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等差数列



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第二节 等差数列

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1.等差数列 an+1-an =d(常数)(n∈N*). (1)定义:____________ a1+(n-1)d an=a

m+ __________. ( n - m) d (2)通项公式:an=_____________. n? n-1?d n?a1+an? (3)前 n 项和公式:Sn= na1+ = . 2 2 a+b 2 (4)a、b 的等差中项 A=__________.

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2.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.

(1)若m、n、p、q、k是正整数,且m+n=p+q=2k.
2ak ap+aq =_______. 则am+an=__________ (2)am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等差数列,公差为____. kd (3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,也是等差数列. (4)若数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.

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a+b 1.A= 是 a,A,b 成等差数列的什么条件? 2
a+ b 【提示】 充要条件. 若 A= ?2A=a+b?A-a=b-A?a, 2 A,b 成等差数列.
2.三个数成等差数列且知其和时,一般设为a-d,a,a+d, 四个数成等差数列且知其和时,怎样设好呢? 【提示】 可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.

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1.(教材改编题)在小于100的正整数中所有被7除余2的数的和 是( A.663 C.665 ) B.664 D.666

【解析】 这些数组成首项为 2,公差为 7 的等差数列 {an}, ∴an= 7(n- 1)+ 2, 由 an< 100,即 7(n- 1)+ 2< 100 得 n< 15. 14×13 故数列 {an}共有 14 项, Sn= 14×2+ × 7= 665. 2
【答案】 C

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2 .(2011·江西高考 ) 设{an} 为等差数列,公差d =- 2, Sn 为其 前n项和,若S10=S11,则a1=( A.18 B.20 C.22 ) D.24

【解析】 由 S10=S11,得 10×9 11×10 10a1+ ×(-2)=11a1+ ×(-2) 2 2 解得 a1=20.

【答案】

B

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3.已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a5=______. 【解析】 ∵a3+a8=a5+a6=22,又a6=7.

∴a5=15.
【答案】 15

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4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= ________.

【解析】 设等差数列{an}的公差为 d,则有 ? 3×2 6×5 ? ?3a1+ d= 3,? 6 a1+ d= 24, 解得? ?a 1=- 1,? d= 2. 2 2 ? ∴a9= a1+ (9- 1)d=- 1+ 8×2= 15.

【答案】

15

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等差数列的判定与证明

(1)已知数列{an}中,a1=-1,an+ 1· an=an+ 1-an,则数列{an}的通 项公式为________. 3 1 (2)已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn} 5 an- 1 1 满足 bn= (n∈N*). an-1 ①求证:数列{bn}是等差数列; ②求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. 1 1 【思路点拨】 (1)证明数列 { }是等差数列, 可求. an an (2)①证 bn+ 1-bn 为常数,求 bn; ②利用 bn 求 an,再利用单调性 求最大 (小 )项.
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【尝试解答】 (1)∵an+ 1· an= an+ 1- an, 1 1 ∴ - =-1, an+ 1 an 1 1 ∴数列 { }是公差为-1 的等差数列,且 =- 1, an a1 1 ∴ =- 1+ (n- 1)× (- 1)=- n, an 1 ∴an=- . n

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1 (2)①∵an= 2- (n≥2, n∈N ),且 bn= , an- 1 an- 1 1 1 1 1 ∴bn+ 1- bn= - = - 1 an+ 1- 1 an- 1 a -1 ?2- ?- 1 n an an 1 = - = 1. an- 1 an- 1 1 5 又 b1= =- . 2 a1- 1 5 ∴数列 {bn}是以- 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2 7 1 2 ②由①知 bn= n- ,则 an= 1+ = 1+ 2 bn 2n- 7 2 7 7 设 f(x)= 1+ ,则 f(x)在区间 (- ∞, )和 ( ,+∞)上为减函 2 2 2x- 7
*

1

数. ∴当 n= 3 时, an 取最小值-1;当 n= 4 时, an 取最大值 3.,
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1 1 1.本例 (1)中,通过变形,利用数列 { }是等差数列,先求 , an an 再求 an;本例 (2)中第 ②小题利用函数的单调性求得数列的最大项和 最小项. 2.证明数列 {an}为等差数列有两种常用方法 (1)定义法:证明 an+ 1- an= d(常数 ), n∈N*. (2)等差中项法:证明 2an= an+ 1+ an- 1(n≥2).

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Sn- 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= (n≥2),a1 2Sn- 1+1 =2. 1 (1)求证:{ }是等差数列; Sn (2)求 an 的表达式.

