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2014高考数学二轮高强优化课件:等差数列、等比数列选择、填空题型



第一讲

等差数列、等比数列?选择、填空题型?

考点 等差数列的性质与基本量

考情

1.对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内 容,主要考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组 求解,属于低档题,如2013年新课标全国卷ⅡT3等. 等比数列的性质与基本量 2.对等差数列与等比数列性质的考查是

热点,具 有“新、巧、活”的特点,考查利用性质解决有关的 等差数列的通项与求和 计算问题,属中低档题. 3.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的 等比数列的通项与求和 热点,根据an与Sn的关系求通项公式以及利用构造或 等差、等比数列的综合问题 转化的方法求通项公式也是常考的热点. 4.数列的求和问题,多以考查等差、等比数列的 数列的递推公式 前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主.

1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn.已 知S3 = a2 +10a1 ,a5=9,则a1= 1 A.3 1 C.9 1 B.-3 1 D.-9 ( )

a1?1-q3? 解析:由题知q≠1,则S3= =a1q+10a1,得 1-q 1 q =9,又a5=a1q =9,则a1=9.
2 4

答案:C

2.(2013· 辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的 四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为 A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 ( )

D.p1,p4

解析:设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1 为真命题;若an=3n-12,则满足已知,但nan=3n2-12n并非 an 递增数列,所以p2为假命题;若an=n+1,则满足已知,但 n 1 =1+ n 是递减数列,所以p3为假命题;设an+3nd=4dn+a1- d,它是递增数列,所以p4为真命题.

答案:D

3.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm
-1

=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= B.4 C.5 D.6

(

)

A.3

解析:由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1= 2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为d=am+1-am ?am=a1+?m-1?d=2, ? =3-2=1,由? m?a1+am? =0, ?Sm= 2 ? ?a1+m-1=2, ? 得?m?a1+2? =0, ? 2 ?
?a1=-2, ? 解得? ?m=5. ?

答案:C

4.(2013· 福建模拟)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1 +am(n - 1) + 2 +?+am(n - 1) + m ,cn =am(n - 1) + 1·m(n - 1) + 2· am(n - 1) + a ?· (m,n∈N*),则以下结论一定正确的是 m A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm
2

(

)

D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm

解析:等比数列{an}的通项公式 an=a1qn 1,所以 cn=am(n-1)+ ·m(n-1)+2· am(n-1)+m=a1qm(n-1)·1qm(n-1)+1· a1qm(n-1)+m-1= ?· a ?· 1a amq 1
m(n-1)+m(n-1)+1+?+m(n-1)+m-1



=amqm 1

2(n-1)+

( m ?1)(1? m ?1) 2

=amqm 1

2 (n

-1)+

( m ?1) m 2

cn+1 ,因为 c = n

m nm2 a1 q + m a1 q

( m ?1) m 2 2

m2?n-1?+

m ,所以数列{cn}为 ( m ?1) m =q

2

m2 . 等比数列,公比为 q

答案: C

1 5. (2013· 湖南高考)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, n=(-1) an-2n, S
n

n∈N*,则 (1)a3=________; (2)S1+S2+?+S100=________.
1 1 解析:(1)当 n=1 时,S1=(-1)a1-2,得 a1=-4. 1 1 当 n≥2 时,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)-2n.当 n 为偶数时,Sn-1=-2n, 1 1 1 1 当 n 为奇数时,Sn=2Sn-1- n+1,从而 S1=-4,S3=-16,又由 2 1 1 1 1 S3=2S2-24=-16,得 S2=0,则 S3=S2+a3=a3=-16.

1 1 1 1 (2)由(1)得 S1+S3+S5+?+S99=-22-24-26-?-2100, 101 S 1 =-2102, 1 1 又 S2+S4+S6+?+S100=2S3+23+2S5+25+2S7+
? 1 1 1? 1 ? -1?. 27+?+2S101+2101=0,故 S1+S2+?+S100=3?2100 ?

1 答案:(1)-16

? 1? 1 (2)3?2100-1? ? ?

