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高三理科数学(2)


高三理科数学寒假作业(一)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若复数 ( ) A. ? 2 B. 4 C. ? 6 D. 6

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

2.如果 a ? (2x ? 2,?3)与b ? ( x ? 1, x ? 4) 互相垂直,则实数 x 等于 ( A. )
1 2

B.

7 2

C.

1 7 或 2 2

D.

7 或-2 2

3.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 ( ) A. 2 B. 4 C.

S4 ? a2
17 2
( )

15 2

D.

q : x ? ?2 或 x ? 1 , 4. 设 p : x ? ?1 或 x ? 1 , 则 ?p 是 ?q 的
A.充分不必要条件 件 5.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为 ( ) A. T ? 6 , ? ? B.必要不充分条件 C.充要条件

D. 既不充分也不必要条

π? ?π ?? 1) ,则该简谐运 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 2? ?3 ??

π 6 π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3 π 3
( )

C. T ? 6 π , ? ?

D. T ? 6 π , ? ?

? 1 x ?( ) , x ? [?1,0), 6. 若函数 f ( x) ? ? 4 ?4 x , x ? [0,1] ?

则 f (log4 3) ?

高三理科数学第 1 页(共 8 页)

A.

1 3

B. 3

C.

1 4

D. 4

7.若集合 M ? { y | y ? 2? x }, P ? {y | y ? ( ) A. { y | y ? 1} B. { y | y ? 1}

x ? 1},那么集合 M ? P ?

C. { y | y ? 0}

D.

{ y | y ? 0}
8.从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既 有男同学又有女同学的概率为 ( ) A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29

9. 若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 所截得的弦 长为 4 ,则 ( A. )

1 1 ? 的最小值为 a b
B.

1 4

1 2

C. 2

D. 4

10. ( x ? ( ) A. 360

2 n ) 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式的常数项是 x2
B. 180
2

C. 90

D. 45

11.在 ?ABC 中, cos 形 (

B a?c ? ( a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边) ,则 ?ABC 的 2 2c
状 为

) A. 正三角形 C. 等腰三角形

B.直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

12.在数列 {an } 中,若存在非零整数 T ,使得 am?T ? am 对于任意的正整数 m 均成 立,那么称数列 {an } 为周期数列,其中 T 叫做数列 {an } 的周期. 若数列 {xn } 满足 高三理科数学第 2 页(共 8 页)

xn?1 ?| xn ? xn?1 | (n ? 2, n ? N ) ,如 x1 ? 1, x2 ? a(a ? R, a ? 0) ,当数列 {xn } 的周期最
小时,该数列的前 2010 项的和是 ( ) A. 669 B. 670 C. 1339 D. 1340 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.已知 tan ? ? 3 ,则 sin 2? ? 2 cos ? ?

.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 14.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 ? y ?1 ? 0 ?
a ? 0 ) 仅 在 点 (3, 0)
为 处 取 得 最 大 值 , 则 a 的 取 值 范 围

. 15.已知一个几何体的三视图(单位:cm)如下图所示,则该几何体的侧面积为
2

_____cm .

16.若执行如下图所示的程序框图,则输出的 S =

.

高三理科数学第 3 页(共 8 页)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)已知向量 m ? ?cos?x, sin ?x? , n ? cos?x, 3 cos?x ,设 函数 f ( x) ? m ? n . (1)若 f ( x) 的最小正周期是 2? ,求 f ( x) 的单调递增区间;

?

?

(2)若 f ( x) 的图象的一条对称轴是 x ?

?
6

, (0 ? ? ? 2) ,求 f ( x) 的周期和值域.

18. (本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? 是常数, n ? N * ) , a2 = 6 . (Ⅰ)求 c 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 nan ? an ? c( c 2

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 8

19. (本小题满分 12 分)在一次数学考试中,第 21 题和第 22 题为选做题. 规定每 位考生必须且只须在其中选做一题. 设 4 名考生选做每一道题的概率均为 (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望. 20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的 正方形, PB ? BC ,

1 . 2

PD ? CD ,且 PA ? 2 , E 点满足 PE ?

