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牟坪中学八年级下数学《矩形、菱形与正方形》导学案

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周第

课时

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3.一个含 45°的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合,过 E 点作 EF⊥ AE 交∠DCE 的角平分线于 F 点,试探究线段 AE 与 EF 的数量关系,并说明理由。

一、学习目标:掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定. 二、学习重点:矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用. 三、自主预习:正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下: 平行四边形 对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角
E D

矩形

菱形

正方形

4.如图, 分别以△ABC 的边 AC 和 BC 为边, 在△ABC 外 (AB 的同旁) 作正方形 ACDE 和 CBFG, 点 P 是 EF 的中点,求证:点 P 到边 AB 的距离是 AB 的一半.

(凡是图形所具有的性质,在表中相应的空格中填上“√” ,没有的性质不要填写) 1.下面有四个命题中,正确的命题个数是( ) (1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; (2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形; (3) 一组对角相等且这一组对角的顶点连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行 四边形; (4) 一组对角相等且这组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线平分的四边形是 平行四边形。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2.如图 13, 以△ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形, 即△ABD、 △BCE、 △ACF。请回答下列问题(不要求证明) : (1)四边形 ADEF 是什么四边形? (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADEF 是矩形? (3)当△ABC 满足什么条件时,以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在?
E F D A

G P F C A B

5.如图, 在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,BE、AF 分别是∠ABC、 ∠DAC 的平分线, BE 和 AD 交于点 G,试说明四边形 AGFE 的形状.

A E G B D F C

B

C

第 13 题图

牟坪中学八年级下数学《矩形、菱形与正方形》导学案 (一)矩形的判定方法. 矩形判定方法 1:____ _ 矩形判定方法 2:____ 矩形判定方法 3:_________

姓名: 3.如图,在□ABCD 中,E 为 BC 的中点,连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F.(1)求证: AB=CF;(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时,四边形 ABFC 是矩形,并说明理由.
D A C B E F

_______的平行四边形是矩形. ________的四边形是矩形. ____的平行四边形是矩形.

1.直角三角形斜边上的____ ___等于斜边的一半。 (可顺用,也可逆用) 2. 所对的直角边等于斜边的一半。 (可顺用,也可逆用) 1.如图 ,已知矩形 ABCD 中,AB 长 8 cm ,对角线比 AD 边长 4 cm.求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长.

4.如图,在□ABCD 中,DE⊥AB 于 E,BM=MC=DC,求证:∠EMC=3∠BEM.
B E A

M

2.如图, 已知矩形 ABCD 中, E 是 AD 上的一点, F 是 AB 上的一点, EF⊥EC, 且 EF=EC, DE=4cm, 矩形 ABCD 的周长为 32cm,求 AE 的长.
C D

牟坪中学八年级下数学《矩形、菱形与正方形》导学案

姓名: 3.如图,在菱形 ABCD 中,∠A=60°, AB =4,O 为对角线 BD 的中点,过 O 点作 OE⊥AB, 垂足为 E.求线段 BE 的长.

(二)菱形的判定 菱形判定方法 1:_______ ____的平行四边形是菱形. 菱形判定方法 2:________ _____的四边形是菱形。 菱形判定方法 3:________ _____的四边形是菱形。 1.如图,已知四边形 ABCD 是菱形,F 是 AB 边上一点,连结 DF 交对角线 AC 于 E. 求证:∠AFD=∠CBE.

D

C
O

60?
A E B

方法小结: 2.如图,已知 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F,交 AC 于点 B,求证:四边形 AFCE 是菱形.

4.如图,四边形 ABCD 是菱形,DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E,DF⊥BC,交 BC 的延长线于 F。 请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系?并证明你的猜想

方法小结:

牟坪中学八年级下数学《矩形、菱形与正方形》导学案

姓名: (三)正方形 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的性质总结如下: 边:________ ____; 角:________ ____; 对角线:_______ _______. 注意: 1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形, 2.对角线与边的夹角是 45°; 3.正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质. 4.正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 正方形的判定方法: (1)有_________的菱形是正方形; (2)有__________的矩形是正方形. 提醒:要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条 件,确定是正方形. 1.如图,已知四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A、C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN ⊥l1 于 N,直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点.求证:四边形 PQMN 是正方形.

(三)正方形 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的性质总结如下: 边:________ ____; 角:________ ____; 对角线:_______ _______. 注意: 1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形, 2.对角线与边的夹角是 45°; 3.正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质. 4.正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 正方形的判定方法: (1)有_________的菱形是正方形; (2)有__________的矩形是正方形. 提醒:要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条 件,确定是正方形. 1.如图,已知四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A、C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN ⊥l1 于 N,直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点.求证:四边形 PQMN 是正方形.

2.如图,P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点(P 与 A、C 不重合) ,点 E 在射 线 BC 上,且 PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE⊥PD; (2)设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当 x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值. A D P

2.如图,P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点(P 与 A、C 不重合) ,点 E 在射 线 BC 上,且 PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE⊥PD; (2)设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当 x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值. A D P

B

E

C

B

E

C



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