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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 2.8 函数与方程限时集训 理



限时集训(十)

函数与方程

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)
? ?2 -1,x≤1, 1.已知函数 f(x)=? ?1+log2x,x>1, ?
x

则函数 f(x)的零点为(

/>)

1 A. ,0 2 C. 1 2
2

B.-2,0 D.0 )

2.(2012?湖北高考)函数 f(x)=xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 C.6
x

B.5 D.7 )

3.(2013?宁波模拟)函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1)
1

B.(-1,0) D.(1,2) )

?1?x 4.若 x0 是方程? ? =x 3 的解,则 x0 属于区间( ?2? ?2 ? A.? ,1? ?3 ? ?1 1? C.? , ? ?3 2?
x

?1 2? B.? , ? ?2 3? ? 1? D.?0, ? ? 3?

2 x 5.(2013?金华模拟)函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值 范围是( ) B.(1,2) D.(0,2) π x-log 1 x 的零点的个数是( 2
2

A.(1,3) C.(0,3) 6.函数 f(x)=3sin A.2 C.4

)

B.3 D.5

x 3 ?2 -x ? x≤0? , ? 7.已知函数 f(x)=??1?x ??3? -log2x? x>0? , ?? ?

若 x0 是 y=f(x)的零点,且 0<t<x0,则

1

f(t)(

) B.恒大于 0 D.不大于 0

A.恒小于 0 C.等于 0

8. (2013?洛阳模拟)若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), x∈[-1,1]时, (x) 且 f

?sin π x,x>0, ? =|x|, 函数 g(x)=? 1 ?-x,x<0, ?
的个数为( A.10 C.8 )

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点

B.9 D.7

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 : f(x + 4) = f(x) , f(x) =
?-x +1? -1≤x≤1? , ? ? ? ?-|x-2|+1? 1<x≤3? ,
2

若方程 f(x)-ax=0 有 5 个实根,则正实数 a 的取值范围是

________. 2 10.(2013?杭州七校联考)已知函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在区间为(k,k+1),

x

(k∈Z),则 k=________. 11.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 012 +log2 012x,则在 R 上,函 数 f(x)零点的个数为________.
x

?1?|x| 12.函数 y=? ? -m 有两个零点,则 m 的取值范围是________. ?2?
13.已知函数 f(x)=x+2 ,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,x3, 则 x1,x2,x3 的大小关系是________. 14.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x), f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x . 且 若在区间[-1,3]内, 函数 g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点, 则实数 k 的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x +(3a-2)?
2 2

x

x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴有且只有一个交点. 若存在, 求出 a 的范围; 若不存在,
说明理由.

2

16.若函数 F(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.

2

17.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

2

3

限时集训(十一) 函数模型及其应用

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.

如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图,若用黑点表 示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

2.(2013?济南模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为

L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆
车,则能获得的最大利润为( A.45.606 万元 C.45.56 万元 ) B.45.6 万元 D.45.51 万元
2

3.某地 2011 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m ,如果该城市人口平均每年增长 率为 1%.问为使 2021 年底该城市人均住房面积增加到 7 m ,平均每年新增住房面积至少为 (1.01 ≈1.104 6)( A.90 万 m C.85 万 m
2 10 2

) B.87 万 m D.80 万 m
2

2

2

4.某产品的总成本 y(单位:万元)与产量 x(单位:台)之间的函数关系式是 y=3 000+ 20x-0.1x (0<x<240,x∈N ).若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入 不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 C.150 台 ) B.120 台 D.180 台
2 *

5.某商店按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件.若要获得最大利润,则销售价应定 为每件( ) B.110 元 D.190 元

A.100 元 C.150 元

6.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价 20 元,羽毛球每个定价 5 元,该店
4

制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一个羽毛球;②按总价的 92%付款.现某人计划购 买 4 副球拍和 30 个羽毛球,两种方法中,更省钱的一种是( A.不能确定 C.②省钱 )

B.①②同样省钱 D.①省钱

7. 图形 M(如图所示)是由底为 1, 高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两个矩形所构成, 函数 S=S(a)(a≥0)是图形 M 介于平行线 y=0 及 y=a 之间的那一部分面积,则函数 S(a)的 图象大致是( )

8.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60°(如图),考 虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为 9 3平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米.要使 防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 的范围为( A.[2,4] B.[3,4] ) D.[3,5]

C.[2,5]

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2013?郑州模拟)

一高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞 ,满缸水从洞中流

5

出.若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图象可能是图中的________.

10.(2013?江南十校联考)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的 产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x- 25(x∈N ).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是______万元.
* 2

11.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为 ________(围墙厚度不计). 12.一块形状为直角三角形的铁皮,两直角边长分别为 40 cm、60 cm,现要将它剪成一 个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是________ cm . 13.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的, 其中 500 元给予九折优惠, 超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付 款________元. 14. 某人用 10 万元买了一辆小汽车用来跑出租, 已知这辆汽车从启用的第一年起连续使 用,第 n 年的保养维修费为 2 000 (n-1)元,使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合 算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止,则最佳报废时间为________年. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.(2013?嘉兴模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成 本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此 5 生产线年产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少?
2

x2

6

16.据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度

v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示, 过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l, 梯形 OABC
在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向, 且距 M 地 650 km, 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城. 如 果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.
7

17.某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这样的产 品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量为 t 1 ? t2?万元. 件时,销售所得的收入为?0.05t- 20 000 ? ? ? (1)该公司这种产品的年生产量为 x 件, 生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量

x 的函数为 f(x),求 f(x);
(2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大?

8

9

限时集训(十二) 变化率与导数、导数的计算

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)

1.(2013?永康模拟)函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f′(x)的图象可能是(

)

?π ? ? π? ?π ? 2.(2013?绍兴模拟)若函数 f(x)=cos x+2xf′? ?,则 f?- ?与 f? ?的大小关系 6? 3? ? ? ?3?
是( )

? π ? ?π ? A.f?- ?=f? ? ? 3? ?3? ? π ? ?π ? C.f?- ?<f? ? ? 3? ?3?
x

? π ? ?π ? B.f?- ?>f? ? ? 3? ?3?
D.不确定 )

3.若函数 f(x)=e cos x,则此函数的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( A.0° C.直角 B.锐角 D.钝角 ) D.e

4.已知 f(x)=x(2 011+ln x),f′(x0)=2 012,则 x0 等于( A.e
2

B.1
x

C.ln 2 )

5.曲线 y=xe +2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1 B.y=-3x-1 D.y=-2x-1

6.已知曲线 y=ln x,则过点(0,-1)的曲线的切线方程为( A.x-2y-2=0 B.x-y-1=0 C.x-y-1=0 或 x+y-1=0 D.2x-3y-3=0

)

7.(2013?临沂模拟)已知直线 y=kx 与曲线 y=ln x 有公共点,则 k 的最大值为(

)

10

A.1 C. 2 e

1 B. e D. 2 e
2

8.设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x),且 2f(x)+xf′(x)>x .下面的不等式在 R 上 恒成立的是( A.f(x)>0 C.f(x)>x ) B.f(x)<0 D.f(x)<x

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 函数 y=f(x)的图象在点 M(1,(1))处的切线方程为 y=ex-e, f′(1)=________. f 则 10. (2013?郑州模拟)已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x +3x-4, f′(1)=________. 则 11.已知三次函数 y=x -x -ax+b 在(0,1)处的切线方程为 y=2x+1,则 a+b= ________.
3 2 2

12.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x)在点 P 处 的切线方程是________. 13.(2013?杭州七校联考)过原点作曲线 y=e 的切线,则切线的方程为________. 14.若曲线 f(x)=ax +ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知函数 f(x)=
5

x

ax-6 的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0,求 x2+b

y=f(x)的解析式.

11

16.(2013?杭州模拟)如右图所示,已知 A(-1,2)为抛物线 C:y=2x 上的点,直线 l1 过点 A,且与抛物线 C 相切,直线 l2:x=a(a<-1)交抛物线 C 于点 B,交直线 l1 于点 D. (1)求直线 l1 的方程; (2)求△ABD 的面积 S1.

2

17.如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=e 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线 与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,

x

Q1;P2,Q2;?;Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,?,n).

12

(1)试求 xk 与 xk-1 的关系(k=2,?,n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+?+|PnQn|.

13

14

限时集训(十三) 导数的应用(Ⅰ)

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)

1.已知定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正 确的是( )

A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 2.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′? 解集为( ) B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)
x

x? >2,则 f(x)>2x+4 的

A.(-1,1) C.(-∞,-1)

3.(2012?陕西高考)设函数 f(x)=xe ,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点

)

4.(2013?济南模拟)设 a∈R,若函数 y=e +ax 有大于零的极值点,则( A.a<-1 1 C.a<- e B.a>-1 1 D.a>- e

x

)

5.函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是( 3 17 A.- 3 C.-4 10 B.- 3 64 D.- 3

x3

2

)

15

6.(2013?丽水模拟)函数 f(x)=x-a 为( ) A.1 C.4
3

x在 x∈[1,4]上单调递减,则实数 a 的最小值

B.2 D.5 )

7. (2013?咸宁模拟)已知函数 y=x -3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, c=( 则 A.-2 或 2 C.-1 或 1
3 2

B.-9 或 3 D.-3 或 1

8.(2012?福建高考)已知 f(x)=x -6x +9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0. 现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0; ③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是( A.①③ C.②③ ) B.①④ D.②④

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 若函数 f(x)的导函数为 f′(x)=2x-4, 则函数 f(x-1)的单调递减区间是________. 10.函数 f(x)=x -15x -33x+6 的单调减区间为________. 11.已知函数 f(x)=e -2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 1 2 12.(2013?温州模拟)设函数 f(x)= x -9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实 2 数 a 的取值范围是________.
x
3 2

? 1? 13.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(1-x),?x- ?f′(x)<0,设 a=f(0),b ? 2? ?1? =f? ?,c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为________. ?2?
1 2 14.已知 a>0,设函数 f(x)=aln x-2 a?x+2a,g(x)= (x-2 a) .则函数 h(x)= 2

f(x)-g(x)的最大值为________.
三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在点 x0 处取得极小值-5, 其导函数 y=f′(x)的图 象经过点(0,0),(2,0). (1)求 a,b 的值; (2)求 x0 及函数 f(x)的表达式.
3 2

16

3 2 3 16.已知函数 f(x)=ax - x +1(x∈R),其中 a>0. 2 (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

? 1 1? (2)若在区间?- , ?上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

17

1 3 1-a 2 17.(2012?天津高考)已知函数 f(x)= x + x -ax-a,x∈R,其中 a>0. 3 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (3)当 a=1 时, 设函数 f(x)在区间[t, +3]上的最大值为 M(t), t 最小值为 m(t), g(t) 记 =M(t)-m(t),求函数 g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.

18

限时集训(十四) 导数的应用(Ⅱ)

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知 f(x)=x -ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大值是( A.0 C.2
3 2 3

)

B.1 D.3

2. 已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3, 那么此函数在[-2,2] 上的最小值是( A.-37 C.-5
3

) B.-29 D.以上都不对

3.设动直线 x=m 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则|MN|的最 小值为( ) 1 B. ln 3 3 D.ln 3-1 )

1 A. (1+ln 3) 3 C.1+ln 3

1-x ?1 ? 4.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈? ,2?恒成立,则 a 的最大值为( x ?2 ? A.0 C.2 B.1 D.3 )

5.球的直径为 d,其内接正四棱柱体积 V 最大时的高为( A. C. 2 d 2 3 d 3
3 2

B.

3 d 2 2 d 3

D.

6.已知函数 f(x)=x +ax +x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则 实数 a 的取值范围是( A.(0,2] C.[ 3,2) ) B.(0,2) D.( 3,2)

7.已知某生产厂家的年利润 y(单元:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3 A.13 万件 B.11 万件 )

19

C.9 万件
3

D.7 万件

8.已知函数 f(x)=x -3x,若对于区间[-3,2]上任意的 x1,x2 都有|f(x1)-f(x2)|≤t, 则实数 t 的最小值是( A.0 C.18 ) B.10 D.20

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.函数 f(x)=x -3x 的极大值与极小值的和为________. 10.函数 f(x)=-x +mx +1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值,则 m 的取值范围是 ________. 11.已知函数 f(x)=(x -3x+3)e ,设 t>-2,f(-2)=m,f(t)=n.函数 f(x)在[-2,
2 3 2 3

x

t]上为单调函数时,t 的取值范围是________.
π 3 12.(2013?东北三省四市质检)设 f(x)=x +x,x∈R,若当 0≤θ ≤ 时,f(msin θ ) 2 +f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 13.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价为 p 元,销量 Q(单 位: 件)与零售价 p(单位: 元)有如下关系: =8 300-170p-p , Q 则该商品零售价定为________ 元时利润最大,利润的最大值为________. 1 3 2 14.若函数 f(x)= x -a x 满足:对于任意的 x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1 恒 3 成立,则 a 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈ [1,2],函数 g(x)=x +x ??f′?
3 2 2

? ?

m x? + ?在区间(t,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. ?
2?

20

ln x 16.已知 f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)= ,其中 e 是自然常数,a∈R.

x

(1)讨论当 a=1 时,函数 f(x)的单调性和极值; 1 (2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ ; 2 (3)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值是 3?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

1 17.设函数 f(x)=x- -aln x.

x

(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线被圆 x +y =1 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在其定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围;

2

2

21

1 (3)当 a≤2 时,设函数 g(x)=x-ln x- ,若在[1,e]上存在 x1,x2 使 f(x1)≥g(x2)成 e 立,求实数 a 的取值范围.

22

班级:

姓名:

得分:

第三章 三角函数、解三角形

第三章 三角函数、解三角形 限时集训(十五) 任意角和弧度制及任意角的三角函数

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 )

B.在第一或第二象限 D.在第三或第四象限 )

2.已知 tan α >0,且 sin α +cos α >0,那么角 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 3.sin 2cos 3tan 4 的值( A.小于 0 C.等于 0 ) B.大于 0 D.不存在 B.第二象限 D.第四象限

4.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0,则实数 a 的取 值范围是( ) B.(-2,3) D.[-2,3] )

A.(-2,3] C.[-2,3)

5.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( A. π 3 2π B. 3 D.2

C. 3

6.若 α 是第三象限角,则 y=

?sin α ? ?cosα ? ? 2? ? 2? ? ? ? ?
α sin 2 + cos B.2 α 2

的值为(

)

A.0 C.-2

D.2 或-2
23

2π 7. P 从(1,0)出发, 点 沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点, Q 点的坐标为( 则 3 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? 3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2 B.?-

)

? ?

3 1? ,- ? 2 2? 3 1? , ? 2 2? )

D.?-

? ?

8.已知扇形的周长是 4 cm,则扇形面积最大时,扇形的中心角的弧度数是( A.2 C. 1 2 B.1 D.3

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的最小正值是________. 10.若点 P(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则 的值为________. 11.若三角形的两个内角 α ,β 满足 sin α cos β <0,则此三角形为________. 12.若 θ 角的终边与 ________. 4 13. 已知角 α 的终边过点 P(-8m, -6sin 30°), cos α =- , m 的值为________. 且 则 5 14.(2013?菏泽模拟)已知函数 f(x)=x cos θ -
2

y x

8π θ 的终边相同,则在[0,2π ]内终边与 角的终边相同的角有 5 4

3 2 xsin θ + ,对于任意的实数 x 4

恒有 f(x)>0,且 θ 是三角形的一个锐角,则 θ 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

?π ? 15.已知角 α 的终边过点 P(-3cos θ ,4cos θ ),其中 θ ∈? ,π ?,求 α 的三角 ?2 ?
函数值.

24

16.一个扇形 OAB 的面积是 1 cm ,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

2

17.角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于 直线 y=x 对称,求 sin α ?cos α +sin β ?cos β +tan α ?tan β 的值.

25

26

限时集训(十六) 同角三角函数的基本关系与诱导公式

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知 tan α =-a,则 tan(π -α )的值等于( A.a C. 1 B.-a 1 D.- )

a

a
)

3 2.α 是第一象限角,tan α = ,则 sin α =( 4 A. 4 5 3 B. 5 3 D.- 5 )
2

4 C.- 5

3.已知 sin 34°=-m,则 sin 2 014°=( A.- 1-m C.-m
2

B. 1-m D.m )

?π ? 3 ?π ? 4.若 sin? +α ?= ,则 cos? -α ?=( 6 3 5 ? ? ? ?
3 A.- 5 C. 4 5 3 B. 5

4 D.- 5
2

5.(2013?安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin x+1=( A.0 C. 4 3 9 B. 5 5 D. 3

)

sin? π -α ? cos? 2π -α ? ? 31 ? 6.已知 f(α )= ,则 f?- π ?的值为( cos? -π -α ? tan α ? 3 ? A. 1 2 1 B.- 3 1 D. 3

)

1 C.- 2

7.(2013?西安模拟)已知 2tan α ?sin α =3,-

π <α <0,则 sin α =( 2

)
27

A. C.

3 2 1 2
2

B.-

3 2

1 D.- 2 )

8.若 sin θ ,cos θ 是方程 4x +2mx+m=0 的两根,则 m 的值为( A.1+ 5 C.1± 5 B.1- 5 D.-1- 5

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.sin (-210°)=________.