1 PD . 3

P

E

(1)证明: PA ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值.
B A D

C

高三理科数学第 4 页(共 8 页)

(3)在线段 BC 上是否存在点 F ,使得 PF // 平面 EAC ?若存在,确定点 F 的位 置,若不存在请说明理由 . 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x3 ? ax, g ( x) ? 2 x 2 ? b ,已知它们的图象 在 x ? 1 处有相同的切线. (Ⅰ)求函数 f ( x) 和 g ( x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? m ? g ( x) 在区间[ 取值范围. 22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :

1 ,3 ]上是单调减函数,求实数 m 的 2

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 2 3 a b

l: x ? y ? 2 ? 0 与以原点为圆心,以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程;
(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直直线 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程;

(3)若 A( x1 ,2) 、 B( x 2 , y 2 ) 、 C( x0 , y 0 ) 是 C2 上不同的点,且 AB ? BC ,求 y0 的取 值范围.

高三理科数学寒假作业(二)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1 . 设 ?, ? 是 两 个 不 同 的 平 面 , l 是 一 条 直 线 , 以 下 命 题 正 确 的 是 ( ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? ( ) 2. 已知命题 “ ?a, b ? R , 如果 ab ? 0 , 则a ? 0” , 则它的否命题是 A. ?a, b ? R , 如果 ab ? 0 , 则a ? 0

B. ?a, b ? R , 如果 ab ? 0 , 则a ? 0

高三理科数学第 5 页(共 8 页)

C. ?a, b ? R , 如果 ab ? 0 , 则a ? 0

D. ?a, b ? R , 如果 ab ? 0 , 则a ? 0

3.如图所示的韦恩图中, A, B 是非空集合,定义集合 A # B 为阴影部分表示的集合. 若 (

x, y ? R, A ? x | y ? 2 x ? x2 , B ? ? y | y ? 3x , x ? 0?
) B. ?x |1 ? x ? 2?

?

?

,



A#B



A. ?x | 0 ? x ? 2? C. x | 0 ? x ? 1或x ? 2

A

B

?

?

D. x | 0 ? x ? 1或x ? 2

?

?

4.已知点 A(1,2) ,B(3,4) ,C(—2,0) ,D(—3,3) ,则向量 AB 在向量 CD 上的投影为 ( ) A. ?

2 10 5

B. ?

10 5

C.

10 5

D.

2 10 5


5. 若函数 f ( x) ? e x cos x, 则此函数图象在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为 ( A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角

6. 已知各项为正数的等差数列 ?an ? 的前 20 项和为 100 ,那么 a7 ? a14 的最大值为 ( ) A.25
m n

B.50

C.100

D.不存在 ( )

7. 若 2 ? 4 ? 2 2 , 则点 (m, A.直线 x ? y ? 1 的左下方 C.直线 x ? 2 y ? 1 的左下方 8. ( ) A. (1 , 2) B. (0 , 1) 函 数

n) 必在
B.直线 x ? y ? 1 的右上方 D.直线 x ? 2 y ? 1 的右上方

f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

2 x

的 零 点 所 在 的 大 致 区 间 是

C. ( 2 , e )

D. (3, 4)

高三理科数学第 6 页(共 8 页)

9. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? ? (

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f ? 3? 的值 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 10.若函数 y=f(x)同时具有下列三个性质: (1)最小正周期为 π , (2)图象关于 直线 x ? ( )

?
3

对称; (3)在区间 [ ?

? ?

, ] 上是增函数,则 y=f(x)的解析式可以是 6 3
B. y ? cos( 2 x ?

A. y ? sin(

x ? ? ) 2 6

? ?
3

) )

C. y ? sin( 2 x ?

?