1.等差、等比数列的通项及前n项和公式

等差数列

等比数列

通项公式

an=a1+(n-1)d
n?a1+an? Sn= 2

an=a1qn-1(q≠0)
(1)q≠1,Sn= a1?1-qn? a1-anq = ; 1-q 1-q (2)q=1,Sn=na1

前n项和

n?n-1? =na1+ 2 d

2.等差数列、等比数列的性质

等差数列
(1)若m,n,p,q∈N , 且m+n=p+q,则
*

等比数列
(1)若m,n,p,q∈N*, 且m+n=p+q,则am·n a =ap·q; a (2)an=amqn
-m

性质

am+an=ap+aq; (2)an=am+(n-m)d; (3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,?仍成等差数列



(3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,?仍成等比数列 (Sn≠0)

数列通项an与前n项和Sn的关系
[例1] (1)(2013· 潍坊模拟)数列{an}的前n项和为Sn,若a1= ( C.3×24 D.3×24+1 )

1,an+1=2Sn+1(n≥1),则a6= A.35 B.35+1

2 1 (2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=3an+3, 则{an}的通项公式是an=________.

[自主解答]

(1)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2),两

式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,即an+1=3an(n≥2),故该 数列从第二项起构成一个公比为3的等比数列. 由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1=2a1+1=3, 故a6=a2×34=3×34=35. 2 1 2 1 (2)当n=1时,由已知Sn= 3 an+ 3 ,得a1= 3 a1+ 3 ,即a1=1; 2 1 当n≥2时,由已知得到Sn-1= 3 an-1+ 3 ,所以an=Sn-Sn-1= ?2 1? ?2 1? 2 2 ? an+ ? - ? an-1+ ? = an- an-1,所以an=-2an-1,所以数列 3? ?3 3? 3 3 ?3 {an}是以1为首项,以-2为公比的等比数列,所以an=(-2)n-1.

[答案]

(1)A

(2)(-2)n

-1

——————————规律· 总结———————————— 已知 Sn 与 an 的关系式求 an 的方法

数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an =
?S1,n=1,? ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1

的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示. ————————————————————————

1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n-1,则a1+a3+a5+?+ a25=________.
解析:当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]= 2n+1,而当n=1时,2n+1=3≠2,所以a1不适合上式.
?2,n=1,? ? 综上可知,数列{an}的通项公式为an=? ?2n+1,n≥2. ?

3+51 所以a1+a3+a5+?+a25=(a1+1)+a3+a5+?+a25-1= 2 ×13-1=350.

答案:350

?an+1?2 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= (an>0),则{an} 4 的通项an=________.

?an+1?2 解析:法一:因为Sn= 4 , ?an+1+1?2 ?an+1?2 1 2 所以an+1=Sn+1-Sn= - 4 = 4 (a n+1-a 2 +2an+ n 4
1-2an), 2 即4an+1=an+1-a2 +2an+1-2an, n

整理得2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an),

即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. 因为an>0,所以an+1+an>0,所以an+1-an-2=0,即an+1-an=2. ?a1+1?2 ?a1+1?2 而当n=1时,有S1= 4 ,即a1= 4 , 整理得a2-2a1+1=0,解得a1=1; 1 ?a1+1?2 ?a2+1?2 当n=2时,有S2= 4 ,即a1+a2= 4 ,整理得a2-2a2-3 2 =0,又an>0,所以解得a2=3.由于a2-a1=2, 所以数列{an}是一个首项a1=1,公差d=2的等差数列,其通项公 式为an=1+2(n-1)=2n-1.

法二:因为an>0,所以an+1>0,Sn>0, ?an+1?2 an+1 由Sn= 4 ,得 2 = Sn. a1+1 当n=1时,有 2 = a1,解得a1=1. 当n≥2时,有an=Sn-Sn-1, 故由上式得2 Sn=an+1=Sn-Sn-1+1, 即( Sn- Sn-1-1)( Sn+ Sn-1-1)=0. 因为an>0,a1=S1=1,所以 Sn+ Sn-1>1,

即 Sn+ Sn-1-1>0, 故由上式得 Sn- Sn-1-1=0, 所以数列{ Sn }是一个首项为 S1 =1,公差为1的等差数列,其 通项公式为 Sn=n. an+1 由 2 = Sn,得an=2 Sn-1=2n-1. 显然,当n=1时,也适合上式. 综上可知,数列{an}的通项公式为an=2n-1.

答案:2n-1

等差、等比数列的基本运算
[例2] (1)(2013· 深圳模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若 ( D.5 )

a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k= A.8 B.7 C.6

(2)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且
?1? 9S3=S6,则数列?a ?的前5项和为 ? n?