?π sin? +α ?2 10.化简 cos?
________.

??cos?π -α ? sin? π -α ? ?cos?π +α ? ? ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ?
π +α ? + sin? π +α ?



π? 2 ? ?π ? 11.已知 cos?α + ?= ,则 sin? -α ?的值为________. 4? 3 ? ?4 ? 12.若 cos(2π -α )= 5 ? π ? ,且 α ∈?- ,0?,则 sin(π -α )=________. 3 ? 2 ?

1 π 13.(2013?绍兴模拟)已知 tan α =- , <α <π ,则 sin α =________. 2 2 14.已知 sin(π -α )-cos(π +α )= sin α -cos α =________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15 . 已 知 sin(3π + θ ) = 1 cos? π +θ ? , 求 3 cos θ [cos? π -θ ? -1] + 2 ?π ? ? <α <π ?.则 3 ?2 ?

cos? θ -2π ? 3π ? ? ?3π ? sin?θ - ?cos? θ -π ? -sin? +θ ? 2 ? ? ? 2 ?

的值.

28

16.已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ ,θ ∈(0,2π ), 求: sin θ cos θ (1) + 的值; sin θ -cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值.
2

2

? π π? ?π ? 17.是否存在 α ∈?- , ?,β ∈(0,π ),使等式 sin(3π -α )= 2cos? -β ?, ? 2 2? ?2 ?
3cos(-α )=- 2cos(π +β )同时成立?若存在,求出 α ,β 的值,若不存在,请说明 理由.

29

30

限时集训(十七) 三角函数的图象与性质

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 2.函数 f(x)=sin x 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 cos ( ) A.0 C.-1 B. 2 2 D.1 )

a+b
2



3π ? ? 3.(2013?银川模拟)已知函数 f(x)=sin?2x+ ? 2 ? ? (x∈R),下面结论错误的是( A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称 4 )

? π? D.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
π 4.(2013?杭州模拟)设函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)在 x= 时,取最大值 A, 2 3π 在 x= 时,取最小值-A,则当 x=π 时,函数 y 的值( 2 A.仅与 ω 有关 C.等于零 )

B.仅与 φ 有关 D.与 φ ,ω 均有关 3 sin(ω x + )

5 . (2013? 郑 州 模 拟 ) 设 函 数 f(x) = cos(ω x + φ ) - π? π ? φ )?ω >0,|φ |< ?,且其图象相邻的两条对称轴为 x=0,x= ,则( 2? 2 ?

31

? π? A.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为增函数 2? ? ? π? B.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为减函数 2? ?
C.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在(0,π )上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在(0,π )上为减函数 1? ? 6. 已知函数 y=sin x 的定义域为[a, ], b 值域为?-1, ?, b-a 的值不可能是( 则 2? ? A. π 3 2π B. 3 C.π 4π D. 3 )

π 7.(2013?衡阳联考)给定性质:①最小正周期为 π ;②图象关于直线 x= 对称,则下 3 列四个函数中,同时具有性质①②的是( ) π? ? B.y=sin?2x- ? 6? ? D.y=sin|x|

?x π ? A.y=sin? + ? ?2 6 ?
π? ? C.y=sin?2x+ ? 6? ?

π ? ?π ? ? 8. (2012?新课标全国卷)已知 ω >0, 函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减, 4? ?2 ? ? 则 ω 的取值范围是( )

?1 5? A.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? ? 2?

?1 3? B.? , ? ?2 4?
D.(0,2]

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 9.函数 y= 的定义域为________. tan x- 3 π? ? 10. 若函数 f(x)=2tan?kx+ ?的最小正周期 T 满足 1<T<2, 则自然数 k 的值为________. 3? ? π? ? 11.(2013? 台州模拟)设函数 y=2sin?2x+ ?的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 3? ?

? ? x0∈?- ,0?,则 x0=________.
π ? 2

?

π? ? ? π? 12.函数 y=2sin?2x+ ?-1,x∈?0, ?的值域为________,并且取最大值时 x 的值 3? 3? ? ? 为________. π? ? 13.已知函数 f(x)=cos?ω x+ ?(ω >0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横 6? ?

32

π 坐标之差为 ,则函数在[0,2π ]上的零点个数为________. 2

? π π? 14.(2013?义乌模拟)已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是 ? 3 4?
-2,则 ω 的最小值等于________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) π? ? 15.(2012?陕西高考)函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图象 6? ? π 相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π ? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?

16.设 a=?sin

? ?

2

π +2x ,cos x+sin x?,b=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=a?b. ? 4 ?

(1)求函数 f(x)的解析式;

? π 2π ? (2)已知常数 ω >0,若 y=f(ω x)在区间?- , ?上是增函数,求 ω 的取值范围; 3 ? ? 2

33

17.(2012?湖北高考)已知向量 a=(cos ω x-sin ω x,sin ω x),b=(-cos ω x- sin ω x,2 3cos ω x),设函数 f(x)=a?b+λ (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω ,

?1 ? λ 为常数,且 ω ∈? ,1?. ?2 ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

?π ? ? 3π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. 4 5 ? ? ? ?

34

35

限时集训(十八) 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 及三角函数模型的简单应用

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?浙江高考)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变), 然后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度, 得到的图象是( )

π? ? 2.(2013?温州模拟)要得到函数 y=sin ?2x+ ?的图象,只要将函数 y=sin 2x 的图 4? ? 象( ) π A.向左平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 8 π B.向右平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 8

π 3.设函数 f(x)=cos ω x(ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的 3 图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( A. 1 3 ) B.3 D.9

C.6 4.

π? ? 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+h?ω >0,0<φ < ?的图象如图所示,则 f(x)=( 2? ?

)

?x π ? A.4sin? + ?+2 ?2 4 ?
36

?x π ? B.-4sin? - ?+2 ?2 4 ? ?x π ? C.2sin? + ?+4 ?2 4 ? ?x π ? D.-2sin? + ?+4 ?2 4 ?

π? ? 5.已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?,y=f(x)的部分图象如图,则 2? ?

f? ?等于( 24
A.2+ 3 C. 3 3

?π ? ? ?

) B. 3 D.2- 3

6.(2013?广州模拟)函数 y=cos(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )为奇函数,该函数的部分图 象如图所示,A,B 分别为最高点与最低点,并且直线 AB 的斜率为 1,则该函数图象的一条对 称轴为( A.x= ) 2 π π B.x= 2 D.x=2

C.x=1 7.(2013?江西九校联考)

π? ? 已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,0<φ < ?一个周期内的图象上的四 2? ?

? π ? 个点,如图所示,A?- ,0?,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一 ? 6 ?

37

π 个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称,CD― →在 x 轴上的投影为 ,则 ω ,φ 的值为( 12 π A.ω =2,φ = 3 1 π C.ω = ,φ = 2 3 π B.ω =2,φ = 6 1 π D.ω = ,φ = 2 6

)

8.(2013?潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系, 设秒针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0?

? 3 1? , ?,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走 ? 2 2?
) π? ? π B.y=sin?- t- ? 6? ? 60 π? ? π D.y=sin?- t- ? 3? ? 30

时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( A.y=sin?

?π t+π ? ? 6? ?30

π? ? π C.y=sin?- t+ ? 6? ? 30

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) π? ? 9.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+φ )+1 的图象的对称轴 6? ?

? π? 完全相同.若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? ? π? 10.(2013?龙泉模拟)函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区 4? ?
间上的最大值是 3,那么 ω 等于________. 11.已知函数 y =sin(ω x +φ )(ω >0,-π ≤φ <π )的图象如图所示,则 φ = ________.

12.若把函数 y= 3cosx-sinx 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是________. π? ? 13.已知直线 y=b(b<0)与曲线 f(x)=sin?2x+ ?在 y 轴右侧依次的三个交点的横坐 2? ? 标成等比数列,则 b 的值是________.

38

? ?π ?? 14.设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤?f? ??对一切 x∈ ? ? 6 ??
R 恒成立,则 ①f?

?11π ?=0;②?f?7π ??<?f?π ??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单 ? ? ? 10 ?? ? ? 5 ?? ? 12 ? ? ? ?? ? ? ??

π 2π ? ? 调递增区间是?kπ + ,kπ + ?(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象 6 3 ? ? 不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号). 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) π? ? 15.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的图象与 y 轴的交点为 2? ? (0,1),它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π ,-2).

(1)求函数 f(x)的解析式及 x0 的值; 1 (2)若锐角 θ 满足 cos θ = ,求 f(4θ )的值. 3

39

?x π ? ?x π ? 16.已知函数 f(x)=2 3?sin? + ?cos? + ?-sin(x+π ). ? 2 4 ? ?2 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6 π ]上的最大值和最小值.

17.已知函数 f(x)=2acos x+bsin xcos x- (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间;

2

3 3 ?π ? 1 ,且 f(0)= ,f? ?= . 2 2 ?4? 2

(3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数?

40

41

限时集训(十九) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) π? 1 ? 1.(2013?厦门模拟)已知 tan?α + ?= ,则 tan α 等于( 4? 7 ? 6 A.- 5 3 C.- 4 B.-1 6 D. 5 ) )

sin 20° 1+cos40° 2.(2013?舟山模拟) =( cos 50° A. 1 2 B. 2 2

C. 2

D.2 )

3.(2012?辽宁高考)已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =( A.-1 2 2 B.- 2 2

C.

D.1 1 =4,则 sin 2θ =( tan θ 1 B. 4 1 D. 2 3 ,则 cos 2α =( 3 5 9 ) )

4.(2012?江西高考)若 tan θ + A. C. 1 5 1 3

5.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = A.- C. 5 9 5 3

B.- D. 5 3

1 6.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3

)

42

A. C.

π 4 π 3

3π B. 4 π D. 6 )

π 7.已知 α +β = ,则(1+tan α )(1+tan β )的值是( 4 A.-1 C.2 B.1 D.4

7π ? 4 ?π ? ? 8.(2013?合肥模拟)已知 cos? -α ?+sin α = 3,则 sin?α + ?的值是( 6 ? 5 ?6 ? ? 2 3 A.- 5 C. 4 5 2 3 B. 5 4 D.- 5

)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=________. 3-sin 70° 10. =________. 2 2-cos 10° 11.已知 sin (π -α )=- 10 2sin α +sin 2α ,则 =________. 10 π? ? cos ?α - ? 4? ?
2

1 1 12.已知 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β 的值为________. 6 3 1+cos 2x ? π? 2 13.(2013?南通模拟)设 f(x)= +sin x+a sin?x+ ?的最大值为 2+3, 4? ? ?π ? 2sin? -x? ?2 ? 则常数 a=________. 14.设 α 、β 都是锐角,且 cos α = 5 3 ,sin(α +β )= ,则 cos β =________. 5 5

三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知函数 f(x)=2cos - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域. π? 1 cos 2α ? (2)若 α 为第二象限角,且 f?α - ?= ,求 的值. 3? 3 1+cos 2α -sin 2α ?
2

x

43

16.已知 sin α +cos α =

π? 3 3 5 ? π? ? ?π π ? ,α ∈?0, ?,sin?β - ?= ,β ∈? , ?. 4? 4? 5 5 ? ? ?4 2?

(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值.

17 . 已 知 向 量 a = (sin ω x , cos ω x) , b = (cos φ , sin φ ) , 函 数 f(x) =

44

π 3? ?π ? ? a?b?ω >0, <φ <π ?的最小正周期为 2π ,其图象经过点 M? , ?. 3

?

?

?6

2?

(1)求函数 f(x)的解析式; 3 12 ? π? (2)已知 α ,β ∈?0, ?,且 f(α )= ,f(β )= , 2? 5 13 ? 求 f(2α -β )的值.

45

限时集训(二十) 简单的三角恒等变换

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)

?π ? 1.(2013?济南模拟)函数 y=sin xsin? +x?的最小正周期是( ?2 ?
A. π 2 B.π D.4π 1+cos 2α 1 = ,则 tan 2α 等于( sin 2α 2 5 B.- 4 4 D.- 3 )

)

C.2π 2.(2013?沈阳四校联考)若 A. C. 5 4 4 3

1 ?3 ? 3.已知 α ∈(-π ,0),tan(3π +α )=aloga (a>0,且 a≠1),则 cos? π +α ?的值 3 ?2 ? 为( A. C. ) 10 10 3 10 10 B.- 10 10

3 10 D.- 10 ) 1-a 2 1+a 2

?π ? 4.已知 x∈? ,π ?,cos 2x=a,则 cos x=( ?2 ?
A. C. 1-a 2 1+a 2 B.- D.-

?π ? tan? +α ??cos 2α ?4 ? 5.计算 的值为( π ? 2? 2cos ? -α ? ?4 ?
A.-2 C.-1

)

B.2 D.1 )

π? 7π ? 4 3 ? ? 6.已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是( 6? 6 ? 5 ? ?

46

2 3 A.- 5 4 C.- 5
2

2 3 B. 5 4 D. 5 )

7.函数 y=sin xcos x+ 3 cos x 的图象的一个对称中心是( A.? C.? 3? ?π ,- ? 2? ?3 3? ?2π , ? 2? ? 3 B.? 3? ?2π ,- ? 2? ? 3

3? ?π D.? , ? ?3 2 ? )

3 3 sin α cos α ? π? 8.设 α ∈?0, ?,则 + 的最小值为( 2? cos α sin α ?

A. C.

27 64 5 3 6

3 2 B. 5 D.1

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) π? π? 2? 2? 2 9.(2013?温州模拟)化简 sin ?α - ?+sin ?α + ?-sin α 的结果为________. 6? 6? ? ? 1 1 10.若 α 、β 是锐角,且 sin α -sin β =- ,cos α -cos β = ,则 tan(α -β ) 2 2 =________. 4 α α α 11.设 α 是第二象限角,tan α =- ,且 sin <cos ,则 cos =________. 3 2 2 2 5 3 12.(2013?青岛模拟)在△ABC 中,若 sin A= ,cos B= ,则 cos C=________. 13 5 π? 4 π? ? ? 13.(2012?江苏高考)设 α 为锐角,若 cos ?α + ? = ,则 sin ?2α + ? 的值为 6? 5 12? ? ? ________.

14.如图,圆 O 的内接“五角星”与圆 O 交于 Ai(i=1,2,3,4,5)点,记弧 AiAi+1 在圆 O 中所对的圆心角为 α i(i=1,2,3,4),弧 A5A1 所对的圆心角为 α 5,则 cos 3α 1?cos (α 3+ α 5)-sin 3α 2sin 2α 4 等于________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

47

4cos x-2cos 2x-1 15.(1)化简 ; ?π +x?sin2?π -x? tan? ? ?4 ? ?4 ? ? ? (2)化简[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)]? 2sin 80°.
2

4

16.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期;

? π? 2 (2)当 x∈?0, ?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f (x)的值域. 2? ?

48

? π ? 17.已知函数 f(x)=3cos(ω x+φ )?- <φ <0?的最小正周期为 π ,且其图象经过点 ? 2 ? ?5π ,0?. ? 12 ? ? ?
(1)求函数 f(x)的解析式; 3 2 ?x π ? ? π? (2)若函数 g(x)=f? + ?,α ,β ∈?0, ?,且 g(α )=1,g(β )= ,求 g(α - 2? 4 ?2 6 ? ? β )的值.

49

限时集训(二十一) 正弦定理和余弦定理

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?上海高考)在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 )
2 2 2

)

2.(2012?广东高考)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a=2bcos C,则此三角形一定 是( ) A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 )

4.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( A. C. 3 2 3+ 6 2 3 3 B. 2 D. 3+ 39 4

5.(2013?宁波模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin B+sin C -sin A+sin B sin C=0,则 tan A 的值是( A. 3 3
2

2

2

) B.- 3 3

C. 3

D.- 3
2 2 2

6.在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a +b =2c ,则 cos C 的 最小值为( A. C. 3 2 1 2 ) B. 2 2

1 D.- 2

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B,则 cos C =( )
50

A.

7 25

7 B.- 25 24 D. 25 )

7 C.± 25

8.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 3 或 3 2 B. 3 4 3 3 或 2 4

C.

D.