6

)

D. y ? cos( 2 x ?

6

11.设 a, b 是正实数,以下不等式:

1 (1)a ? ≥ 2 b



(2) 2( a 2 ? b 2 ) ≥ a ? b



(3) ab ≥

2ab a?b



(4)a ?| a ? b | ?b ,
其 A. (1) (2) 中 恒 B. (2) (3) 成 C. (3) (4) 立 的 ( D. (2) (4) ( ) ) 有

B A A 12.在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,那么 sin A cos2 (45? ? ) ? sin cos 2 2 2
A.有最大值

1 和最小值为 0 4

B.有最大值 D.有最大值

1 ,但无最小值 4 1 ,但无最小值 2

C.既无最大值,也无最小值

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在题中横线上。 13.已知函数 f ( x) = 2 x ? b , b ? R ,若

?

0 ?1

f ( x) dx ? 2 ,则 b =



14.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为 高三理科数学第 7 页(共 8 页)



? x ? y ? 1 ? 0, ? x?2 y 15.若实数 x, y满足? x ? y ? 0, 则z ? 3 的值域是 ? x ? 0, ?



3? 3? ? ? 16.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足条件 f ? x ? ? ? ? f ( x) , 且函数 y ? f ? x ? ? 2 4? ? ? ? 是奇函数,给出以下四个命题: ? 3 ? ①函数 f ( x) 是周期函数;②函数 f ( x) 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称; ? 4 ? ③函数 f ( x) 是偶函数;④函数 f ( x) 在 R 上是单调函数.

在上述四个命题中,正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小:

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

18.(本小题满分 12 分)

x ? a2 ? 2 x?2 ? 0} . ? 0} , B ? {x | 已知全集 U = R,非空集合 A ? {x | x?a x ? (3a ? 1)
(Ⅰ)当 a ?

1 时,求(?U B ) ? A ; 2

(Ⅱ)命题 p:x ? A ,命题 q:x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范 围. 高三理科数学第 8 页(共 8 页)

19(本题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ⊥ 底面 ABCD , 且 PA ? AD ? 2 , 点 M 、N 分别在侧棱 PD 、

PC 上,且 PM ? MD
(Ⅰ)求证: AM ⊥平面 PCD ;

(Ⅱ)若 PN ?

????

1 ???? NC ,求平面 AMN 与平面 PAB 的所成锐二面角的大小 2

20.(本小题满分 12 分) 某商店经销一种奥运纪念品,每件产品成本为 30 元,且每卖出一件产品,需向税务 2 ? a ? 5) 部门上交 a 元 ( a 为常数, 的税收, 设每件产品的日售价为 x 元 ( 35 ? x ? 41 ) , 根据市场调查,日销售量与 e ( e 为自然对数的底数)成反比,已知每件产品的日售价 为 40 元,日销售量为 10 件。 (1)求商店的日利润 L ? x ? 元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式;
x

(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润 L ? x ? 最大,说明理由。 21. (本小题满分 12 分) 1 1 已知数列{a n }是首项为 a1 ? , 公比 q ? 的等比数列 , 4 4 设 {cn }满足cn ? an ? bn , 数列 。 (1)求证:

bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *)
4

{bn } 是等差数列; {cn } 的前 n 项和 Sn;
1 2 m ? m ? 1对 4 高三理科数学第 9 页(共 8 页)

(2)求数列

cn ?

(3)若 22. (本小题满分 12 分)

一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。

已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 图象上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为

y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 .
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根, 求 m 的取值范围 (其中 e 为 自然对数的底数) ; (Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ,若 g ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0) , B( x2 ,0) ( 其中

1 e

x1 ? x2 ), AB 的中点为 C( x0 ,0) ,求证: g ( x) 在 x0 处的导数 g / ( x0 ) ? 0 .

高三理科数学寒假作业(三)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数 f ( x) ?

1 与 g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为分别为 M 、 N ,则 1? x

M ? N 等于
( ) A. {x x ? ?1} 2. ( ) A. ?x ? R 使得 sin x ? cos x ? 1.5 C. ?x ? R 使得 x ? x ? ?1
2

B. {x x ? 1} 列 命 题 中

C. {x ?1 ? x ? 1} 的 真 命
x

D. ? 题 是



B. ?x ? (0, ??), e ? x ? 1 D. ?x ? (0, ? ),sin x ? cos x

3. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中总成立的是 高三理科数学第 10 页(共 8 页)



) A.a ?