Sn- 1 1 2Sn- 1+ 1 1 【解】 (1)证明:由 Sn= 得 = = + 2, 2Sn- 1+ 1 Sn Sn- 1 Sn- 1 1 1 ∴ - = 2, Sn Sn- 1 1 1 1 ∴{ }是以 即 为首项,以 2 为公差的等差数列. Sn S1 2

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1 1 3 (2)由 (1)知 = + (n- 1)×2= 2n- , Sn 2 2 1 ∴ Sn= , 3 2n- 2 ∴当 n≥2 时, an= Sn- Sn- 1 -2 1 1 = - = ; 3 7 3 7 2n- 2n- ?2n- ??2n- ? 2 2 2 2 当 n= 1 时, a1= 2 不适合 an. 故 an= ,

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等差数列的基本运算 (1)(2011· 广东高考 ) 等差数列 {an} 前 9 项的和等于前 4 项的 和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.

(2)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.

【思路点拨】 (1)根据S9=S4,求公差d,利用ak+a4=0求k.
(2)①求出公差 d后直接写出 an;②求出Sn后,根据方程 Sk=- 35,求k的值.

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【尝试解答】 (1)∵S4= S9, 4×3 9×8 1 ∴4×1+ d= 9×1+ d,解得 d=- . 2 2 6 1 1 7 则 ak= 1+ (k- 1)×(- )=- k+ , 6 6 6 1 1 a4= 1+ 3×(- )= , 6 2 1 7 1 由 ak+ a4= 0,得- k+ + = 0, 6 6 2 ∴k= 10. 【答案】 10 (2)①设等差数列{an}的公差为 d, 由 a1= 1, a3=- 3 可得 1+ 2d=- 3,解之得 d=- 2. 从而 an= 1+ (n- 1)× (- 2)= 3- 2n. n[1+ ?3- 2n? ] ②由①知 an= 3- 2n,∴Sn= = 2n- n2, 2 由 Sk=- 35,得 2k- k2=- 35, ∴k2- 2k- 35= 0,解得 k= 7 或 k=- 5. 又 k∈N*,故 k= 7.,
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1.等差数列的通项公式及前 n项和公式,共涉及五个量a1,an,

d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想的应用.
2 .数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作 用,而 a1和 d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未

知是常用方法,称为基本量法.
3 .等差数列的通项公式形如 an = an + b(a, b为常数 ),前 n项 和公式形如Sn=An2+Bn(A,B为常数),结合函数性质研究等

差数列常常可以事半功倍.

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本例 (2) 中若将“ a1 = 1 , a3 =- 3”改为“ a1 = 31 , S10 = S22” 试求(1)Sn; (2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.

【解】 (1)∵ S10= a1+ a2+?+ a10, S22= a1+ a2+?+ a22,又 S10= S22 ∴a11+ a12+ ?+ a22= 0, 12?a11+ a22? ∴ = 0,即 a11+ a22= 2a1+ 31d= 0, 2 又 a1= 31, ∴d=- 2, n? n- 1? ∴ Sn= na1+ d= 31n- n(n- 1)= 32n- n2. 2

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(2)法一 由 (1)知 Sn= 32n- n2=- (n- 16)2+ 256, ∴当 n= 16 时, Sn 有最大值, Sn 的最大值是 256. 法二 由 Sn= 32n- n2= n(32- n), 欲使 Sn 有最大值,应有 1< n< 32, n+ 32- n 2 从而 Sn≤( ) = 256, 2 当且仅当 n= 32- n,即 n= 16 时, Sn 有最大值 256.

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等差数列的性质及应用 (1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列 {an}的前 n项和,S2= S6, a4=1,则a5=________.

(2)设等差数列 {an} 的前 n项和为 Sn ,已知前 6项和为 36 ,最后 6
项的和为180,Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10.

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【尝试解答】 (1)∵S2=S6, ∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0, ∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0, ∴a5=-a4=-1.

【答案】 -1 (2)由题意知 a1+ a2+?+ a6= 36 an+ an- 1+ an- 2+ ?+ an- 5= 180, ①+②得, 6(a1+ an)= 216, ∴a1+ an= 36. n?a1+ an? 又 Sn= = 324,从而 n= 18. 2 ∴a1+ a18= 36, ∴a9+ a10= a1+ a18= 36.,

① ②

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1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq

=2ak,是常用的性质,本例(1)、(2)都用到了这个性质.
2.等差数列的简单性质: (1)an=am+(n-m)d;(2)S2n-1=(2n-1)an.

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Sn 3n-1 (1)等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且 = , Tn 2n+3 a8 则 =________. b8 (2)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+ am+ 1-a2 m=0,S2m - 1=38,则 m=________.

Sn 3n- 1 【解析】 (1)∵ = , Tn 2n+ 3 a8 2a8 15?a1+ a15? S15 3×15- 1 4 ∴ = = = = = . b8 2b8 15?b1+ b15? T15 2×15+ 3 3

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(2)∵am- 1+ am+ 1= 2am, 2 ∴am- 1+ am+ 1- a2 m= 2am- am= 0, 解得 am= 0 或 am= 2. 又 ∵a1+ a2m- 1= 2am, a1+ a2m- 1 ∴ S2m- 1= ×(2m- 1)= (2m- 1)am= 38, 2 ∴am≠ 0, am= 2, ∴2m- 1= 19.∴ m= 10.