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 9.(2012?北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 10.(2012?福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦 值为________. 11.在△ABC 中,三边 a,b,c 所对的角分别为角 A,B,C,若 a +b -c + 2ab=0, 则角 C 的大小为________. 3 12.(2012?重庆高考)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= , 5 5 cos B= ,b=3,则 c=________. 13 13. 在△ABC 中, 为边 BC 的中点, =2, =1, BAD=30°, AD 的长度为________. D AB AC ∠ 则 14.(2013?南昌模拟)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 +
2 2 2

b a

a tan C tan C =6cos C,则 + =________. b tan A tan B
三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c, 求 C.

51

16.(2012?江苏高考)在△ABC 中,已知 AB― →?AC― →=3BA― →?BC― →. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

2 17.(2012?浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A= , 3 sin B= 5cos C. (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

52

53

限时集训(二十二) 解三角形应用举例

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)

1.如图所示,已知两船 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,船 A 在观察站 C 的北偏东 40°,船 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则船 A 在船 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° )

B.北偏西 10° D.南偏西 10°

2.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点 恰好是 3 km,那么 x 的值为( ) B.2 3 D.3

A. 3 C. 3或 2 3 3.

如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.a km C. 2a km B. 3a km D.2a km )

4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达 点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m B.100 m ) C.120 m D.150 m

5. (2012?永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行 驶,在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在

54

电动车的北偏东 75°方向上,则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A.2 2 km C.3 3 km B.3 2 km D.2 3 km

)

6. 如图, 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内, 若飞机的高度为海拔 18 km, 速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则山顶的 海拨高度为(精确到 0.1 km)( )

A.11.4 C.6.5

B.6.6 D.5.6

7.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 30°,60°,则塔 高为( A. ) 400 m 3 200 B. m 3 400 2 D. m 3

C.100 m 8.

如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°,测得湖中之影的俯角为 45°,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( A.2.7 m C.37.3 m ) B.17.3 m D.373 m

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)

9.(2013?南通模拟)“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更好的生活环境,在小区 内如图的一块三角形空地上种植草皮(单位:m),已知这种草皮的价格是 120 元/m ,则购买 这种草皮需要________元. 10.
2

55

2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在灾区的搜救现场,一条 搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象, 然后向右转 105°, 行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象, 这时它向右转 135°后继续前行回到出发点, 那么 x=________. 11. 某路边一树干被台风吹断后, 折成与地面成 45°角, 树干也倾斜为与地面成 75°角, 树干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是______ m. 12.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°方向,另一灯塔在船的南偏西 75°方向, 则这只船的速度是________海里/小时.

13. 如图, 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB, 是该小区的一个出入口, C 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟, D 沿 DC 走到 从

C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米.

14.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海 上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75°方向,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船

位于灯塔 B 的北偏西 60°方向,与 B 相距 5 海里的 C 处,则两艘轮船之间的距离为________ 海里. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.

如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测量.已知

56

AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得
水深 CF=110 m,求∠DEF 的余弦值.

16.为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪,如图,D 是着火点,A、B 分别是水枪位置, 已知 AB=15 2 m,在 A 处看到着火点的仰角为 60°,∠ABC=30°,∠BAC=105°,求两支 水枪的喷射距离至少是多少?

57

17.

如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙 以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值.

58

59

班级:

姓名:

得分:

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 限时集训(二十三) 平面向量的概念及其线性运算

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.

如图,已知 AB― →=a,AC― →=b,BD― →=3DC― →,用 a,b 表示 AD― →,则 AD― →= ( ) 3 A.a+ b 4 1 1 C. a+ b 4 4 1 3 B. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4 )

2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC― →+BA― →=2BP― →,则( A.PA― →+PB― →=0 C.PB― →+PC― →=0 B.PC― →+PA― →=0

D.PA― →+PB― →+PC― →=0

3.(2013?杭州模拟)已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d, 那么( )

A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 4.已知向量 p= + ,其中 a、b 均为非零向量,则|p|的取值范围是( |a| |b| A.[0, 2] C.(0,2] B.[0,1] D.[0,2]
60

a

b

)

1 5. 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, AD― 若 →=2DB― CD― →, →= CA― →+λ CB― →, 3 则 λ =( A. 2 3 ) 1 B. 3 2 D.- 3

1 C.- 3

6.已知四边形 ABCD 中,DC― →=AB― →,|AC― →|=|BD― →|,则这个四边形的形状是 ( ) A.平行四边形 C.等腰梯形 7.(2013?保定模拟) B.矩形 D.菱形

如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点, 且 AM― →=xAB― →,AN― →=yAC― →,则 A.3 C.2

x?y 的值为( x+y
1 B. 3 1 D. 2

)

8.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC― →=2BD― →,CE― →= 2EA― →,AF― →=2FB― →,则 AD― →+BE― →+CF― →与 BC― ( → A.反向平行 C.互相垂直 B.同向平行 D.既不平行也不垂直 )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知 m,n 是实数,a,b 是不共线的向量,若 m(3a-2b)+n(4a+b)=2a-5b,则 m =________,n=________. 10.在?ABCD 中,AB― →=a,AD― →=b,AN― →=3NC― →,M 为 BC 的中点,则 MN― → =________.(用 a,b 表示) 11.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC― →=λ AE― →+ μ AF― →,其中 λ 、μ ∈R,则 λ +μ =________. 12.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 13.(2013?淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA― →+MB― →+MC― →=0.若存在实数 m 使得 AB― →+AC― →=mAM― →成立,则 m=________.
61

14.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线

AB、AC 于不同的两点 M、N,若 AB― →=mAM― →,AC― →=nAN― (m>0,n>0),则 mn 的最 →
大值为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知 P 为△ ABC 内一点,且 3AP― →+4BP― →+5CP― →=0,延长 AP 交 BC 于点 D, 若 AB― →=a,AC― →=b,用 a、b 表示向量 AP― →,AD― →.

16.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB― →=e1-e2,BC― →=3e1+2e2,CD― →=-8e1-2e2, 求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB― →=e1+e2,BC― →=2e1-3e2,CD― →=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线, 求 k 的值.

62

17.设点 O 在△ABC 内部,且有 4OA― →+OB― →+OC― →=0,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.

63

限时集训(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?广东高考)若向量 BA― →=(2,3),CA― →=(4,7),则 BC― →=( A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10) )

2.(2013?杭州模拟)已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 a-b 平行,则实数 x 的值是( A.-2 C.1 ) B.0 D.2

3.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且 AB― →=a,AD― →=b,则 BE― → =( )

1 A.b- a 2 1 C.a+ b 2

1 B.b+ a 2 1 D.a- b 2

4.(2013?郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且 平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c=λ a+μ b(λ 、μ 为实数),则 m 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) C.(-∞,+∞) B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

1 5.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且 AC― →=2CB― →,则实数 2

a 等于(
A.2 C. 4 5

) B.1 5 D. 3

6.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行;②AB― →+BC― →=CA― →; ③OA― →+OC― →=OB― →;④AC― →=OB― →-2OA― →.
64

其中正确结论的个数是( A.1 C.3

) B.2 D.4

7.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向 量集合,则 P∩Q 等于( A.{(1,-2)} C.{(-2,1)} ) B.{(-13,-23)} D.{(-23,-13)}

8.(2013?成都模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,m=( 3b-c, cos C),n=(a,cos A),m∥n,则 cos A 的值等于( A. C. 3 6 3 3 B. 3 4 3 2 )

D.

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 在△ABC 中, P 在 BC 上, BP― 点 且 →=2PC― 点 Q 是 AC 的中点, PA― →, 若 →=(4,3),

PQ― →=(1,5),则 BC― →=________.
10. (2013?盐城模拟)在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AB― AC 若 →=(2,4), ― AC → =(1,3),则 BD― →=________. 11.在△ABC 中,CA― →=a,CB― →=b,M 是 CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交 于点 P,则 AP― →=________(用 a,b 表示). 12. 已知向量 a=( 3, b=(0, 1), -1), =(k, 3), a-2b 与 c 共线, k=________. c 若 则

1 13.如图所示,在△ABC 中,AN― →= NC― →,P 是 BN 上的一点,若 AP― →=mAB― →+ 3 2 AC― →,则实数 m 的值为________. 11

14.(2013?杭州模拟)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D,若 OC― →=mOA― →+nOB― →,则 m+n 的取值范围是________.
65

三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

15.如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

16.已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 OP― →=OA― →+tAB― →,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?P 在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

66

17.若平面向量 a、b 满足|a+b|=1,a+b 平行于 x 轴,b=(2,-1),求 a 的坐标.

67

限时集训(二十五) 平面向量的数量积及平面向量的应用

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (2012?重庆高考)设 x∈R, 向量 a=(x,1), =(1, b -2), a⊥b, a+b|=( 且 则| A. 5 C.2 5 B. 10 D.10 ) )

2. (2012?湖北高考)若向量 a=(1,2), =(1, b -1), 2a+b 与 a-b 的夹角等于( 则 π A.- 4 C. π 4 π B. 6 3π D. 4

3.(2013?金华模拟)在△ ABC 中, AB =4,∠ ABC =30°, D 是边 BC 上的一点,且

AD― →?AB― →=AD― →?AC― →,则 AD― →?AB― →的值等于(
A.0 C.8 B.4 D.-4

)

4.如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC― →= 3BD― →,|AD― →|=1,则 AC― →?AD― →= ( ) A.2 3 C. 3 2 B. 3 2

D. 3

5.(2013?郑州模拟)△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,OA― →+AB― →+AC― →=0, 且|OA― →|=|AB― →|,则 CA― →在 CB― →方向上的投影为( A.1 C. 3 B.2 D.3 )

6. 已知圆 O 的半径为 1, 、 为该圆的两条切线, 、 为两切点, PA PB A B 那么 PA― →?PB― → 的最小值为( A.-4+ 2 C.-4+2 2 ) B.-3+ 2 D.-3+2 2

68

1 3 1 2 7.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x + |a|x +a?bx 在 R 上有极值,则 a 3 2 与 b 的夹角范围为( )

? π? A.?0, ? 6? ?
C.?

?π ? B.? ,π ? ?6 ? ?π 2π ? D.? , ? 3 ? ?3
)

?π ,π ? ? ?3 ?

8. (2013?义乌模拟)平面向量的集合 A 到 A 的映射 f 由 f(x)=x-2(x?a)a 确定, 其中

a 为常向量. 若映射 f 满足 f(x)?f(y)=x?y 对 x, ∈A 恒成立, a 的坐标不可能是( y 则
A.(0,0) C.? 2? ? 2 , ? 2? ?2 B.? 2? ? 2 , ? 4? ?4

3? ? 1 D.?- , ? ? 2 2?

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, 则 k=________. π 10.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1?b2 3 =________. 11.(2012?北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则

DE― →?CB― →的值为______;DE― →?DC― →的最大值为________.
12.(2012?湖南高考)如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则

AP― →?AC― →=________.

13.如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,则 AO― →?BC― →等于________. 14. 已知平面向量 α 、 (α ≠β )满足|α |=2, α 与 β -α 的夹角为 120°, ∈R, β 且 t 则|(1-t)α +tβ |的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λ b 的夹角为锐角,求实数 λ 的取值范围.

69

16.已知△ABC 为锐角三角形,向量 m=(3cos A,sin A),n=(1,-sin A),且 m⊥n. (1)求 A 的大小; (2)当 AB― →=pm,AC― →=qn(p>0,q>0),且满足 p+q=6 时,求△ABC 面积的最大值.

2

70

17.已知向量 a=(1,2),b=(cos α ,sin α ).设 m=a+tb(t 为实数). π (1)若 α = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; 4 π (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求 4 出 t;若不存在,请说明理由.

71

限时集训(二十六) 数系的扩充与复数的引入

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?陕西高考)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数” i 的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

b

3+i 2.(2012?浙江高考)已知 i 是虚数单位,则 =( 1-i A.1-2i C.2+i B.2-i D.1+2i

2 3.(2012?新课标全国卷)下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1.
其中的真命题为( A.p1,p3 C.p2,p4
2

) B.p1,p2 D.p3,p4

4.已知 f(x)=x ,i 是虚数单位,则在复平面中复数 A.第一象限 C.第三象限

f? 1+i?
3+i

对应的点在(

)

B.第二象限 D.第四象限 )

5.(2012?湖南高考)复数 z=i(i+1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( A.-1-i C.1-i B.-1+i D.1+i )

6.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi=( A.-2+i C.1-2i 7.定义运算? 2 4 A. - i 5 5 B.2+i D.1+2i

1+i ? ?a b? ?z ?=ad-bc,则符合条件? ?=0 的复数 z 为( ?c d? ?1-i 1+2i? 2 4 B.- - i 5 5

)

72

2 4 C.- + i 5 5
2

2 4 D. + i 5 5 1

8.若复数 z=a -1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 2 A.- 5 C. 2 5

z+a

的虚部为(

)

2 B.- i 5 2 D. i 5

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1+2i 9.复数 (i 是虚数单位)的虚部是________. 1+i 10.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 是虚数单位),则 z=________. 3+bi 11. (2012?湖北高考)若 =a+bi(a, 为实数, 为虚数单位), a+b=________. b i 则 1-i 1 1 1 1 12.i 为虚数单位, + 3+ 5+ 7=________. i i i i

x y 5 13.设 x、y 为实数,且 + = ,则 x+y=________. 1-i 1-2i 1-3i
14.已知复数 x -6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限,则实数 x 的取值范 围是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) ? -1+i? ? 15.计算:(1) 3 i ? 1+2i? (2) 1-i (3) ? 1+i? (4) ? +3? 2+i
2 2 2

2+i?



1-i? 1+i 1-i?

; ;

+ ? .

2

1- 3i 3+i?

2

73

16.实数 m 分别取什么数值时,复数 z=(m +5m+6)+(m -2m-15)i (1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭复数; (3)对应的点在 x 轴上方.

2

2

74

17.复数 z1=

3 2 - 2 +(10-a )i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的值. a+5 1-a

75

班级:

姓名:

得分:

第五章 数 列

第五章 数 列 限时集训(二十七) 数列的概念与简单表示法

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,?的一个通项公式 an 是( 3 5 7 9 A. C. )

n
2n+1

B. 2n-1 D. 2n+3
2

n

n
2n-3

n

2.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( A.15 C.49
2

)

B.16 D.64
*

3.已知数列{an}的通项公式为 an=n -2λ n(n∈N ),则“λ <1”是“数列{an}为递增数 列”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

4.(2013?湖州模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10= ( ) A.1 C.10 5.数列{an}的通项 an= A.3 10 C. 1 19 B.9 D.55

n ,则数列{an}中的最大值是( n2+90
B.19 D. 10 60

)

76

1 6.(2013?银川模拟)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积为

an

Tn,则 T2 013 的值为(
1 A.- 2 C. 1 2

) B.-1 D.2
2

7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( A.9 C.7 B.8 D.6
n

)

8.(2012?新课标全国卷)数列{an}满足 an+1+(-1) an=2n-1,则{an}的前 60 项和为 ( ) A.3 690 C.1 845 B.3 660 D.1 830

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. (2013?潍坊模拟)数列 5 10 17 a-b , , , , 中有序数对(a, )可以是________. ?, b 3 8 a+b 24
2

10.数列{an}中,a1=1,且当 n≥2 时,a1?a2?a3???an=n ,则 an+1=________. 11.根据下图 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有________个点.

12.数列{an}满足 an+1

?2a ?0≤a <1?, ? ? 2? ? ? =? 1 ? ? ?2a -1?2≤a <1?, ? ? ?
n n n n

6 若 a1= ,则 a2 013=________. 7

13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=

a1? 3n-1?
2

且 a4=54,则 a1=________.
2

14.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x -bnx+2 的两个零点, 则 b10=________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N 都有 a1?a2?a3??an=n ,求 a3+a5 的值.
* 2

n

77

16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,分别求它们的通项公式 an. (1)Sn=2n +3n; (2)Sn=2 +1.
n
2

17.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n +1,数列{bn}满足 bn= 设 cn=T2n+1-Tn.

2

2 ,且前 n 项和为 Tn, an+1

78

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.

79

限时集训(二十八) 等差数列及其前 n 项和

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知{an}是等差数列,且 a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是( A.4 C.-4 B.14 D.-14 )

2.(2013?宁波模拟)已知等差数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,2a+3,则此数列 的通项 an=( A.2n-3 C.2n-5 ) B.2n+1 D.2n-1 )

3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S17=a,则 a2+a9+a16 等于( A. C.

a
17 3a 17

4a B. 17 3a D.- 17

4.已知等差数列{an}的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 15,所有偶数项之和 为 25,则这个数列的项数为( A.10 C.30 ) B.20 D.40

5.(2013?秦皇岛模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-

Sk=24,则 k=(
A.8 C.6

) B.7 D.5

6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以 Sn 表示{an}的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 ) B.20 D.18

7.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1, =4,则 的值为( A. 9 4 3 B. 2

S4 S2

S6 S4

)

80

C.