1 1 ?b? b a

B.a ?

1 1 ?b? a b

b b ?1 C. ? a a ?1

2a ? b a D. ? a ? 2b b

4.如图, 定圆半径为 a 、 圆心为 (b, c ) , 则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的 交点在 ( )

A. 第四象限

B. 第三象限

C.第二象限

D.第一象限

5. 若 函 数 f ( x) ? e x cos x, 则 此 函 数 图 象 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 ( ) A.0 6. 证明 1 ? 左 ( 端 ) A. 1 项 B. k ? 1 项 C. k 项 D. 2 项
k

B.锐角

C.直角

D.钝角

1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? n ? ?n ? N* ? , 假设 n ? k 时成立, 当 n ? k ? 1 时, 2 3 4 2 ?1 2
增 加 的 项 数 是

7. 若 一 个 圆 台 的 的 正 视 图 如 图 所 示 , 则 其 侧 .面 .积 .等 于 ( ) A.6 B. 6?

C. 3 5?

D. 6 5?
第 7 题

3 图 AB 等于( 8. 在 △ ABC 中,若 tan A ? , C ? 120 ? ,BC ? 2 3 ,则边长 4
A.3 9. 双曲线 ( ) A. 3 B.2 C. 3 D. 6 B.4 C.5 D.6



x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r 等于 6 3

高三理科数学第 11 页(共 8 页)

10. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ( ) A.关于点 ( C.关于点 (

?
4

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象

? ?
4

, 0) 对称 , 0) 对称

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

? ?
8 4

对称 对称

8

11. 如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为 a1 和

a2 ,半焦距分别为 c1 和 c2 .则下列结论不正确的是
( ) A. a1 ? c1 ? a2 ? c2 C. a1c2 ? a2c1 B. a1 ? c1 ? a2 ? c2 D. a1c2 ? a2c1

12. 设 F ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? R , [?? , ? ] 是函数 F ( x ) 的单调递增区间,将 2

?

? 则 G ( x ) 的一个单调 F ( x) 的图象按向量 a ? (? ,0) 平移得到一个新的函数 G ( x) 的图 象,
递减区间是 A.[ ( B.[? , )

3? , 2? ] 2

3? ] 2

C.[

?
2

,? ]

D.[?

?
2

, 0]

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则

?

?

? ?

?

??

. .

14. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ?
?x ? y ≤ 2 ? 15. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 10 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?x ≥ 3 ?

.

16. 已 知 动 点 P( x, y ) 在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 上 , 若 A 点 坐 标 为 (3,0), | AM |? 1, 且 25 16
.

PM ? AM ? 0 ,则 | PM | 的最小值是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过 高三理科数学第 12 页(共 8 页)

程. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 sin A ?

2 , 2

sin B ?

(Ⅰ)求 sin( A ? B) 的值; (Ⅱ)若 a ? b ? 2 ? 2 ,求 a, b, c 的值. 18. (本小题满分 12 分)

1 . 2

1 ≤ 2? x ≤ 4}, B ? {x | ( x ? m ? 1)( x ? 2m ? 1) ? 0} . 32 A ? Z (Ⅰ)求 ;
设集合 A ? {x | (Ⅱ)若 A ? B ,求 m 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题 . 规定 正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛 的 概率分别是

3 1 1 , , ,且各阶段通过与否相互独立. 4 2 4

(I)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (II)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ? ,求 ? 的分布列、数学期望和方差. 20. (本小题满分 12 分) 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中 , ?ADC ? 90? , CD / / AB , AB ? 4, AD ? CD ? 2 , M 为线段 AB 的中点 . 将 ?ADC 沿 AC 折起 , 使平面 ADC ? 平面 ABC , 得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (Ⅰ) 求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ) 求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.

