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高二理科数学周测(四)



高二理科数学周测(四)
姓名:_______________班级:_______________考号:_______________ 一、选择题(每题 6 分,共 36 分)

1、已知条件 A.充分不必要条件

,条件 B.必要不充分条件

,则



的 D.既不充

分也不必要条件





C.充要条件

2、设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 列判断正确的是( A.p 为真 ) B.q 为真 C.p∧q 为假

,命题 q:函数 y=cosx 的图象关于点(π ,0)中心对称,则下

D.p∨q 为真 )

3、设α ,β 是两个不同的平面,直线 m⊥α ,则“m⊥β ”是“α ∥β ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4、如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 NO、AM 的位置关系是( )

(A)平行

(B)相交

(C)异面垂直

(D)异面不垂直

5、如图,在长方形 ABC D 中,AB=

,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 )

AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的

射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的长度为(

A.

B.

C.

D.

6、 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上. 若 AB=3, AC=4, AB⊥AC, AA1=12, 则球 O 的半径为(

)

A.

B.2

C.

D. 3

二、填空题(每题 6 分,共 24 分)
7. 在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点.光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如 图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于 .

8.若平面α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与α 所成角的正弦值 为 . A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D 为 BB1 的中点,则异面直线 C1D 与 A1C

9.如图所示,直三棱柱 ABC 所成角的余弦值为________.

10、在一直角坐标系中已知 A(-1,6),B(3,-8),现沿 x 轴将坐标平面折成 60°的二面角,则折叠后 A、B 两点间的距离 为 .

三.解答题(第 11 题 13 分,第 12 题 13 分,第 13 题 14 分)

11、设命题 p:实数 x 满足

, 命题

实数 满足|x-3|<1

(Ⅰ)若



为真,求实数

的取值范围;

(Ⅱ)若

,且



的充分不必要 条件,求实数 a 的取值范围.

12、如图,边长为

的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB//CD,

,点 M 在线段 EC 上.

(I)证明:平面

平面 ADEF;

(II)若

,求平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的大小.

13、 如图,在直角梯形 ABCP 中,AB=BC=3,AP=7,CD⊥AP 于 D,现将梯形 ABCD 沿线段 CD 折成 60°的二面角 P CD A,设 E,F,G 分别是 PD,PC,BC 的中点.

(1)求证:PA∥平面 EFG; (2)若 M 为线段 CD 上的一个动点,问点 M 在什么位置时,直线 MF 与平面 EFG 所成的角最大?并求此最大角的余弦值.

参考答案
一、选择题

1、A 2、C【考点】复合命题的真假. 【分析】 由题设条件可先判断出两个命题的真假, 再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可 得出正确选项. 【解答】解:由于函数 y=sin2x 的最小正周期为π ,故命题 p 是假命题; 函数 y=cosx 的图象关于直线 x=kπ 对称,k∈Z,故 q 是假命题; 结合复合命题的判断规则知:p∧q 为假命题,p∨q 为是假命题;故选:C. 3、C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间线面垂直和面面平行的关系进行判断即可. 【解答】解:∵m⊥α , ∴若 m⊥β ,则同时垂直体育直线的两个平面平行,即α ∥β 成立, 若α ∥β ,∵m⊥α ,∴m⊥β 成立, 即“m⊥β ”是“α ∥β ”的充要条件,故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据线面垂直和面面平行的关系是解决本题的关键. 4、C 解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为 2,则

A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2), 面垂直.

=(-1,0,-2),

=(-2,0,1),

·

=0,则直线 NO、AM 的位置关系是异

5、D 6、C

二、填空题

7、 解析:以 AB、AC 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示平面直角坐标系,

则 A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得△ABC 的重心 D( , ), 设 AP=x,P(x,0),x∈(0,4), 由光的反射定理, 知点 P 关于直线 BC、AC 的对称点 P1(4,4-x)、P2(-x,0),

与△ABC 的重心 D( , )共线,

所以

=

,求得 x= ,AP= .

8、

9、

10、2

解析:如图为折叠后的图形,

其中作 AC⊥CD,BD⊥CD, 则 AC=6,BD=8,CD=4, 两异面直线 AC、BD 所成的角为 60°,

故由

=

+

+

,得|

| =|

2

+

+

| =68,∴|

2

|=2

.

三、简答题

11、解:(Ⅰ) 由





时,1<

,即

为真时实数

的取值范围是 1<

.

由|x-3|<1, 得-1<x-3<1, 得 2<x<4 即 为真时实数

的取值范围是 2<x<4,

若 p、q 有且只有一个成立,则实数

的取值范围是



. ??6 分

(Ⅱ) 由 , 设 A=

得 ,B = ,则

, ,



的充分不必要条件,即

,且

又 A=

=

, B=

={x|x≥4 或 x≤2},

则 0<

,且 3a≥4 所以实数 的取值范围是

????????12 分

12、解:(Ⅰ)证明:如图,

????4 分

(Ⅱ)

在面

内过点





为坐标原点,

所在的直线为 轴,

所在直线为

轴,

所在直线为

轴,建立直角坐标系



????5 分

设平面

的法向量为



????9 分

∵平面

的法向量



所以平面 13、

与平面

所成锐二面角是

????12 分

(1)证明:∵AD⊥CD,PD⊥CD,∴CD⊥平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD.

过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,则 PO⊥平面 ABCD. 过 O 作 BC 的垂线,交 BC 于 H,分别以 OH,OD,OP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, ∵∠PDO 是二面角 P DC A 的平面角,

∴∠PDO=60°,又∵PD=4,∴OP=2

,OD=2,AO=1,

得 A(0,-1,0),B(3,-1,0),C(3,2,0),P(0,0,2

),D(0,2,0),E(0,1,

),F( ,1,

),G(3, ,0),



=( ,0,0),

=(3,- ,-

),设平面 EFG 的一个法向量为 n=(x,y,z),





取 z=1,得 n=(0,-2

,1),而

=(0,-1,-2

),n·

=0+2

-2

=0,

∴n⊥

,又 PA?平面 EFG,故 PA∥平面 EFG.

(2)解:设 M(x,2,0),则

=( -x,-1,

),设 MF 与平面 EFG 所成角为θ ,

则 sin θ =|cos<n,

>|=|

|=

,

故当 x= 时,sin θ 取到最大值,则θ 取到最大值,此时点 M 为线段 CD 的中点,MF 与平面 EFG 所成角的余弦值 cos θ

=

.



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