5 3

D.4
*

8.(2013?玉溪模拟)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若

b3=-2,b10=12,则 a8=(
A.0 C.8

) B.3 D.11

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2013?杭州模拟)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为 ________ 10.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 11.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和 S5=10,则其公差 d=________ 12. 已知等差数列{an}中,n≠0, n>1 且 an-1+an+1-an=0,2n-1=38, n 等于________. a 若 S 则 13.数列{an}是等差数列,若 小正值时,n=________. 14.(2013?南京模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若(a2-1) +2 012(a2-1)= 1,(a2 011-1) +2 012?(a2 011-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为________. ①S2 011=2 011,②S2 012=2 012,③a2 011<a2, ④S2 011<S2 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6 +15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.
3 3 2

a11 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取得最 a10

81

16.已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2?a3=45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=

Sn

n+c

(n∈N ),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差数列?若存在,

*

求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

?1?n-1 17.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn 满足关系式 2Sn=Sn-1-? ? +2(n≥2,n 为正整 ?2?
1 数),a1= . 2 (1)令 bn=2 an,求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
82
n

(2)在(1)的条件下,求 Sn 的取值范围.

83

限时集训(二十九) 等比数列及其前 n 项和

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=( )

?3?n A.4?? ? ?2? ?3?n-1 C.4?? ? ?2?
的前 7 项和为( A.63 C.127 )

?2?n B.4?? ? ?3? ?2?n-1 D.4?? ? ?3?

2.(2013?宁波模拟)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}

B.64 D.128

3.(2012?安徽高考)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10 =( ) A.4 C.6 B.5 D.7 )

4.各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( A.33 C.84 B.72 D.189

5.(2013?西安模拟)已知 a,b,m,n,x,y 均为正数,且 a≠b,若 a,m,b,x 成等 差数列,a,n,b,y 成等比数列,则有( A.m>n,x>y C.m<n,x<y ) B.m>n,x<y D.m<n,x>y )

6.已知等比数列{an}中,a1=2,a5=18,则 a2a3a4 等于( A.36 C.±36 B.216 D.±216

5 7. 已知{an}为等比数列, n 是它的前 n 项和, a2?a3=2a1, a4 与 2a7 的等差中项为 , S 若 且 4 则 S5=( A.35 C.31 ) B.33 D.29 )
84

8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(

A.2

n-1

?3?n-1 B.? ? ?2?
1 D. n-1 2

?2?n-1 C.? ? ?3?

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________. 10.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式为 ________. 11.若数列{an}(an∈R)对任意的正整数 m,n 满足 am+n=aman,且 a3=2 2,那么 a12= ________. 12.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N ),且 x1+x2+x3+?+x100=1,则 lg(x101 +x102+?+x200)=________. 13.记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N ),已知 am-1am+1-2am=0,且 T2m-1=128,则 m =________. 14.(2013?聊城模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b ∈R,满足 f(a?b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an= 察下列结论. ①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;③数列{an}为等比数列;④{bn}为等差数列.其中正 确的是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.数列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,k≠1). (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)求通项 an; (3)当 k=-1 时,求和 a1+a2+?+an.
2 2 2 * *

f? 2n? f? 2n? * * (n∈N ),bn= (n∈N ),考 n n 2

85

2 16.设数列{an}是一等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Sn= (bn-1),若 a2=b1,a5=b2. 3 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

17.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等 比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

86

(2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+ =an+1 成立,求 c1+c2+c3+?+c2 013.

*

c1 c2 b1 b2

cn bn

87

限时集训(三十) 数 列 求 和

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)
?1? 1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?

5 项和为( A. C. 15 或5 8 31 16

) 31 B. 或 5 16 15 D. 8
n

2.若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n-1,则数列{an}的前 n 项和 Sn 为( A.2 +n -1 C.2
n+1 n
2

)

B.2

n+1

+n -1

2

+n -2

2

D.2 +n-2 )

n

1 1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1- C.n +1-
2 2

1 n 2 1 2
n-1

1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2 )

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S8=30,S4=7,则 a4 的值等于( A. C. 1 4 13 4 ) 2 B.
n+1

9 B. 4 17 D. 4

1 1 3 n 5. + + +?+ n等于( 2 2 8 2 A. C. 2 -n-1 n 2 2 -n+1 n 2
n n

-n-2 n 2 -n+2 n 2
*

2 D.
2

n+1

6.已知数列{an}的通项公式为 an=n cos nπ (n∈N ),Sn 为它的前 n 项和,则 等于 2 013 ( ) A.1 005 B.1 006

S2 012

88

C.2 011
m

D.2 012
? ?f?

7.(2013?锦州模拟)设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列? ∈N )的前 n 项和是( A. C.
*

1

n?

? ?(n ?

) B.

n n+1 n n-1
n

n+2 n+1 n+1 n
*

D.

8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1?an=2 (n∈N ),设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 012 =( ) A.2
2 012

-1
1 006

B.3?2 -1 D.3?2

1 006

-3 -2

C.3?2

1 006

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 1 9.(2013?大同模拟)数列 1, , ,?的前 n 和 Sn=________. 1+2 1+2+3 10.(2012?江西高考)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意 的 n∈N 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=________. 11. 已知数列{an}中, 1=-60, n+1=an+3, a a 则这个数列前 30 项的绝对值的和是________ 12.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 13.设数列{an}是公差大于 0 的等差数列,a3,a5 分别是方程 x -14x+45=0 的两个实 根,则数列{an}的通项公式是 an=________;若 bn = ________. 14.数列{an}的通项 an=n?cos ________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.(2012?湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和.
2 *

n

an+1
2
n+1

,则数列{bn}的前 n 项和 Tn =

? ?

2


2

-sin

2

nπ ?

(n∈N ),其前 n 项和为 Sn,则 S2 013= 2 ? ?
*

89

16.(2012?合肥模拟)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+ 1 上,n∈N . (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.
*

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N ). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;

*

90

Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 013 的 n 2n-1
的最小值.

91

限时集训(三十一) 数列的综合问题

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6?b8 的值( A.2 C.8 B.4 D.16
2

)

2.设项数为 8 的等比数列的中间两项与 2x +7x+4=0 的两根相等,则数列的各项相乘 的积为( A.64 C.32 ) B.3 D.16

3.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三项,则 数列{bn}的公比为( A. 2 C.2 ) B.4 1 D. 2
*

4.(2013?泉州模拟)满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,则 满足 Sn>1 025 的最小 n 值是( A.9 C.11 ) B.10 D.12
*

5.(2013?杭州模拟)正项等比数列{an}中,存在两项 am,an(m,n∈N )使得 1 5 且 a7=a6+2a5,则 + 的最小值是(

aman=4a1,

m n

) B.1+ 2 5 D. 3 5 3

A.

7 4 25 6

C.

6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件) 近似地满足关系式 Sn= (21n-n -5)(n=1,2,?,12),按此预测,在本年度内,需求量 90 超过 1.5 万件的月份是( A.5、6 月 C.7、8 月 ) B.6、7 月 D.8、9 月

n

2

92

7.数列{an}的通项 an=n ?cos
2

? ?

2


3

-sin

2

nπ ?

,其前 n 项和为 Sn,则 S30 为( 3 ? ? B.490 D.510
*

)

A.470 C.495

8.(2013?株州模拟)在数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 {an}为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列;

an+2-an+1 =k(k 为常数),则称 an+1-an

④通项公式为 an=a?b +c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列. 其中正确的判断为( A.①② ) B.②③ C.③④ D.①④

n

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 a9+a10 9.已知等比数列{an}中, 各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 =________ 2 a7+a8 10.(2013?安庆模拟)设关于 x 的不等式 x -x<2nx(n∈N )的解集中整数的个数为 an, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 11.函数 y=x (x>0)的图象在点(ak,ak)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整 数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. 12.(2013?丽水模拟)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2 +a5=2am,则 m=______. 13.已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4 =b3,且存在常数 α ,β ,使得 an=logα bn+β 对每一个正整数 n 都成立,则 α =____. 14.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续 使用,第 n 天的维修保养费为
β 2 2 2 *

n+49
10

(n∈N )元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指

*

使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了________天. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15. 设同时满足条件: ①

bn+bn+2
2

≥bn+1; bn≤M(n∈N , 是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉 ② M

*

文”数列.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

a

a-1

(an-1)(a 为常数,且 a≠0,a≠1).

?1? 2Sn (2)设 bn= +1,若数列{bn}为等比数列,求 a 的值,并证明数列? ?为“嘉文”数列.

an

?bn?

93

16.已知正项数列{an},{bn}满足:a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数 n, 都有 bn, an,bn+1 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; 1 1 1 bn+1 (2)设 Sn= + +?+ ,试比较 2Sn 与 2- 的大小.
2

a1 a2

an

an+1

94

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x + 2x 的图象上,且过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2knan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)设 Q={x|x=kn,n∈N },R={x|x=2an,n∈N },等差数列{cn}的任一项 cn∈Q∩R, 其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.
* *

2

95

班级:

姓名:

得分:

第六章 不等式、推理与证明

第六章 不等式、推理与证明 限时集训(三十二) 不等关系与不等式

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
a b

)

2.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( 1 1 A. >

a b

B.2 >2

C.|a|>|b|

?1?a ?1?b D.? ? >? ? ?2? ?2?
) B.ab >ab>a D.ab>ab >a )
2 2

3.已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A.a>ab>ab C.ab>a>ab
2

2

β ? π? ? π? 4.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是( 2? 2? 3 ? ?

? 5π ? A.?0, ? 6 ? ?
C.(0,π )

? π 5π ? B.?- , ? 6 ? ? 6 ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?
) B.c(b-a)>0

5.如果 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( A.ab>ac C.cb <ab
2 2

D.ac(a-c)<0

1 1 6.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的(

b

a

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
96

1 1 7.设 a,b 为正实数,则“a<b”是“a- <b- ”成立的(

a

b

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 1 1 a b 8.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M>N C.M=N B.M<N D.不能确定

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大, 1 * 使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的 (k∈N ), 已知一个铁钉受击 3 次后全部进入木板,

k

4 且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 , 则从这个事实中提炼出一个不等式组为 7 ________. 10.如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个 矩形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母 a,b(a≠b)的不等式表示为________.

11.(2013?金华模拟)已知 a,b,c 是实数,给出下列四个命题: 1 1 * k k 2 2 ①若 a>b,则 < ;②若 a>b,且 k∈N ,则 a >b ;③若 ac >bc ,则 a>b;④若 c>a>b>0,

a b



a b > .其中正确的命题的符号是________. c-a c-a
12.若 x>y>z>1,则 xyz, xy, yz, xz从大到小依次为________. 13.已知函数 f(x)=ax +2ax+4(a>0),若 m<n,且 m+n=a-1,则 f(m)与 f(n)的大
2

小关系为________. 14.某三口之家准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲 旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家 庭旅游算集体票, 可按七五折优惠. 如果甲、 乙两家旅行社的原价相同, 则该家庭选择________ 旅行社外出旅游合算. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.比较 x 与 x -x+1 的大小.
3 2

97

16.设 a>b>c,求证:

1

a-b b-c c-a



1



1

>0.

17.已知 f(x)=ax -c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.

2

98

99

限时集训(三十三) 一元二次不等式及其解法

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.不等式 1

x-1

≥-1 的解集为(

) B.[0,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)

A.(-∞,0]∪(1,+∞) C.[0,1)∪(1,+∞)
2

2.已知不等式 2x≤x 的解集为 P,不等式(x-1)(x+2)<0 的解集为 Q,则集合 P∩Q 等 于( ) A.{x|-2<x≤2} C.{x|0≤x<1}
2

B.{x|-2<x≤0} D.{x|-1<x≤2}
2

3.若不等式 ax +bx+c>0 的解集是(-4,1),则不等式 b(x -1)+a(x+3)+c>0 的解 集为( )

? 4 ? A.?- ,1? ? 3 ? ?4 ? B.(-∞,1)∪? ,+∞? ?3 ?
C.(-1,4) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 4 . 某 产 品 的 总 成本 y(万 元 ) 与 产 量 x( 台 ) 之 间的 函 数 关 系是 y = 3 000+ 20x - 0.1x (0<x<240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本) 时的最低产量是( A.100 台 C.150 台
2 2

) B.120 台 D.180 台 )

5.设 f(x)=x +bx-3,且 f(-2)=f(0),则 f(x)≤0 的解集为( A.(-3,1) C.[-3,-1] B.[-3,1] D.(-3,-1]

1? ? 2 6. 已知 y=f(x)是偶函数, x>0 时, (x)=(x-1) , 当 f 若当 x∈?-2,- ?时, ≤f(x)≤m n 2? ? 恒成立,则 m-n 的最小值为( A.1 ) 1 B. 2

100

C.

1 3
2 2

3 D. 4

7.若函数 f(x)=(a +4a-5)x -4(a-1)x+3 的图象恒在 x 轴上方,则 a 的取值范围 是( ) A.[1,19] C.[1,19) B.(1,19) D.(1,19]

8.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立, 则实数 y 的取值范围是( )

? 1 3? A.?- , ? ? 2 2?
C.(-1,1)

? 3 1? B.?- , ? ? 2 2?
D.(0,2)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 10.不等式
2

2x +1-x≤1 的解集是________.
2

2

11.不等式 x -2x+5≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 12.若规定?

?a ?c

b?

?2x ?=ad-bc,则不等式 1<? d? ?1

1?

x?

?<2 的解集是________.

?x,x≥0, ? 13.已知 f(x)=?2 ?-x2+3x,x<0. ?
则不等式 f(x)<f(4)的解集为________. 14.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2-a )>f(a), 则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.解不等式: 1 1 2 2 log (3x -2x-5)≤log (4x +x-5). 2 2
2 2

101

1 2 2 2 16.当 0≤x≤2 时,不等式 (2t-t )≤x -3x+2≤3-t 恒成立,试求 t 的取值范围. 8

17.

行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离 叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列 关系:s= + (n 为常数,且 n∈N ),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其 100 400
? ?6<s1<8, 中? ?14<s2<17. ?

nv

v2

*

(1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?
102

103

104

限时集训(三十四) 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分)

?x≥0, ? 1.不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4, ?
A. 3 2 2 B. 3 4 C. 3

所表示的平面区域的面积等于(

)

3 D. 4 的点(x,y)的集合用阴影表

? ?|x|≤|y|, 2.在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式组? ? ?|x|<1,

示为下列图中的(

)

?2x+y-2≥0, ? 3.(2012?天津高考)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ?x-1≤0, ?
-2y 的最小值为( A.-5 ) B.-4 C.-2 D.3

则目标函数 z=3x

?x-y+1≤0, ? 4.若实数 x,y 满足?x>0, ?y≤2, ?
A.(0,2) C.(2,+∞)

则 的取值范围是(

y x

)

B.(0,2] D.[2,+∞)

?x-y≤10, ? 5.(2012?辽宁高考)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ?0≤y≤15, ?
则 2x+3y 的最大值为( A.20 ) B.35

105

C.45

D.55 3 2 + 的最小 2a b

?x-y≥-1, ? 6.x、y 满足?x+y≥1, ?2x-y≤2, ?
值为( A. C. 7 2 13 2 )

若 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 7,则

B.7 D.9
?x-y-4≤0, ? ? ?x+y-3≤0,

7.(2013?衡水模拟)点 P(2,t)在不等式组?

表示的平面区域内,则点

P(2,t)到直线 3x+4y+10=0 距离的最大值为(
A.2 C.6 B.4 D.8

)

?x≥1, ? 8. 已知点 M(x,)满足?x-y+1≥0, y ?2x-y-2≤0, ?
A.3 C.-4

若 z=ax+y 的最小值为 3, a 的值为( 则

)

B.-3 D.4

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为 ________.

?x+y-3≤0, ? 10. 若变量 x, 满足约束条件?x-y+1≥0, y ?y≥1, ? ?x>0, ? 11. 当实数 x 满足约束条件?y≥x, ?2x+y+k≤0, ?
小值 2,则实数 k 的值是________.

则 z=2x+y-4 的最大值为________.

(其中 k 为小于零的常数)时,

y+1 的最 x

?x-4y+3≤0, ? 12.(2013?濮阳模拟)已知点 A(2,0),点 P 的坐标(x,y)满足?3x+5y≤25, ?x-1≥0, ?
|OP― →|?cos∠AOP(O 为坐标原点)的最大值是________.



106

?x-4y+3≤0, ? 13.如果实数 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1, ?
小值为 3,那么实数 k 的值为________.

目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最

14.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天 的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

?x-y+5≥0, ? 15.(2013?合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?
问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

表示的平面区域,并回答下列

107

?x+y≥1, ? 16.(2013?黄山模拟)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤2, ?
1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值. 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围.