4 【答案】 (1) 3

(2)10,

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等差数列前n项和的最值

在等差数列{an}中,已知 a1=20,前n项和为Sn,且S10=
S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 【思路点拨】 (1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,

由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函
数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性 质,判断出数列从第几项开始变号.

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【尝试解答】 法一 ∵a1= 20, S10= S15, 10×9 15×14 ∴10× 20+ d= 15×20+ d, 2 2 5 解之得 d=- . 3 5 5 65 ∴an= 20+ (n- 1)×(- )=- n+ . 3 3 3 令 an≥0 得 n≤13,当 n= 13 时, a13= 0, 即当 n≤12 时, an> 0, n≥14 时, an< 0. ∴当 n= 12 或 13 时, Sn 取得最大值,且最大值为 12×11 5 S12= S13= 12×20+ × (- )= 130. 2 3

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5 法二 同法一得 d=- . 3 又由 S10= S15,得 a11+ a12+ a13+ a14+ a15= 0. ∴5a13= 0,即 a13= 0. ∴当 n= 12 或 13 时, Sn 有最大值, 且最大值为 S12= S13= 130.,

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在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值. (2)求Tn=|a1|+|a2|+?+|an|.

【解】 (1)设等差数列 {an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a16+ a17+ a18= 3a17=- 36,得 a17=- 12. a17- a9 24 ∴d= = = 3, 17- 9 8 ∴an= a9+ (n- 9)· d= 3n- 63, an+ 1= 3n- 60. ? 令? ?a n= 3 n- 63≤0? a n+ 1= 3n- 60≥0 ,得 20≤n≤21. ∵a1=- 60, a20=- 3, a21= 0, [- 60+ ?- 3?] ∴ S20= S21= 20× =- 630, 2 ∴当 n= 20 或 21 时, Sn 最小且最小值为-630.
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(2)由 (1)知当 n≤21 时, an≤0;当 n>21 时, an>0. ∴当 n≤21 时, Tn=- Sn n?- 60+ 3n- 63? 3 2 123 =- =- n + n. 2 2 2 n?- 60+ 3n- 63? 当 n> 21 时, Tn= Sn- 2S21= - 2S21 2 3 2 123 = n - n+ 1 260. 2 2

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等差数列在每年的高考中均有所涉及,主要考查等差数 列的通项公式、前n项和及等差数列的性质,各种题型均有可

能出现,一般有一个小题或在解答题中出现,在等差数列的有
关计算中,应注意整体代入方法的应用.

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思想方法之八 整体代入法在等差数列中的应用 (2012·惠州模拟)设等差数列{an}的前n项和Sn=m,前m

项和Sm=n(m>n),求它的前m+n项的和Sm+n.

【规范解答】 法一 设 {an}的公差为 d,由 Sn= m, Sm=n, 得 ? n? n- 1? m?m- 1? ?Sn= na1+ d= m, ①? Sm= ma1+ d= n. ② 2 2 ? ? m- n?? m+ n- 1? ②-①得 (m- n)a1+ · d= n- m, 2 m+ n- 1 ∵ m> n, ∴a1+ d=- 1. 2 ? m+ n?? m+ n- 1? ∴ Sm+ n= (m+ n)a1+ d 2 m+ n- 1 = (m+ n)(a1+ d)=- (m+ n). 2
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法二 设 Sn= An2+ Bn(n∈N*), ? Am2+ Bm= n, ③? An2+ Bn= m. ④ 则? ? ③-④得 A(m2- n2)+ B(m- n)= n- m. ∵ m≠n, ∴A(m+ n)+ B=- 1, ∴ A(m+ n)2+ B(m+ n)=- (m+ n), ∴ Sm+ n=- (m+ n).

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易错提示:(1)直接求 a、d或A、B的值,因运算量大,造成计
算失误. (2) 在用整体代入的方法求解时,找不到已知与所求的关系,

导致无法求解.
防范措施:(1)在与等差数列前n项和有关的计算中,若直接求 解有困难时,可尝试用整体代入的方法求解.

(2)在使用整体代入的方法时,可先列出所求的式子,分析出
哪些已知,哪些未知,从而确定需要整体代入的“整体”.

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1.(2011·天津高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和, n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为________.

a +2d=16? 20 a1+190d=20 解 得 【解析】 由题意知? ? 1 ? ?a = 20,? d=- 2. ? 1 ∴S10=10a1+45d=110.

?

【答案】

110

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2.(2012·清远质检)等差数列{an}中,若a3+a4+a5=12,则a1 +a2+?+a7=________.

【解析】 ∵a3+a4+a5=12, ∴3a4=12,∴a4=4. 7? a1+a7? ∴a1+a2+?+a7= =7a4=28. 2

【答案】

28

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