若设 P 为右准线与 x 轴的交点, 可知 -c=2c, 即 e2= , 又 P 在准线上可知 -c≤2c, 所以离心率的取值范围是 9.设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1, F2. 若曲线 Γ 上存在点 P 满足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线 Γ 的离心率等于( ) A. 或 B. 或2 C. 或2 D. 或 . 故选 D. B. C. ) D.

[答案] A

[解析] 显然该曲线不可能是抛物线, 不妨从 Γ 是椭圆和双曲线两方面着手分析, 若 Γ 是椭圆, ∵|PF1|+|PF2|=2a, |F1F2|=2c, 从而 e= = = = ;同理可求得当 Γ 是双曲线时, e= ,

故选 A. 10.已知椭圆 E 上存在点 P,在 P 与椭圆 E 的两个焦点 F1、F2 构成的△ F1PF2 中,sin∠PF1F2∶sin∠F1PF2∶sin∠PF2F1=7∶10∶11,则椭圆 E 的离心率等于( A. B. C. D.

)

[答案] A [解析]由正弦定理得|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|=7∶10∶11. ∴椭圆的离心率 e= = = = . 故选 A.



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