?x-y+5≥0, ? 17.设 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x≤3, ?
求 z=(x+1) +y 的最大值?
2 2

108

109

限时集训(三十五) 基本不等式

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?福建高考)下列不等式一定成立的是( 1 2 A.lg(x + )>lg x(x>0) 4 B.sin x+
2

)

1 ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x

C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 1

x2+1

>1(x∈R)

2.(2012?陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均 时速为 v,则( A.a<v< ab C. ab<v< ) B.v= ab D.v=

a+b
2

a+b
2 )

1 1 3.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是(

a b

A.

1 4

B.1 D.8 )

C.4

4.(2013?宁波模拟)已知 a,b∈R,且 ab=50,则|a+2b|的最小值是( A.20 C.75 5.(2013?淮北模拟)函数 y= A.2 3+2 C.2 3 B.150 D.15 10

x2+2 (x>1)的最小值是( x-1
B.2 3-2 D.2

)

1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 C.-4 B.4 D.-2

)

7.已知 M 是△ABC 内的一点,且 AB― →?AC― →=2 3,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA
110

1 1 4 和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( 2 x y A.20 C.16 8.若 a>b>0,则代数式 a + A.2 C.4
2

)

B.18 D.19

b?

1 的最小值为( a-b? B.3 D.5

)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 9.设 x>0,则 y=3-2x- 的最大值为________.

x

1 1 x y 10. (2013?济南模拟)已知 x>0, >0, 2 +lg 8 =lg 2, + 的最小值为________. y lg 则 x 3y 11.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分 别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站______公里处. 12.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是______(写 出所有正确命题的编号). ①ab≤1;② a+ b≤ 1 1 ⑤ + ≥2. 2;③a +b ≥2;④a +b ≥3;
2 2 3 3

a b

13.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 14. 对于使-x +2x≤M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做-x +2x 的“上 1 2 确界”.若 a,b∈(0,+∞),且 a+b=1,则- - 的“上确界”为________. 2a b 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知 a>0,b>0,c>0,d>0.求证:
2 2

ad+bc bc+ad + ≥4. bd ac

111

16.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值.

17.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).
112

113

限时集训(三十六) 合情推理与演绎推理

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2013?合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

1 4 x x ?2?2 2.(2013?银川模拟)当 x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +? ? ≥3, x x 2 2 ?x? 由此可以推广为 x+ n≥n+1,取值 p 等于( A.n C.n
2 4

p x

) B.n
2

n

D.n+1
3

3.(2013?杭州模拟)观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x )′=- sin x,由归纳推 理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x) =( ) A.f(x) C.g(x) B.-f(x) D.-g(x)

4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a?b=b?a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)?c=a?c+b?c”; ③“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“(a?b)?c=a?(b?c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a?p=x?p? a=x”; ⑤“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“|a?b|=|a|?|b|”; ⑥“ = ”类比得到“

ac a bc b

a?c a = ”. b?c b
) C.3 D.4

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 B.2

5.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f′1(x),f3(x)=

f′2(x),?,fn+1(x)=f′n(x),n∈N*,则 f2 013(x)=(
A.sin x+cos x C.-sin x+cos x

)

B.sin x-cos x D.-sin x-cos x
114

6.(2012?江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x| +|y|=2 的不同整数解(x, )的个数为 8, x|+|y|=3 的不同整数解(x, )的个数为 12, y | y ?, 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 )

B.80 D.92 2S ; a+b+c

7. 设△ABC 的三边长分别为 a、 、 , ABC 的面积为 S, b c △ 内切圆半径为 r, r= 则

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为

R,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 R=(
A. C.

) B. 2V S1+S2+S3+S4 4V S1+S2+S3+S4

V S1+S2+S3+S4
3V S1+S2+S3+S4

D.

8.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) B.(5,7) D.(10,1) )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2012?陕西高考)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为________. 10.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有|OB― →|?OA― →+|OA― →|?OB― →=0. 将它类比到平面的情形是:若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC?OA― →+S△OCA?OB― →+S△
OBA

?OC― →=0. 将它类比到空间的情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有________. 2 2 3 9 3 9 4 16 4 16 11. 考察下列一组等式: +2=4; ?2=4; +3= ; ?3= ; +4= ; ?4= ; ?, 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

根据这些等式反映的结果,可以得出一个关于自然数 n 的等式,这个等式可以表示为 ________. 12.观察下列等式:
115

(1+x+x ) =1+x+x , (1+x+x ) =1+2x+3x +2x +x , (1+x+x ) =1+3x+6x +7x +6x +3x +x , (1+x+x ) =1+4x+10x +16x +19x +16x +10x +4x +x , ? 由以上等式推测: 对于 n∈N , 若(1+x+x ) =a0+a1x+a2x +?+a2nx , a2=________. 则 13.(2012?湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121,?,191,202,?,999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N )位回文数有________个. 14. 如图, 矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D′夹在两条平行线 l1、 2 之间, A′B′=mAB, l 且 则容易得到矩形 ABCD 的面积 S1 与矩形 A′B′C′D′的面积 S2 满足:S2=mS1.由此类比,如 图,夹在两条平行线 l1、l2 之间的两个平行封闭图形 T1、T2,如果任意作一条与 l1 平行的直 线 l,l 分别与两个图形 T1、T2 的边界交于 M、N、M′、N′,且 M′N′=mMN,则 T1、T2 的面
* * 2 n 2 2n 2 4 2 3 4 5 6 7 8 2 3 2 3 4 5 6 2 2 2 3 4

2 1

2

y2 x2 2 2 2 积 S1、S2 满足________.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与圆 x +y =a 是夹在直线 y=a 和 y=-a 之 a b
间的封闭图形,类比上面的结论,由圆的面积可得椭圆的面积为________.

三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.给出下面的数表序列: 表1 1 4 表2 1 3 表3 1 3 5 ? 4 8 12 其中表 n(n=1,2,3,?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,?,2n-1,从第 2 行起, 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3)(不要求证明).

116

16.(2013?包头模拟)已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点, 点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,kPM 与 kPN 之积是与 点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 2- 2=1 写出具有类似特征的性质,并加以证明.

x2 y2 a b

117

3 2 2 17.观察:①sin 10°+cos 40°+sin 10°cos 40°= ; 4 3 2 2 ②sin 6°+cos 36°+sin 6°cos 36°= . 4 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.

118

限时集训(三十七) 直接证明与间接证明

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.用反证法证明命题:若系数为整数的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根, 那么 a,b,c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设 a,b,至多有两个是偶数 )
2

?1?x ?a+b?,B=f( ab),C=f? 2ab ?,则 A, 2.已知函数 f(x)=? ? ,a,b 为正实数,A=f? ? ?a+b? ?2? ? 2 ? ? ?
B,C 的大小关系为(
A.A≤B≤C C.B≤C≤A ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A )

3.(2013?成都模拟)设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数, 并且它具有与三角函数相似的 e -e 一些性质,下面给出双曲函数的定义:双曲正弦函数:sh x= ,双曲余弦函数:ch x 2 e +e = ,则函数 y=ch(2x)-ch x 的值域为( 2 A.{y|y≥-1} C.{y|y≥0}
x
-x

x

-x

) B.{y|y≥1 且 y≠4} D.{y|y≥0 且 y≠1} )

5.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是( A.P>Q C.P<Q B.P=Q D.由 a 的取值确定

6.(2013?银川模拟)设 a、b、c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b) +(b-c) +(c-a) ≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( )
119
2 2 2

A.0 C.2

B.1 D.3

7.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x ,b ,y 三数(
2 2 2

)

A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 8. R 上定义运算: 在 ? 则实数 a 的最大值为( 1 A.- 2 C. 1 2

?a b? ?x-1 a-2? ?=ad-bc.若不等式? ?≥1 对任意实数 x 恒成立, x ? ?c d? ?a+1
) 3 B.- 2 3 D. 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知两个正数 a,b,可按规则 c=ab+a+b 扩充为一个新数 c,在 a,b,c 三个数中 取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称 为一次操作.若 a=1,b=3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是________. 1 1 1 10.设 Sn= + + +?+ 2 6 12 n? 1

n+1?

3 * (n∈N ),且 Sn+1?Sn+2= ,则 n 的值是________. 4

1 9 11.(2013?株洲模拟)已知 a,b,μ ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立

a b

的 μ 的取值范围是________. 12.(2013?杭州模拟)设 M 是由满足下列条件的函数 f(x)构成的集合:(1)方程 f′(x) -x=0 有实数根;(2)函数 f(x)的导数 f(x)满足 0<f′(x)<1.试判断下列两个函数:①f(x)

x sin x = + ;②f(x)=x+cos x.其中是集合 M 中的元素的有________(用序号填空). 2 4
13.若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c, 使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 14.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1?12,2?6,3?4 三种,其中 3?4 是这三 种分解中,两数差的绝对值最小的,我们称 3?4 为 12 的最佳分解.当 p?q(p≤q 且 p,q∈
2 2

p 3 * N )是正整数 n 的最佳分解时,我们规定函数 f(n)= ,例如 f(12)= . q 4
1 3 4 9 关于函数 f(n)有下列叙述:①f(7)= ,②f(24)= ,③f(28)= ,④f(144)= .其中 7 8 7 16

120

正确的序号为________(填入所有正确的序号). 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 1 1 15.已知 a>0, - >1,求证: 1+a> 1 1-b

b a

.

16.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn= (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

Sn n

*

121

17.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N )在函数 y=x +1 的图 象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an, 求证:bn?bn+2<bn+1.
2

*

2

122

123

限时集训(三十八) 数学归纳法

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+2 也成立,若 P(n)对 n=2 也成立,则下 列结论正确的是( )

A.P(n)对所有正整数 n 都成立 B.P(n)对所有正偶数 n 都成立 C.P(n)对所有正奇数 n 都成立 D.P(n)对所有自然数 n 都成立 2.用数学归纳法证明“1+a+a +?+a 算所得的项为( A.1 C.1+a+a
2 2

n+1

1-a = (a≠1)”,在验证 n=1 时,左端计 1-a

n+2

) B.1+a D.1+a+a +a
2 3

1 1 1 * 3.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n <f(n)(n≥2,n∈N )的过程,由 n= 2 3 2 -1

k 到 n=k+1 时,左边增加了(
A.1 项 C.2
k-1

) B.k 项 D.2 项
k



4.对于不等式 (1)当 n=1 时,

n2+n<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
1 +1<1+1,不等式成立.
* 2

(2)假设当 n=k(k∈N )时,不等式成立, 即 < ?

k2+k <k + 1 , 则 当 n = k + 1 时 ,
?
2

k+1?

2

+?

k+1?



k2+3k+2

k2+3k+2? +? k+2? = ? k+2?
则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 )

=(k+1)+1,当 n=k+1 时,不等式成立.

5.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步是( A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(其中 k∈N )
*

n

n

)

124

B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(其中 k∈N ) C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(其中 k∈N ) D.假设 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(其中 k∈N ) 6.用数学归纳法证明 1+2+2 +?+2 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到( A.1+2+2 +?+2
2 2 2 * *

*

n-1

=2 -1(n∈N )的过程中,第二步假设当 n=k

n

*

) -1
k+1

k-2

+2

k-1

=2

k+1

B.1+2+2 +?+2 +2 C.1+2+2 +?+2 D.1+2+2 +?+2
2 2

k

k+1

=2

k-1

-1+2 -1
k

k-1

+2

k+1

=2
k

k+1

k-1

+2 =2 -1+2

k

1 7. 在数列{an}中, 1= , Sn=n(2n-1)an, a 且 通过求 a2, 3, 4, a a 猜想 an 的表达式为( 3 A. ? ? C. 1

)

n-1? ? n+1?
1 2n-1? ? 2n+1?
n+1

B. 2n?

1 2n+1?

1 D. ? 2n+1? ? 2n+2? +9,当 n∈N 时,f(n)能被 m(m∈N )整除,猜想 m 的最
* *

8.设函数 f(n)=(2n+9)?3 大值为( A.9 C.27 )

B.18 D.36

二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.用数学归纳法证明“2 >n +1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起 始值 n0 应取________. 10.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2π r,二维测度(面积)S=π r ,观察发现 S′ 4 2 3 =l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4π r ,三维测度(体积)V= π r ,观察发现 V′ 3 =S.则四维空间中“超球”的三维测度 V=8π r ,猜想其四维测度 W=________. 11.观察下列等式: 2? 2 2 1 +2 = 2+1? ? 6 3+1? ? 6
2 3 2

n

2

2?2+1?

, , ,?,根据上述规律可得 1 +2 +3 +?+n =
2 2 2 2

3? 2 2 2 1 +2 +3 =
2 2 2

2?3+1?

1 +2 +3 +4 = ________.

4? 4+1? ? 6

4?2+1?

12.下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成,依此规律,第 n 个图 案中白色的正方形的个数为________.
125

13.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 2 =1+3,3 =1+3+5,4 =1+3+5+7;2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19. 根据上述分解规律,若 n =1+3+5+?+19, m (m∈N )的分解中最小的数是 21,则 m +n 的值为______. 1 14.若数列{an}的通项公式 an= ? n+1? 算 c1,c2,c3 的值,推测 cn=________. 三、解答题(共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.用数学归纳法证明:1 +3 +5 +?+(2n-1) = 1 n(4n2-1). 3
2 2 2 2 2 2 3 * 2 2 2 3 3 3

,记 cn=2(1-a1)(1-a2)?(1-an),试通过计

1 1 * 16.设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a,求证:对任意 n∈N ,有 1<an< . an 1-a
126

17.已知数列{an},其中 a2=6 且 (1)求 a1,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式;

an+1+an-1 =n. an+1-an+1

(3)设数列{bn}为等差数列,其中 bn=

an 且 c 为不等于零的常数,若 Sn=b1+b2+?+ n+c

bn,
1 1 1 求 + +?+ .

S1 S2

Sn

127

128

班级:

姓名:

得分:

第七章 立 体 几 何

第七章 立 体 几 何 限时集训(三十九) 空间几何体的结构特征及 其三视图和直观图

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?福建高考)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不 可以是( A.球 C.正方体 ) B.三棱锥 D.圆柱

2. (2013?日照模拟)下列四个几何体中, 各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 ( )

A.①② C.②④

B.②③ D.①③ )

3.(2013?北京模拟)有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个(

A.棱台 C.棱柱

B.棱锥 D.都不对

129

4.一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则原梯形的 面积为( A.2 C.2 2 ) B. 2 D.4

5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几 何体的俯视图为( )

6.(2013?温州模拟)如图为一空间几何体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图 形是( )

7.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )

130

8.一个几何体的三视图如图所示,其正视图的面积等于 8,俯视图是一个面积为 4 3的 正三角形,则其侧视图的面积为( A.4 3 C.8 2 ) B.8 3 D.4

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱 的母线垂直于底面; ④用经过旋转轴的平面截圆锥, 所得的截面一定是全等的等腰三角形. 其 中,真命题的序号为________. 10.一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的,其正视图和侧视图如图所示,则这 个几何体最多可由________个这样的小正方体组成.

11.(2013?宁波模拟)某几何体的三视图均为直角三角形,如图所示,则围成该几何体 的各面中,直角三角形的个数为________.

12.(2013?杭州模拟)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥的 俯视图的面积为________.

13.正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长均为 3,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形, 则正视图的周长为________.

131

14.(2013?合肥三检)已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示,其 中四边形 ABCD 是边长为 2 cm 的正方形.则这个正四面体的正视图的面积为________cm . 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶ 16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长.
2

16.一几何体按比例绘制的三视图如图所示.

(1)试画出它的直观图(直接画出即可); (2)求该几何体的表面积和体积.

132

17.如图所示的三幅图中,图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视图如图(2)(3)所示(单位:cm).

图(1)

图(2)

图(3)

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的数据,求该多面体的体积.

133

134

限时集训(四十) 空间几何体的表面积和体积

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π , 则圆台较小底面的半径为( A.7 C.5 ) B.6 D.3

2. (2012?长春调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图 是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( 3 A. π 2 C.3π B.2π D.4π )

3.(2013?金华模拟)从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视 图如图,则该几何体的体积为( )

A. C.

7 8 5 6

5 B. 8 3 D. 4 )

4.(2013?温州模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.54 C.60

B.58 D.63
135

5.(2012?广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

)

A.12π C.57π

B.45π D.81π

6.(2012?广州调研)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的值 等于( A. C. 2 π π 6 ) 6 B. π π D. 2 )

S1 S2

7.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

8.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m)

则该几何体的体积为( A. C. 7 3 m 3 7 3 m 2

) 9 3 B. m 2 9 3 D. m 4
136

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2012?安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

10.(2012?江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm, 则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm .
3

11.(2013?台州模拟)用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图 都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积是________. 12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于________.

