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甘肃省西北师大附中2012届高三第一学期期中考试试题



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2011-2012 学年第一学期高三年级期中考试试题 数学(文科)
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 P ? {x| x2 ? 1} ,那么集合

P 的真子集个数是 ( A.3 B.4 C.7 D.8 2. 下列表示图形中的阴影部分的是( )[来源:.com] A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C ) A B

C 3. 函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在 [0, ??) 上单调递增, 则下列各式成立的是( ) A. f (?2) ? f (0) ? f (1) B. f (?2) ? f (?1) ? f (0) C. f (1) ? f (0) ? f (?2) D. f (1) ? f (?2) ? f (0) 4 . 某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t,离开家里的路程为 d,下面图形中,能反映该同学行程的图像是( ) d d d d

O A.

t B.
x

O

t

O C.

t D.

O

t

5.已知函数 y ? 2 和y ? ( ) ,则它们的反函数的图象
x

A.关于直线 y ? x 对称 C.关于 y 轴对称

1 2





B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称
2

6. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =

(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

7.

公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则
( (99 99999 (

S10 等于
A. 18

B. 24

C. 60

D. 90

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8. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3, 且 x ? ( ?

3 , 0)时, 2

f ( x) ? log2 (?3x ? 1), 则 f (2011) ? (
A.4 B.2 C.



-2

D. log 2 7

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9. 得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10





A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

q ? 10.设 p : f ( x) ? x3 ? 2x2 ? mx ? 1 在 (??, ?) 内单调递增, : m ≥
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 11. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ). y y

4 , p 是q的 则 ( 3



y?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y 1 O 1 x 1 O1

y

1 x O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

12. 数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 1, 并且 ( A. )

an ?1 ? an an ? an ?1 ? (n ? 2) 。则数列的第 100 项为 an ? an ?1 an ? an ?1
1 100

1 2100

B.

1 2 50

C.

D.

1 50

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13.若函数 y ?| 2 ? 1| ,在 (??, m] 上单调递减,则 m 的取值范围是
x 2 14.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 x ? xf ?(2) ,则 f ?(5) =

; .

1 ? ?( 3 ? a ) x ? a , x ? 1 15. 已知 f ( x ) ? ? 是 (??, ??) 上的增函数,那么实数 a 的取值范围是 2 ?loga x , x ? 1 ?

_______________; 16.设 a ? 0, a ? 1,函数f ( x) ? a 为 .
x2 ? x?1

有 最 大 值 , 则 不 等 式 loga ( x ? 1) ? 0 的 解 集

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三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99, Sn 表 示 ?an ? 的前 n 项和,问 n 取什么值

sn 最大。

2 18. (本小题满分 14 分)已知 p : x ? A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R ,

?

?

q : x ? B ? ? x | x 2 ? 2mx ? m 2 ? 9 ? 0, x ? R, m ? R?
(1)若 A ? B ? ? 2,3? ,求实数 m 的值; (2)若 p 是 ?q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) a n }、 bn }都是各项为正的数列, { { 对任意的 n ? N , 都有 a n 、 n 、 b
2
?

a n ?1 成等差数列, bn 、 a n ?1 、 bn?1 成等比数列.
(1) 试问{ bn }是否为等差数列,为什么? (2) 如 a1 =1, b1 = 2 ,求 S n ?

2

2

1 1 1 ? ??? ; a1 a 2 an
(a>0), 且方程 f (x)
'

2 20. (本小题满分 14 分) 设函数 f (x)=错误! 未找到引用源。 +bx +cx+d x3

-9x=0 的两个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f (x)过原点时,求 f (x)的解析式; (2)若 f (x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 21. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a, b为实数), x ? R,

? f ( x)( x ? 0), F ( x) ? ? ?? f ( x)( x ? 0).
(1)若不等式 f ( x) ? 4 的解集为 {x | x ? ?3 或 x ? 1} ,求 F (x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下, 当 x ? [?1, 1] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数, 求实数 k 的取值 范围; (3)设 m ? n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f (x ) 为偶函数, 判断 F (m ) + F (n) 能否大于零?

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答案
1.A 2.A 3.B 14. 16 4.C 15. 5.B 6.B 7.C 16. 8.C 9.C 10.C 11.A 12.D

13. m ? 0

[2,3)

?x1 ? x ? 2?

17.[解析]:由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即

?an ? 0 得 n ? 20 。 a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? an ?1 ? 0 ?
18. (1) A ? ?x | ?1 ? x ? 3, x ? R? , B ? ?x | m ? 3 ? x ? m ? 3, x ? R, m ? R? ,

? A ? B ? ?1,3?

?m?4

(2) ? p 是 ?q 的充分条件,

? A ? ?R B , ? m ? 6或m ? ?4.
19. (1)依题意 ? ?
2 ?a n ? a n ?1 ? 2bn 2 ?a n ?1 ?

(1) (2)

?

2 bn

2 ? bn ?1

∴ bn ?1 ? bn ?1 ? 2bn ( n ? 1)

∴{ b n }为等差数列
2 (n ? 1) 2

(2)由 a1 ? 1 , b1 ? 2 ,求得 bn ? ∴ a n ? n(n ? 1)
1 2

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ??? ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? )? a1 a 2 an 2 2 3 n n ?1 n ?1

20. 解:由 f(x)=错误!未找到引用源。x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c.? 因为 f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两个根分别为 1,4,? 所以错误!未找到引用源。(*)? (1)当 a=3 时,由(*)式得错误!未找到引用源。 解得 b=-3,c=12.? 又因为曲线 y=f(x)过原点,所以 d=0.? 故 f(x)=x3-3x2+12x.? (2)由于 a>0,所以“f(x)=错误!未找到引用源。x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等 价于“f′(x)=ax2+2bx+ c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立”.? 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a.? 又Δ =(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),? 解错误!未找到引用源。得 a∈[1,9],? 即 a 的取值范围是[1,9]. 21. (1) 由已知不等式 ax ? bx ? 3 ? 0 的解集为 {x | x ? ? 3 或 x ? 1} ,故 a ? 0, 且方程
2

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? a ? 0, ? b ? ? ? ?2, 2 ax ? bx ? 3 ? 0 的两根为 ?3,1 ,由韦达定理,得 ? a 解得 a ? 1, b ? 2. 因此, ? 3 ? ? ? ?3. ? a
?( x ? 1) 2 ( x ? 0) ? F ( x) ? ? 2 ?? ( x ? 1) ( x ? 0) ?
(2) 则 g ( x)

? f ( x) ? kx ? x 2 ? 2x ? 1 ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1

2?k 2 (2 ? k ) 2 , ) ?1? 2 4 k ?2 k ?2 ? 1或 当 ? ?1 时, 即 k ? 4 或 k ? 0 时, g( x ) 是单调函数. 2 2 ? (x ?
(3) ∵

? 2 f (x) 是偶函数∴ f ( x) ? ax2 ? 1, F ( x) ? ?ax ? 1 ( x ? 0) ? 2

∵m?n

? 0, 设 m ? n , 则 n ? 0 .又 m ? n ? 0, m ? ?n ? 0,
2 2 2

?? ax ? 1 ( x ? 0) ?

, ∴ | m | ? | ?n
2

|

F (m) + F (n) ? f (m) ? f (n) ? (am ? 1) ? an ? 1 ? a(m ? n ) ? 0 , ∴ F( m ) + F( n ) 能大于零.

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