高三理科数学第 13 页(共 8 页)

21. (本小题满分 12 分) 已知点 A(2,0), B(?2,0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 斜率之积为 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线

3 . 4

1 2

MA 的斜率 k 的取值范围.
22. (本小题满分 12 分) 对于正整数 k , 用 g (k ) 表示 k 的最大奇因数, 如:g (1) ? 1, g (2) ? 1, g (3) ? 3 , ??. 记 an ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? ?? g (2n ) ,其中 n 是正整数. (I)写出 a1 , a2 , a3 ,并归纳猜想 an 与 an ?1 (n ≥ 2, n ?N)的关系式; (II)证明(I)的结论; (Ⅲ)求 an 的表达式.

高三理科数学寒假作业(四)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

A?? UB ? 1. 设 U ? R ,A ? {x | x ? 0} ,B ? {x | x ? 1} , 则
A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0}

( D. {x | x ? 1}

)

2 . 已 知 a , b 是 实 数 , 则 “ a ? 0 且 b ? 0 ” 是 “ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ” 的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则

? a ? c? ? ?b ? c? 的最小值为

(

)

高三理科数学第 14 页(共 8 页)

(A) ?2

(B) 2 ? 2

(C) ?1

(D) 1 ? 2

4. 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 小值为 ( ) (A)

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最 ? 3 ?

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

5. 在三棱柱 的 ( 中 ) A. 30 6. (
?

ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C






AD







BB1C1C















B. 45 y=x+1

?

C. 60

?

D. 90

?

已 知 直 线

与 曲 线 y ? ln( x ? a) 相 切 , 则 α 的 值 为

) (A)1

(B)2

(C) -1

(D)-2

7.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长 构 成 三 角 形 , 则 它 的 边 与 半 径 为 1 的 圆 的 公 共 点 个 数 最 多 为 ( ) A. 3

B.4

C. 5

D. 6

8 . 已 知 a 是 实 数 , 则 函 数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的 图 象 不 可 能 是 ( )

高三理科数学第 15 页(共 8 页)

x2 y 2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双 a b
曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 B,C . 若 AB ? ( ) A 2 10. 对于正实数 ? , 记 B. 3 C. 5 D. 10

?

1 ? BC , 则 双 曲 线 的 离 心 率 是 2

M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合:?x1 , x2 ? R 且

x2 ? x1 , 有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) . 下 列 结 论 中 正 确 的 是
( ) A.若 B.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 C.若
D.若 11. ( ) A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2
曲 线

y?

x 2x ?1





?1,1?







线







12. 若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后,与函数 4?
( )

?? ? 则 ? 的最小值为 y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合, 6? ?
A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

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13.设等比数列

{an } 的公比 q= 1 ,前 n 项和为 ,则 S 4 Sn 2 A4



14. 若某几何体的三视图 (单位:cm ) 如图所示, 则此几何体的体积是

cm3 .

? x ? y ? 2, ? 15.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
16.已知数列



{an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则 a2009 ? ________;

a2014 =_________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
18. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 , 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式; n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 ,求 a 的取值范围,
2

高三理科数学第 17 页(共 8 页)

并讨论 f ? x ? 的单调性; 20. (本小题满分 12 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分 别为 PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 . (I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ;

(II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE . 21. (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A(1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 22. (本题满分 12 分) 2 g ( x) ? k x ? kx ? 1 ,其中 k ? R . 已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5x ? 2 , 0 0 (0,3) 上不单调,求 k 的取值范围; (I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 9 0 4 2 ? g ( x), x ? 0, x1 ,存在惟一 3 (II)设函数 q( x) ? ? 是否存在 k ,对任意给定的非零实数
3 2 2 2 2

3 ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 2

? f ( x), x ? 0.

的非零实数

x2 ( x2 ? x1 ) q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 2 k 的值;若不存 ,使得
0 0 9 0 高三理科数学第 18 页(共 8 页) 4 2 3 2 0

在,请说明理由.



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