13.(2013?宝鸡模拟)如图为某个几何体的三视图,则该几何体的侧面积为________.

14.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.

137

三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

15.(2013?杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,

CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

16.(2013?郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行 四边形, 侧视图是一个长为 3, 宽为 1 的矩形, 俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

138

17.(2013?江南十校联考)如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 ADD1A1 中,点 B、C 在线 段 AD 上,且 AB=3,BC=4,作 BB1∥AA1 分别交 A1D1、AD1 于点 B1、P,作 CC1∥AA1 分别交 A1D1、

AD1 于点 C1、Q,将该正方形沿 BB1、CC1 折叠,使得 DD1 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC-A1B1C1.

(1)求证:AB⊥平面 BCC1B1; (2)求多面体 A1B1C1-APQ 的体积.

139

140

限时集训(四十一) 空间点、直线、平面之间的位置关系

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2013?福州检测)给出下列四个命题: ①没有公共点的两条直线平行; ②互相垂直的两条直线是相交直线; ③既不平行也不相交的直线是异面直线; ④不同在任一平面内的两条直线是异面直线. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 )

2.若直线 a∥b,b∩c=A,则直线 a 与 c 的位置关系是( A.异面 C.平行 B.相交 D.异面或相交

3.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱的条数为( A.3 C.5 B.4 D.6 )

)

4.(2011?浙江高考)若直线 l 不平行于平面 α ,且 l?α ,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交

5.(2013?重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是 ( ) A.平行 C.相交 B.异面 D.平行、异面或相交

141

6. (2012?福州模拟)如图在底面为正方形, 侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,

AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为(
A. C. 1 5 3 5 2 B. 5 4 D. 5

)

7.(2013?聊城模拟)对于任意的直线 l 与平面 α ,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与

l(

) A.平行 C.垂直 B.相交 D.互为异面直线

8.(2012?重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与 长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是( A.(0, 2) C.(1, 2) ) B.(0, 3) D.(1, 3)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.给出如下四个命题:①有三个角是直角的四边形一定是矩形;②不共面的四点可以确 定四个平面;③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线;④若点 A、B、C∈平面 α ,且点 A、B、C∈平面 β ,则平面 α 与平面 β 重合.其中真命题的序号是________.(把 所有真命题的序号都填上) 10.对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点; ②三条直线两两平行; ③三条直线共点; ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中,使三条直线共面的充分条件有________.

11.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.

142

12.(2012?大纲全国卷)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点, 那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为________. 13.若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则下列命题中假命题的序号是________. ①过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行;②过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直; ③过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交;④过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面. 14.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成 的角等于________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

15.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 CC1,AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.

16.如图所示,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是

PC 的中点.
(1)求证 AE 与 PB 是异面直线; (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值.

143

144

17.(2012?上海高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,

E 是 PC 的中点.已知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求:
(1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

145

146

限时集训(四十二) 直线、平面平行的判定及其性质

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?浙江调研)已知直线 a∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 a 的直线 ( ) A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在平面 α 内 C.只有一条,在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内 2.设 m,l 表示直线,α 表示平面,若 m? α ,则 l∥α 是 l∥m 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.下列命题中正确的个数是( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

①若直线 a 不在 α 内,则 a∥α ; ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ; ③若 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内任何一条直线都没有公共点; ④平行于同一平面的两直线可以相交. A.1 C.3 B.2 D.4 )

4.(2013?江西九校联考)平面 α ∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α ,a∥β B.存在一条直线 a,a? α ,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a? α ,b? β ,a∥β ,b∥α

5.如图,在正方体中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 为所在棱的中点,则异面直 线 MP、AB 在正方体的正视图中的位置关系是( A.相交 ) B.平行
147

C.异面

D.不确定

6.设 α 、β 、γ 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“α ∩β =m,

n? γ ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α ∥γ ,n? β ;②m∥γ ,n∥β ;③n∥β ,m? γ . 可以填入的条件有( A.①或② C.①或③ ) B.②或③ D.①或②或③ )

7.(2013?杭州模拟)对于直线 m、n 和平面 α ,下列命题中为真命题的是( A.如果 m? α ,n?α ,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m? α ,n 与 α 相交,那么 m、n 是异面直线 C.如果 m? α ,n∥α ,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α ,n∥α ,m、n 共面,那么 m∥n

8.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

A.①③ C.②③

B.①④ D.②④

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真 命题(其中 l,m 为不同直线,α 、β 为不重合平面),则此条件为________.

m? α


l∥m

? ? ? ? l∥α ;② ? ? ? ? ? ? l∥α . ? ?

l∥m m∥α

? ? ? ? l∥α ; ? ?

l⊥β
③ α ⊥β

10.(2013?济宁模拟)过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面

ABB1A1 平行的直线共有________条.

148

11.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上, 3 则 PQ=________. 12.(2013?温州模拟)已知 l,m 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列 命题: ①若 l? α ,m? α ,l∥β ,m∥β ,则 α ∥β ②若 l? α ,l∥β ,α ∩β =m,则 l∥m; ③若 α ∥β ,l∥α ,则 l∥β ; ④若 l⊥α ,m∥l,α ∥β ,则 m⊥β . 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 13.已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α ,β 分别交于 A,

a

C, 过点 P 的直线 n 与 α , 分别交于 B, , PA=6, =9, =8, BD 的长为________. β D 且 AC PD 则

14.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H、N 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC、

BC 的中点, M 在四边形 EFGH 及其内部运动, M 满足条件________时, MN∥平面 B1BDD1. 点 则 有
三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

15.如图,一直空间四边形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,G 是三角形 ADC 的重心,试在线段

AE 上确定一点 F,使得 GF∥平面 CDE.

149

16.(2013?连云港模拟)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,

E 分别是 AA1 和 B1C 的中点.
(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

150

17.已知在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,M,N 分别是 A′D′,A′B′的中点,在该 正方体中是否存在过顶点且与平面 AMN 平行的平面?若存在,试作出该平面,并证明你的结 论;若不存在,请说明理由.

151

限时集训(四十三) 直线、平面垂直的判定与性质

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.若直线 a 与平面 α 内无数条直线垂直,则直线 a 与平面 α 的位置关系是( A.垂直 C.相交 B.平行 D.不能确定 )

2.(2013?深圳模拟)已知直线 m、n 与平面 α 、β ,若 α ⊥β ,α ∩β =m,n? α ,要 使 n⊥β ,则应增加的条件是( A.m∥n C.n∥α ) B.n⊥m D.n⊥α

3.已知 a、b 为直线,α 、β 为平面.在下列四个命题中:①若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥

b;②若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b;③若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ;④若 b∥α ,b∥β ,则
α ∥β .正确命题的个数是( A.1 C.2 ) B.3 D.0 )

4.(2012?浙江高考)设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β

B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β

5.如图所示,b,c 在平面 α 内,a∩c=B,b∩c=A,且 a⊥b,a⊥c,b⊥c,若 C∈a,

D∈b,E 在线段 AB 上(C,D,E 均异于 A,B),则△ACD 是(

)

A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形

6.(2013?鞍山模拟)已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,给出下列命题: ①α ∥β ? l⊥m;②α ⊥β ? l∥m;③l∥m? α ⊥β ;④l⊥m? α ⊥β ,其中正确的是 ( ) A.①②③ C.②④ B.②③④ D.①③

7.在一个 45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成 45°,则此直线与二面
152

角的另一个面所成的角为( A.30° C.60°

) B.45° D.90°

8.给出命题:(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设 l,m 是不同的直 线,α 是一个平面,若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α ;(3)已知 α ,β 表示两个不同平面,m 为平 面 α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的充要条件;(4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与另一个平行.则其中正确命题的个 数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)

9.如图,空间四边形 ABCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,∠BAD=90°,且 AB=AD,则 AD 与平面 BCD 所成的角是________. 10.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,给出下列命题 ①若 l⊥α ,则 l 与 α 相交 ②若 m? α ,n? α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α ③若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α ④若 l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则 l∥n 其中正确命题的序号为________. 11.已知 α ,β ,γ 是三个不同的平面,命题“α ∥β 且 α ⊥γ ? β ⊥γ ”是真命题, 如果把 α ,β ,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命 题有________个.

12.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的 一动点, 当点 M 满足________时, 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即 可)

153

13.如图,PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB, 给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号是 ________.

14.如图,在直角梯形 ABCD 中,BC⊥DC,AE⊥DC,M、N 分别是 AD、BE 的中点,将三角 形 ADE 沿 AE 折起.下列说法正确的是________.(填上所有正确的序号) ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥平面 DEC; ②不论 D 折至何位置都有 MN⊥AE; ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)都有 MN∥AB. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分)

15. (2012?山东高考)在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形, ∥CD, DAB AB ∠ =60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F-BD-C 的余弦值.

154

16.

(2012?郑州模拟)如图,直角三角形 BCD 所在的平面垂直于正三角形 ABC 所在的平面, 其中 DC⊥CB,PA⊥平面 ABC,DC=BC=2PA,E、F 分别为 DB、CB 的中点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线 PF 与平面 BCD 所成的角.

155

π 17.如图①,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB= ,点 M、N 分别在 AB,CD 上,且 MN 2 ⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形 ABCD 沿 MN 折起,使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如 图②).

(1)求证:AB∥平面 DNC; 3 (2)当 DN= 时,求二面角 D-BC-N 的大小. 2

156

限时集训(四十四) 空间向量的运算及空间位置关系

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?合肥模拟)已知点 A(-3,0,-4),点 A 关于原点的对称点为 B,则|AB|等于 ( ) A.12 B.9 C.25 D.10

2.以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,AD,AA1 所在的直线为坐标轴,建立空 间直角坐标系,如图所示,则正方形 AA1B1B 的对角线交点的坐标为( )

? 1 1? A.?0, , ? ? 2 2? ?1 1 ? C.? , ,0? ?2 2 ?

1? ?1 B.? ,0, ? 2? ?2

?1 1 1? D.? , , ? ?2 2 2?
)

15? ? 3.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=?3,λ , ?平行,则 λ =( 2? ? A. 2 3 9 B. 2 9 C.- 2 2 D.- 3

4. 已知向量 a=(1,1,0), =(-1,0,2), ka+b 与 2a-b 互相垂直, k 的值为( b 且 则 A.1 1 B. 5 3 C. 5 7 D. 5

)

5.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a、b、c 三个向量共面, 则实数 λ 等于( A. 62 7 ) 63 B. 7 64 C. 7 65 D. 7

6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 、 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点, sin CM― M N 则 〈 →, 1N― D →〉 的值为( A. 1 9 ) 4 B. 5 9 2 C. 5 9 2 D. 3

157

7. 如图, 在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 是 AC 与 BD 的交点, AB― M 若 → =a,A1D1― →=b,A1A― →=c,则下列向量中与 B1M― →相等的向量是( 1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 C. a- b+c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2 8. )

(2013?武汉模拟)二面角 α -l-β 为 60°,A、B 是棱 l 上的两点,AC、BD 分别在半 平面 α 、β 内,AC⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为( A.2a B. 5a C.a D. 3a )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 xOz 平面上的射影,则|OB|等于________. 10.已知点 P 在 z 轴上,且满足|OP|=1(O 为坐标原点),则点 P 到点 A(1,1,1)的距离为 ________. 11.已知空间三点 A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则 AB― →与 CA― →的夹角 θ 的大小是________. 12.已知 O(0,0,0), A(1,2,3), B(2,1,2), P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当

QA― →?QB― →取最小值时,点 Q 的坐标是________.
13.(2012?宝鸡模拟)已知 a=(cos θ ,1,sin θ ),b=(sin θ ,1,cos θ ),则向 量 a+b 与 a-b 的夹角是________.

158

14.如图,BC=4,原点 O 是 BC 的中点,点 A?

? 3 1 ? , ,0?,点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC ?2 2 ?

=90°,∠DCB=30°,则 AD 的长度为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一定点 E,使得 OE― →⊥b?(O 为原点)

159

16.(2013?合肥模拟)如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,M、N 分别是线段 AD1 和 BD 的中点. (1)证明:直线 MN∥平面 B1CD1; (2)设正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 a,若以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1 所在的直 线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,试写出 B1、M 两点的坐标,并求线段 B1M 的长.

160

17.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点,且

AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.
(1)写出点 E、F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; 1 (3)若 A1、E、F、C1 四点共面,求证:A1F― →= A1C1― →+A1E― →. 2

161

162

限时集训(四十五) 空间向量在立体几何中的应用

(限时:50 分钟 满分:112 分)

1.(满分 14 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿

AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)设 E 为 BC 的中点,求 AE― →与 DB― →夹角的余弦值.

2.(满分 14 分)(2013?孝感模拟)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E、F、G 分别为 PC、PD、BC 的中点.
163

(1)求证:PA⊥EF; (2)求二面角 D-FG-E 的余弦值.

3.

(满分 14 分)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2AA1,点 D 是 A1B1 的中点,点 E 在

A1C1 上且 DE⊥AE.
(1)证明:平面 ADE⊥平面 ACC1A1; (2)求直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值.

164

4.(满分 14 分)(2012?江西高考)

如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5,BC=4,点 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O. (1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.

165

5.(满分 14 分)如图所示,在多面体 ABCD-A1B1C1D1 中,上,下两个底面 A1B1C1D1 和 ABCD 互相平行,且都是正方形,DD1⊥底面 ABCD,AB=2A1B1=2DD1=2a. (1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值; (2)已知 F 是 AD 的中点, 求证:FB1⊥平面 BCC1B1; (3)在(2)的条件下,求二面角 F-CC1-B 的余弦值.

6.(满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD;

PM 1 (2)设点 M 在线段 PC 上, = ,求证:PA∥平面 MQB; MC 2
(3)在(2)的条件下,若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,求二面角 M-BQ-C 的 大小.

166

7.(满分 14 分)(2012?福建高考)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,

E 为 CD 中点.
(1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长;若不存在, 说明理由; (3)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

167

8.(满分 14 分)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2 2,∠ABC=90°,如 图(1).把△ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD⊥平面 BCD.

(1)求证:CD⊥AB; (2)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (3)在线段 BC 上是否存在点 N, 使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60°?若存在, 求出 的值; 若不存在,说明理由.

BN BC

168

第八章 平面解析几何

第八章 平面解析几何 限时集训(四十六) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 3π 1.(2013?岳阳模拟)经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y= 4 ( ) A.-1 C.0 B.-3 D.2 )

2.(2013?秦皇岛模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是( A. C. π 6 2π 3 π B. 3 5π D. 6

3.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( A.-2 C.3 ) B.-7 D.1

4.若直线经过点(1,1),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则这样的直线共有 ( ) A.4 条 C.2 条 B.3 条 D.1 条

5.(2013?银川模拟)已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a 等于( A.3 C.-1 ) B.1 D.3 或-1 )

6.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a 的值是( A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1

169

7.直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变化时,所有直线都过定点(

)

? 1 ? A.?- ,3? ? 2 ? ?1 ? C.? ,-3? ?2 ?
直线 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直

?1 ? B.? ,3? ?2 ? ? 1 ? D.?- ,-3? ? 2 ?
) B.重合 D.相交但不垂直

8.设 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 所对边的边长,则直线 xsin A+ay+c=0 与

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α ,而 α ∈? 是________________. 10.(2013?福州模拟)已知直线 x- ky +1=0 与直线 y= kx-1 平行,则 k 的值为 ________. 11.(2013?宁波模拟)点 P(x,y)是直线 l:x+y+3=0 上的动点,点 A(2,1),则|AP| 的最小值是________. 12.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 13.(2013?皖南八校联考)已知直线 a x+y+2=0 与直线 bx-(a +1)y-1=0 互相垂 直,则|ab|的最小值为________. 14.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标 轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 的值为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.设直线 l 的方程为 x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 的斜率为 1; (2)直线 l 在 x 轴上的截距为-3.
2 2 2 2

?π ,π ?∪?2π ,π ?,则 k 的取值范围 ? ? ? ?6 4? ? 3 ?

170

16.已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

171

17.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分 1 别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

172

173

限时集训(四十七) 直线的交点坐标与距离公式

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2013?株洲模拟)点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( A. C. 1 2 3 2 2 B. 3 2 D. 2 2 )

2. (2013?海口模拟)直线 l1 的斜率为 2, 1∥l2, l 直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P, 则 P 点坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) ) B.(-3,0) D.(0,3)

3.若直线 l1:y=kx+k+2 与直线 l2:y=-2x+4 的交点在第一象限,则实数 k 的取 值范围是( )

? 2 ? A.?- ,+∞? ? 3 ?
B.(-∞,2)

? 2 ? C.?- ,2? ? 3 ?
D.错误!) 4. (2013?南昌模拟)P 点在直线 3x+y-5=0 上, P 到直线 x-y-1=0 的距离为 且 则 P 点坐标为( A.(1,2) C.(1,2)或(2,-1) ) B.(2,1) D.(2,1)或(-1,2) 2,

5.已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,则直线 l1 与

l2 的距离为(
A. 8 5

) 3 B. 2 D.8 )

C.4

6.与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0

B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

174

7.直线 l 通过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点,且点(5,1)到 l 的距离为 10.则 l 的方程是( A.3x+y+4=0 C.3x-y-4=0 )

B.3x-y+4=0 D.x-3y-4=0 )

|x| |y| 8.曲线 - =1 与直线 y=2x+m 有两个交点,则 m 的取值范围是( 2 3 A.m>4 或 m<-4 C.m>3 或 m<-3 B.-4<m<4 D.-3<m<3

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2013?咸宁模拟)已知坐标平面内两点 A(x, 2-x)和 B? 距离的最小值是________. 10.与直线 x-y-2=0 平行,且它们的距离为 2 2的直线方程是________________. 11.(2013?衡水模拟)平面上三条直线 x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条 直线将平面划分为六部分, 则实数 k 的所有取值为________(将你认为下面所有正确的序号都 填上). 1 ①0;② ;③1;④2;⑤3. 2 12.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是________. 13.过直线 x+3y-10=0 和直线 y=3x 的交点,并且与原点的距离为 1 的直线方程为 ________. 14.设点 A(1,0),B(-1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是 ________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段 被点 P 平分,求直线 l 的方程.

? 2 ? ,0?,那么这两点之间 ?2 ?

175

16.光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程.

17.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P, (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.

176

177

限时集训(四十八) 圆 的 方 程

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.若直线 2x+y+a=0 与圆 x +y +2x-4y=0 的相切,则 a 的值为( A.± 5 C.3
2 2 2 2

)

B.±5 D.±3

2.已知圆 C:x +y +mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值 是( ) A.8 C.6 B.-4 D.无法确定
2 2

3.(2013?金华模拟)直线 y=x-1 上的点到圆 x +y +4x-2y+4=0 上的点的最近距 离为( A. 2 C.2 2-1 ) B. 2-1 D.1

4.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围 的图形的面积等于( A.π C.8π ) B.4π D.9π

5.(2013?广州模拟)若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+ 2y=0 相切,则圆 O 的方程是( A.(x- 5) +y =5 C.(x-5) +y =5
2 2 2 5 2 2

) B.(x+ 5) +y =5 D.(x+5) +y =5
2 2 2 2 2 2

6.实数 x、y 满足 x +(y+4) =4,则(x-1) +(y-1) 的最大值为( A.30+2 26 C.30+2 13 B.30+4 26 D.30+4 13

)

7.(2013?宝鸡模拟)已知直线 ax+by=1 和点 A(b,a)(其中 a,b 都是正实数),若直 线过点 P(1,1),则以坐标原点 O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的最小值等于( A. C. π 6 π 4 π B. 2 D.π )

178

8. 圆心在抛物线 y =2x(y>0)上, 并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( 1 2 2 A.x +y -x-2y- =0 4 B.x +y +x-2y+1=0 C.x +y -x-2y+1=0 1 2 2 D.x +y -x-2y+ =0 4 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)
2 2 2 2

2

)

9.(2013?开封模拟)若 PQ 是圆 O:x +y =9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的 方程是________. 10.若曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值 范围为________. 11.圆心在直线 x-2y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)两点,则圆的方程为 ________. 12.(2013?金华十校联考)已知圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,与 y 轴相切,与 x 轴相交于点 A、B,且AB= 3,则该圆的标准方程是________. 13.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小 时,直线 l 的斜率 k=________. 14.定义:若平面点集 A 中的任一个点(x0 , y0),总存在正实数 r ,使得集合{(x ,
2 2 2 2 2

2

2

y)| ? x-x0?

2

+? y-y0?
2 2

2

<r}? A,则称 A 为一个开集,给出下列集合:

①{? x,y? |x +y =1};②{? x,y? |x+y+2>0}; ③{? x,y? ||x+y|≤6}; ④{? x,y? |0<x2+?

y- 2?

2

<1}.

其中是开集的是______.(请写出所有符合条件的序号) 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知圆 C 和直线 x-6y-10=0 相切于点(4,-1),且经过点(9,6),求圆 C 的方程.

179

16.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于 点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程. (2)求圆 P 的方程.

17.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求

PA― →?PB― →的取值范围.

180

181

限时集训(四十九) 直线与圆、圆与圆的位置关系

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.圆(x-1) +(y+ 3) =1 的切线方程中有一个是( A.x-y=0 C.x=0 B.x+y=0 D.y=0
2 2 2 2

)

2.(2012?清远质检)已知直线 l:y=k(x-1)- 3与圆 x +y =1 相切,则直线 l 的倾 斜角为( A. C. π 6 2π 3
2 2

) π B. 2 5 D. π 6 )

3.(2012?陕西高考)已知圆 C:x +y -4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离
2 2

B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能
2 2

4.已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 O:x +y =r 内一点,直线 l 的方程为 ax+by+r =0, 那么直线 l 与圆 O 的位置关系是( A.相离 C.相交 ) B.相切 D.不确定
2 2

5.(2012?广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相 交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于( A.3 3 C. 3
2 2

) B.2 3 D.1 )

6. 过点(1,1)的直线与圆(x-2) +(y-3) =9 相交于 A, 两点, AB|的最小值为( B 则| A.2 3 C.2 5 B.4 D.5
2 2

7.(2012?湖北高考)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分, 使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 )

B.y-1=0 D.x+3y-4=0
2

8.(2012?天津高考)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-
182

1) =1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3 ]

2

)

B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.直线 l:x=my+2 与圆 M:x +2x+y +2y=0 相切,则 m 的值为________. 10.(2013?朝阳模拟)设直线 x-my-1=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3,则实数 m 的值是________. 11.由直线 y=x+1 上的一点向圆 x +y -6x+8=0 引切线,则切线长的最小值为 ________. 12.直线 2x-y=0 与圆 C:(x-2) +(y+1) =9 交于 A、B 两点,则△ABC 的面积为 ________. 13.(2012?江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条 切线的夹角是 60°,则点 P 的坐标是________. 14.(2012?天津高考)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x +y =4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最 小值为________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,求圆 C 的方程.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2),

2

2

183

且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA― →+OB― →与 PQ― →共线?如果存在,求 k 值;如果 不存在,请说明理由.

17.(2013?揭阳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2的 圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q, Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长. 使 若 存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

184

185

限时集训(五十) 椭 圆

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?上海高考)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

2. 椭圆 + =1 的左、 右焦点分别为 F1、 2, F 一直线过 F1 交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 16 7 的周长为( A.32 C.8 3.已知椭圆: A.4 C.4 或 8 ) B.16 D.4 =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 + B.8 D.以上均不对

x2

y2

x2

y2

)

4.(2013?台州模拟)已知椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),它的一个顶点为 M(0,1),离心 率 e= 6 ,则椭圆的方程为( 3 ) B. + =1 5 3 D. +y =1 3

x2 y2 a b

A. + =1 3 2 C. +y =1 6

x3 y2 x2

x2 y2 x2

2

2

5.矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的短轴 的长为( A.2 3 C.4 2 ) B.2 6 D.4 3

6.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M、N 分别为圆(x+3) +y =1 和圆(x-3) +y 25 16 =4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 C.13 ) B.7 D.15

x2

y2

2

2

2

2

186

7. 以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是 ( ) A.内切 C.相离 B.相交 D.无法确定

8.(2012?新课标全国卷)设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 3a x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 A. C. 1 2 3 4 2 B. 3 4 D. 5 )

x2 y2 a b

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2013?温州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 为________. 10.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与曲线 x +y =a -b 恒有公共点,则椭圆的离心率 e 的取 值范围是________. 11.一个正方形内接于椭圆,并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点,则椭圆的 离心率为________. 12.(2012?江西高考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分 别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 13. F1, 2 分别为椭圆 +y =1 的左, 设 F 右焦点, A, 在椭圆上, F1A― 点 B 若 →=5F2B― →, 3 则点 A 的坐标是 . 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 2

x2 y2 a b

2

2

2

2

x2 y2 a b

x2

2

x2 y2 3 14.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与 a b 2
椭圆 C 相交于 A、B 两点.若 AF― →=3FB― →,则 k=________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 4 5 2 5 15.已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 和 , 3 3 过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

187

16.已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

6 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直 3

线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

17.(2012?重庆高考)如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、 右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角

188

形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程.

189

限时集训(五十一) 双 曲 线

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.若 k∈R 则“k>5”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件

x2

k-5 k+2



y2

=1 表示双曲线”的( B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

2.(2013?杭州模拟)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3) +y =r (r>0)相切,则 r= 6 3 ( ) A. 3 C.3 B.2 D.6

x

2

y

2 2 2 2

3.与椭圆 +y =1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( 4 A. -y =1 4 C. - =1 3 3

x2

2

)

x2

2

B. -y =1 2 D.x - =1 2 )
2

x2

2

x2 y2

y2

4.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 2x±y=0,则其离心率为( A. 5 C. 3 B. 5 2

x2 y2 a b

D.5

5.(2013?惠州模拟)已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x有交点,则双曲线离心率的取 值范围为( ) B.(1, 5 ] D.[ 5,+∞)

x2 y2 a b

A.(1, 5 ) C.( 5,+∞)

6.(2013?绍兴模拟)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,渐近线分 别为 l1、l2,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是( A. 5 C. 3 B.2 D. 2
190

x2 y2 a b

)

7.(2012?浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲 线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3 C. 3

B.2 D. 2

8.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左,右焦点分别是 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x, 2 b 点 P( 3,y0)在双曲线上.则 PF― 1?PF― 2=( → → A.-12 C.0 )

x

2

y

2

B.-2 D.4

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)

x2 y2 3 9.已知双曲线 - =1(m>0)的一条渐近线方程为 y= x,则 m 的值为________. m 3 2
10.(2012?青岛模拟)与椭圆 + =1 具有公共焦点,且离心率互为倒数的双曲线方 12 16 程是________. 11.P 为双曲线 x - =1 右支上一点,M,N 分别是圆(x+4) +y =4 和(x-4) +y =1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 12. (2012?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 - 则 m 的值为________. 13.(2013?揭阳模拟)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,- 2),则它的离心率为________. 14.(2012?湖北高考)如图所示,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两 端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,
2

x2

y2

y2

2

2

2

2

x2 y2 =1 的离心率为 5, 2 m m +4

x2 y2 a b

C,D.则

191

(1)双曲线的离心率 e=________; (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同焦点,且经过点( 15,4). 27 36 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若 F1,F2 是双曲线 C 的两个焦点,点 P 在双曲线 C 上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2 的面积.

S1 S2

x2

y2

16.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, 焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M, 两点, N 且在双曲线的右支上存在点 D, 3

x2 y2 a b

使 OM― →+ON― →=tOD― →,求 t 的值及点 D 的坐标.

192

17.设双曲线 2- =1 的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为 2. a 3 (1)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (2)若 A,B 分别为 l1,l2 上的点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线.

y2 x2

193

限时集训(五十二) 抛 物 线

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.抛物线 x =(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a 的值为( A. 5 2 B. 3 2 3 D.- 2
2 2

)

1 C.- 2

2.(2013?宁波模拟)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的 6 2 值为( ) B.2 D.4
2

x2 y 2

A.-2 C.-4

3.已知点 A(1,2)是抛物线 C:y =2px 与直线 l:y=k(x+1)的一个交点,则抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离是( A. C. 2 2 3 2 2
2

) B. 2 D.2 2

4.已知抛物线 y =4x,若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A,B 两点,O 是坐标原点,则△OAB 的面积是( A.1 C.4
2

) B.2 D.6 )

5.直线 y=x+1 截抛物线 y =2px 所得弦长为 2 6,此抛物线方程为( A.y =2x C.y =-2x 或 y =6x
2 2 2

B.y =6x D.以上都不对

2

6.已知点 M(1,0),直线 l:x=-1,点 B 是 l 上的动点,过点 B 垂直于 y 轴的直线与线 段 BM 的垂直平分线交于点 P,则点 P 的轨迹是( A.抛物线 C.双曲线的一支 )

B.椭圆 D.直线
2 2

7.(2013?湛江模拟)以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x +y -2x+6y+9=0 圆 心的抛物线方程是( )

194

A.y=3x 或 y=-3x
2

2

2

B.y=3x

2

C.y =-9x 或 y=3x

2

D.y=-3x 或 y =9x
2

2

2

8.(2013?衡水模拟)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交 于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( A.y =±4x C.y =4x
2 2

)

B.y =±8x D.y =8x
2

2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9 . 以 抛 物 线 x = - 4y 的 顶 点 为 圆 心 , 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 半 径 的 圆 的 方 程 是 ______________. 10.若垂直于 x 轴的直线交抛物线 y =4x 于点 A,B,且 AB=4 3,则直线 AB 的方程为 ________. 11.(2013?厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切, 则此动圆必过定点______. 12. (2012?安徽高考)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, 两点. AF| B 若| =3,则|BF|=________. 13.直线 y=x-3 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点, A、B 两点向抛物线的准线作垂线, 过 垂足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为________.
2 2 2 2 2

14.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B、

2

C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.
三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 1 ? 1 ? 15.已知圆 C 过定点 F?- ,0?,且与直线 x= 相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直 4 ? 4 ? 线 l:y=k(x+1)(k∈R)相交于 A,B 两点. (1)求曲线 E 的方程; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值.

195

x2 y2 3 2 16.若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点在 4 b 2
椭圆 C1 的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,又过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1,

l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.

1 ?1 ? 17.(2013?珠海模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F? ,0?,直线 l:x=- ,点 P 2 ?2 ? 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求动点 Q 的轨迹方程 C;

196

(2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在曲线 C 上,TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动时, 弦长|TS|是否为定值?请说明理由.

197

限时集训(五十三) 曲线与方程

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.方程(x-y) +(xy-1) =0 的曲线是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点
2 2 2

) B.两条双曲线 D.以上答案都不对 )

2.(2012?无锡调研)下列各点在方程 x -xy+2y+1=0 表示的曲线上的是( A.(0,0) C.(1,-1) B.(1,1) D.(1,-2)

3. 已知点 O(0,0), (1,2), A 动点 P 满足|OP― →+AP― →|=2, P 点的轨迹方程是( 则 A.4x +4y -4x-8y+1=0 B.4x +4y -4x-8y-1=0 C.8x +8y +2x+4y-5=0 D.8x +8y -2x+4y-5=0
2 2 2 2 2 2 2 2

)

4.已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上一个动点,延长 F1P 到点 Q,使得 |PQ|=|PF2|,则动点 Q 的轨迹为( A.圆 C.双曲线的一支
2 2

) B.椭圆 D.抛物线

5.(2012?长春模拟)设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周 上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( A. C. 4x 4y - =1 21 25 4x 4y - =1 25 21
2 2 2 2

)

4x 4y B. + =1 21 25 4x 4y D. + =1 25 21
2 2

2

2

6. 已知 A?x-2, ?, ?0, ?, (x, ), AC― B C y 若 →⊥BC― 则动点 C 的轨迹方程为( →, 2? ? 2? ? A.y =8x C.y =8(x-2)
2 2

?

y?

?

y?

)

B.y =-8x D.y =-8(x-2)
2

2

7.设 i、j 分别是平面直角坐标系 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,a=(x+1)i+yj,b =(x-1)i+yj,且|a|-|b|=1,则点 P(x,y)的轨迹方程是( )

198

A. - =1(y≥0) 1 3 4 4 C. - =1(y≥0) 1 3 4 4

x2 y2

B. - =1(x≥0) 1 3 4 4 D. - =1(x≥0) 1 3 4 4

x2 y2

y2 x2

y2 x2

8. (2013?洛阳模拟)设过点 P(x, )的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, y

B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若 BP― →=2PA― →,且 OQ― →?AB― →
=1,则点 P 的轨迹方程是( 3 2 2 A. x +3y =1(x>0,y>0) 2 3 2 2 B. x -3y =1(x>0,y>0) 2 3 2 2 C.3x - y =1(x>0,y>0) 2 3 2 2 D.3x + y =1(x>0,y>0) 2 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 已知△ABC 的三边 AB、 、 的长度成等差数列, AB|>|CA|, B、 的坐标为(- BC CA 且| 点 C 1,0)、(1,0),则动点 A 的轨迹方程是________. )

? ? ? ? 10.(2013?佛山模拟)在△ABC 中,A 为动点,B,C 为定点,B?- ,0?,C? ,0?(a>0), ? 2 ? ?2 ?
a a
1 且满足条件 sin C-sin B= sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. 2 11.直线 +

x y =1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程__________. a 2-a
2

12.设过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 AB 中点为 M,则点 M 的轨迹方程是________. 13.已知直线 l:2x+4y+3=0,P 为 l 上的动点,O 为坐标原点.若 2OQ― →=QP― →, 则点 Q 的轨迹方程是________. 14. 过定点 P(1,4)作直线交抛物线 y=2x 于 A, 两点, A, 分别作抛物线的切线. B 过 B 若 这两条切线的交点记为 M,则点 M 的轨迹方程是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.过双曲线 x -y =1 上一点 M 作直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N,求线段 MN 的中点
2 2 2

P 的轨迹方程.

199

1 ? 1? 16.已知动圆 P 过点 F?0, ?且与直线 y=- 相切. 4 ? 4? (1)求圆心 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A,B 两点,轨迹 C 在 A,B 两点处的切线相交于 N,M 为线段 AB 的中点,求证:MN⊥x 轴.

200

17.(2012?湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于 点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

2

2

201

限时集训(五十四) 直线与圆锥曲线

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知直线 l:x+ky-3k=0,如果它与双曲线 - =1 只有一个公共点,则 k 的取 4 3 值个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

x2 y2

2.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直 线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是( A.k>- )

x a

2

y b

2

b a b a

B.k<

b a b a b a
)

C.k> 或 k<-

b a

D.- <k<

3.直线 y=kx+1,当 k 变化时,此直线被椭圆 +y =1 截得的最大弦长等于( 4 A.4 C.2 4 3 B. 3 D.不能确定

x2

2

4.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为

x2 y2 a b

c,则椭圆的离心率为(
A. C. 3 2 2 2

) B. 3-1 D. 2-1
2

5.(2012?温州模拟)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上 的一点,FA― →与 x 轴正方向的夹角为 60°,则|OA― →|为( A. C. 21p 4 13 p 6 B. 21p 2 )

13 D. p 36
2

6.(2012?清远模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样的
202

直线有( A.1 条 C.3 条

) B.2 条 D.4 条

7.设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C: + =1 相交于不同的两点 A,B,则使|AB|为整数 4 2 的直线 l 共有( A.4 条 C.6 条 ) B.5 条 D.7 条

x2 y2

8.(2013?绍兴模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),M,N 是双曲线上关于原点对称 的两点,P 是双曲线上的动点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2| 的最小值为 1,则双曲线的离心率为( A. 2 C. 3 2 ) B. 5 2

x2 y2 a b

3 D. 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为________. 4 10. 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点, l 的方程是________. 则 36 9 11.(2012?天津高三期末)一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 x =4y 上,且恒与定直 线 l 相切,则直线 l 的方程为________.
2

x2

2

x2

y2

b x2 y2 12.设 P 为直线 y= x 与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦点,PF1 垂 3a a b
直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________.

13 题图 13.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 x-my+m=0 与抛物线交于 A、B 两点, 且△OAB(O 为坐标原点)的面积为 2 2,则 m +m 的值是________. 25 2 14.过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|, 12
6 4 2

203

则|AF|=____________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于
2

y2 b

A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

16.(2013?株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,△ABC 的三个 顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 所在直线 l 的方程为 4x+y-20 =0. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点,且满足 PO⊥OQ,证明:直线 PQ 过定 点.

204

17.(2013?天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆 上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. 1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3.

x2 y 2 a b

205

206

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 限时集训(五十五) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚数有 ( ) A.30 个 C.36 个 B.42 个 D.35 个

2.5 名同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方 法共有( ) B.20 种 D.32 种

A.10 种 C.25 种

3.(2013?福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去 何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( A.16 种 C.37 种 B.18 种 D.48 种 ) )

4.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A.8 种 C.16 种 B.12 种 D.20 种

5.(2013?哈尔滨模拟)如图所示,在 A,B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导 致断路,则电路不通.今发现 A,B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有( )

A.9 种 C.13 种

B.11 种 D.15 种

6.4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法 共有( ) B.24 种
207

A.12 种

C.30 种

D.36 种

7.(2013?汕头模拟)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块区域分开,若相 邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( A.400 种 C.480 种 ) B.460 种 D.496 种

8. (2013?杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行, 那么称此直线与平面构成一个“平 行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行 线面组”的个数是( A.60 C.36 ) B.48 D.24

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点 的坐标,则在直角坐标系中,第一、二象限不同点的个数为________. 10.从集合{1,2,3,?,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的 等比数列的个数为 .

11.(2013?宁波模拟)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少出现一次,这样的四位 数共有________个.(用数字作答) 12.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每 位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有________. 13.已知集合 A={x|x=a0+a1?3+a2?3 +a3?3 },其中 ak∈{0,1,2}(k=0,1,2,3), 且 a3≠0.则 A 中所有元素之和等于________. 14.将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列,记第 i 个数为 ai(i=1,2,?,6),若 a1≠1,a3≠3,
2 3

a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有________种(用数字作答).
三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.(1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法? (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?

208

16.如右图所示三组平行线分别有 m,n,k 条,在此图形中 (1)共有多少个三角形? (2)共有多少个平行四边形?

209

17.把一个圆分成 3 块扇形,现在用 5 种不同的颜色给 3 块扇形涂色,要求相邻扇形的 颜色互不相同,问 (1)有多少种不同的涂法? (2)若分割成 4 块扇形呢?

210

211

限时集训(五十六) 排列与组合

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.(2012?辽宁高考)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐 法种数为( A.3?3! C.(3!)
4

) B.3?(3!) D.9!
3

2.(2012?新课标全国高考)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两 地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 C.9 种 B.10 种 D.8 种 )

3.(2013?台州模拟)某市端午期间安排甲、乙等六支队伍参加端午龙舟比赛,若在安排 比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上,且甲和乙不相邻,则不同的安排方法有( A.96 种 C.216 种 B.192 种 D.312 种 )

4.现有 4 位教师参加说题比赛,共有 4 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出 1 道题进行说题,则恰有 1 道题没有被这 4 位选中的情况有( A.288 种 C.72 种 B.144 种 D.36 种 )

5.在“神九”航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中程序 A 只能出 现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( A.24 种 C.96 种 B.48 种 D.144 种 )

A C

B D

6.(2013?福州模拟)如图所示 2?2 方格, 在每一个方格中填入一个数字, 数字可以是 1、 2、3、4 中任何一个,允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共 有( ) A.192 种 C.96 种 B.128 种 D.12 种
212

7.(2012?陕西高考)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可 能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( A.10 种 C.20 种 B.15 种 D.30 种 )

8. (2012?山东高考)现有 16 张不同的卡片, 其中红色、 黄色、 蓝色、 绿色卡片各 4 张. 从 中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 ( ) A.232 C.472 B.252 D.484

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一 个城市投资的项目不超过 2 个,则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答). 10.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小组,要求其中男、女医生 都有,则不同的组队方案共有________种. 11.(2013?武汉模拟)某车队有 7 辆车,现要调出 4 辆按一定顺序出去执行任务.要求 甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字). 12. 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字), 用 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同, 且 1 和 2 相邻.这样的六位数的个数是________(用数字作答). 13.有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要 求 3 行中仅有中间行的两张卡片的数字之和为 5,则不同的排法共有________种. 14.(2013?宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展.某 校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、 “围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能 参加一个社团, 且同学甲不参加“围棋苑”, 则不同的参加方法的种数为________(用数字作 答). 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.已知 10 件不同的产品中有 4 件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有 4 件次品为止. (1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第十次才找到最后一件次品,则这样的不 同测试方法数是多少? (2)若恰在第 5 次测试后,就找出了所有 4 件次品,则这样的不同测试方法数是多少?

213

16.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?

214

17.

编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一 个小球, A 球不能放在 1,2 号, 球必须放在与 A 球相邻的盒子中, 且 B 不同的放法有多少种?

215

216

限时集训(五十七) 二项式定理

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1?6 ? 2 1.?2x- ? 的展开式中 x 的系数为(

?

x?

) B.240 D.60 )

A.-240 C.-60

5 ?a ?5 3 2.(2012?杭州模拟)若 a 为实数,且? +x? 的展开式中 x 的系数为 ,则 a=( 4 ?x ? A. 1 2 1 B. 4 D.4

C.2

? 2 1?n 3.若二项式?3x - ? 的展开式中各项系数的和是 512,则展开式中的常数项为( ?
x?
A.-27C9 C.-9C9
7 2 7 4 3

)

B.27C9 D.9C9 )
4

3

4.已知(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a7x ,那么 a1+a2+a3+?+a7=( A.2 C.1
*

B.-2 D.-1 )

5.在(x+1)(2x+1)?(nx+1)(n∈N )的展开式中一次项系数为( A.Cn C.Cn
n-1
2

B.Cn+1 1 3 D. Cn+1 2
2 5 4

2

6.(2013?贵阳模拟)在二项式(x +x+1)(x-1) 的展开式中,含 x 项的系数是( A.-25 C.5 B.-5 D.25

)

? 7.(2012?重庆高考)? x+ ?
A. C. 35 16 35 4

2 x?

1 ?8

? 的展开式中常数项为(
35 B. 8 D.105
2 012

)

8.(2012?湖北高考)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 51

+a 能被 13 整除,则 a=(

)

217

A.0 C.11

B.1 D.12

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2012?陕西高考)(a+x) 展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 的值为________. 10.已知二项式?x- 和为________. 1 ? 1?n 11.若?x+ ? 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 2的系数为
5 2

? ?

1 ?n

x?

? 展开式中的第 5 项为常数项,则展开式中各项的二项式系数之

?

x?

x

________. 12.(2012?浙江高考)若将函数 f(x)=x 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) +?+
5 2

a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,?,a5 为实数,则 a3=________.
13.若(1+2x) 的展开式中含 x 项的系数等于含 x 项的系数的 8 倍,则 n=________. 14.若( 3+2x)
2 012

n

3

=a0+a1x+a2x +a3x +?+a2 012x

2

2

2 012

,则(a0+a2+a4+?+a2 012) -

2

(a1+a3+a5+?+a2 011) 的值为________.
2

三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15. ?3x+ 若

? ?

1 ?n

x?

试确定展开式中含 x 的整数次幂的项. ? 的展开式中各项系数和为 1 024,

218

2 ?n ? * 16.已知? x- 2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1.

?

x?

(1)求展开式中各项系数的和; 3 (2)求展开式中含 x 的项; 2

17. (2013?苏锡常镇调研)从函数角度看, 组合数 Cn可看成是以 r 为自变量的函数 f(r), 其定义域是{r|r∈N,r≤n}. (1)证明:f(r)=

r

n-r+1 f(r-1); r
n

(2)利用(1)的结论,证明:当 n 为偶数时,(a+b) 的展开式中最中间一项的二项式系数 最大.

219

220

限时集训(五十八) 随机事件的概率

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.从装有 5 只红球、5 只白球的袋中任意取出 3 只球,有事件: ①“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球”; ②“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 3 只红球”; ③“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只白球”; ④“取出 3 只红球”与“取出 3 只白球”. 其中是对立事件的有( A.①② C.③④ 2.给出以下结论: ①互斥事件一定对立. ②对立事件一定互斥. ③互斥事件不一定对立. ④事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率. ⑤事件 A 与 B 互斥,则有 P(A)=1-P(B). 其中正确命题的个数为( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个 ) B.②③ D.③

3.将一枚骰子向上抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的一面出现的点数为偶数,事件 B 表示 向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则( A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 4.(2013?惠州模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个 数为 b,则 b>a 的概率是( A. C. 4 5 2 5 ) 3 B. 5 1 D. 5
221

)

5.从 16 个同类产品(其中有 14 个正品,2 个次品)中任意抽取 3 个,下列事件中概率为 1 的是( )

A.三个都是正品 B.三个都是次品 C.三个中至少有一个是正品 D.三个中至少有一个是次品 6. 先将一个棱长为 3 的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色, 再将正方体均匀切割成 棱长为 1 的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的 概率是( A. C. 1 4 1 9 ) 1 B. 6 1 D. 27

7.某种饮料每箱装 6 听,其中有 4 听合格,2 听不合格,现质检人员从中随机抽取 2 听 进行检测,则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( A. C. 1 15 8 15 3 B. 5 14 D. 15 )

8.甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把 乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”,现任意 找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( A. C. 1 3 2 3 5 B. 9 7 D. 9 )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.给出关于满足 A?B 的非空集合 A、B 的四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件; ②若任取 x?A,则 x∈B 是不可能事件; ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件; ④若任取 x?B,则 x?A 是必然事件. 其中正确的命题是________.(把你认为正确的命题序号都填上). 10. 人在打靶中连续射击 2 次, 事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是________________. 11.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率 分别为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________.
222

12.从存放号码分别为 1,2,3,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一 张卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到次数 1 13 2 8 3 5 4 7 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9

则取到号码为奇数的频率是________. 13.盒子里共有大小相同的 3 只白球,1 只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜色 不同的概率是________. 14.一个袋子里有大小相同的两个红球,两个白球,从袋中任取两球,那么至少取到一 个白球的概率是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.由经验得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5 人以上 0.04

求:(1)至多 2 人排队的概率; (2)至少 2 人排队的概率.

16.已知向量 a=(x,y),b=(1,-2),从 6 张大小相同、分别标有号码 1,2,3,4,5,6 的卡片中,有放回地抽取两张,x,y 分别表示第一次,第二次抽取的卡片上的号码. (1)求满足 a?b=-1 的概率; (2)求满足 a?b>0 的概率.

223

17.某次会议有 6 名代表参加,A,B 两名代表来自甲单位,C,D 两名代表来自乙单位,

E,F 两名代表来自丙单位,现随机选出两名代表发言,问:
(1)代表 A 被选中的概率是多少? (2)选出的两名代表“恰有 1 名来自乙单位或 2 名都来自丙单位”的概率是多少?

224

限时集训(五十九) 古 典 概 型

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.高三(4)班有 4 个学习小组,从中抽出 2 个小组进行作业检查.在这个试验中,基本 事件的个数为( A.2 ) B.4 C.6 D.8 )

2. 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 3 个数, 从 则取出的 3 个数是连续自然数的概率是( A. 3 5 2 B. 5 1 C. 3 1 D. 5

3.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体,若将这些小正方 体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( A. 1 12 1 B. 10 3 C. 25 1 D. 125 )

4. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为 a, 从{1,2,3}中随机选取一个数记为 b, b>a 则 的概率是( A. 4 5 ) 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5

5.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中 任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( A. 1 36 1 B. 9 5 C. 36 1 D. 6 )

6.(2012?广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是( A. 4 9
11 21 31

) 1 B. 3 2 C. 9 1 D. 9

?a ?a ?a
A.

a12 a22 a32

a13 a33

a23 7.如图,三行三列的方阵中有九个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从
) 13 D. 14

? ? ?

中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( 3 7 4 B. 7 1 C. 14

225

?x+y-1≤0, ? 8.若实数 x,y 满足约束条件?x-y+1≥0, ?y+1≥0, ?

将一颗骰子投掷两次得到的点数分别

为 a,b,则函数 z=2ax+by 在点(2,-1)处取得最大值的概率为( A. 5 6 2 B. 5 1 C. 5 1 D. 6

)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.(2012?上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两 个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示). 10.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的 距离为 2 的概率是________. 2

11.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课 各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为________(用数字作 答). 12.已知 4 张卡片(大小、形状都相同)上分别写有 1,2,3,4 从中任取 2 张,则这 2 张卡 片中最小号码是 2 的概率为________.

13.如图所示,A,B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为 1,2,3,4.从中任取 2 条网线,则这 2 条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是________. 1 1 14.(2013?杭州模拟)若从集合 , ,3,4 中随机抽取一个数记为 a,从集合{-1,1,- 3 4 2,2}中随机抽取一个数记为 b,则函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的图象经过第三象限的概率 是________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率.
x

226

16.(2013?济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5) 和一个正四面体(四个面分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次,规定“正方体向上的面上的 数字为 a,正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”.设复数为 z=a+bi. (1)若集合 A={z|z 为纯虚数},用列举法表示集合 A; (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a +(b-6) ≤9”的概率.
2 2

227

17.(2012?江西高考)

如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个 点中随机选取 3 个点. (1)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2)求这 3 点与原点 O 共面的概率.

228

229

限时集训(六十) 离散型随机变量及其分布列

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为( A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是( A. ) )

X P

-2 0.5

0 0.2

2 0.3

4 0

B.

X P

0 0.7

1 0.15

2 0.15

C.

X P

1 - 1 3

2 1 2

3 2 3

D.

X P

1 lg 1

2 lg 2

3 lg 5

3.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红 球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ξ ,则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( ) A.ξ =4 C.ξ =


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