( 85 D. 2

)

85 A.32

31 B.16

15 C. 8

[自主解答] ?k+2??k+1? 2

(1)法一:由题意,Sk+2=(k+2)a1+ d=k+2+(k+2)(k+1)=(k+2)2,Sk=ka1+

k?k-1? d=k+k(k-1)=k2, 2 故Sk+2-Sk=(k+2)2-k2=4k+4=24,解得k=5. 法二:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2ak+1+d=2(a1+kd)+d=2(1 +2k)+2=24,解得k=5.

(2)设等比数列{an}的公比为q. ∵9S3=S6,∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2. ∴an=2
n-1

1 ?1?n-1 ,∴a =?2? , ? ? n

?1? 1 ? ?是首项为1,公比为 的等比数列, ∴数列 a 2 ? n? ?1? 故数列?a ?的前5项和为 ? n? ? ?1?5? 1×?1-?2? ? ? ? ? ?

1 1-2

31 =16.

[答案]

(1)D

(2)B

互动探究
将本例(1)中的条件“a1=1,d=2,Sk+ 2-Sk=24”改为 a4 1 “ = ,S7-S4=15”,求 Sn 的最小值. S4 12
解 : 记 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 依 题 意 有
?4a +15d=0,? ? 1 ? ?a1+5d=5, ?

由此解得 a1=-15,d=4,an=4n-19,

? n?a1+an? 17?2 172 Sn= =2n2-17n=2?n- 4 ? - , 因此当 n=4 时, 2 8 ? ? Sn 取得最小值 S4=2×42-17×4=-36.

——————————规律· 总结————————————

方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、 d(或q)、n、an与Sn这五个量,如果已知其中的三个,就可以 求其余的两个.其中a1和d(或q)是两个基本量,所以等差数列 与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后 根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程 组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. ————————————————————————

3.在正项等比数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且-a3,a2, a4成等差数列,则S7的值为 A.125 B.126 C.127 ( )

D.128

a4 解析:设数列{an}的公比为q,依题意得2a2=-a3+a4, a - 2 a3 -2=0,即q2-q-2=0,(q+1)(q-2)=0,又q>0.因此q a2 1×?1-27? =2,S7= =127. 1-2

答案:C

4. 设数列{an}是首项为 1

? ? 1 ? ? ? 的等比数列, 2a +a ?是等差数列, 若 ? n n+1? ? ?

? 1 ? 1 1? ? 1 1? 1 ? 则?2a +a ?+?2a +a ?+?+?2a +a ?的值等于 ? 1 ? 2 ? 2 012 2? 3? 2 013?

( A.2 012 C.3 018 B.2 013 D.3 019

)

解析:据题意an=q

n-1

1 1 , = n-1 .若数列 2an+an+1 ?2+q?q

? ? 1 ? ? 1 1 ? ? 为等差数列,由定义可得 - ? ? 2an+an+1 2an-1+an ?2an+an+1?

1-q 1 1 = - = 为定值,故必有q= ?2+q?qn-1 ?2+q?qn-2 ?2+q?qn-1 1,故an=1,因此
?1 ? 012×?2+1?=3 ? ? ? 1 1? ? +a ? ?2a1 2?

+?+

? 1 1 ? ? +a ? ?2a2 012 2 013?

=2

018.

答案:C

等差数列、等比数列的性质
[例3] (1)(2013· 乌鲁木齐模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn, ( B.S7是常数 D.S13是常数 )

且满足S4+a25=5,则一定有 A.a6是常数 C.a13是常数

(2)(2013· 合肥模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈ N*)且a2+a4+a6=9,则log 1 (a5+a7+a9)的值是
3

( 1 D.5

)

A.-5

1 B.-5

C.5

[自主解答]

(1)由S4+a25=5?

? 4×3 ? ? ? ?4a1+ 2 d? ? ?

+(a1+24d)=

?a1+a13?×13 5?a1+6d=1?a7=1?S13= =13a7=13. 2 (2)由log3an+1=log3an+1(n∈N*),得an+1=3an,所以数列 {an}是公比等于3的等比数列, a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, 所以log 1 (a5+a7+a9)=-log335=-5.
3

[答案]

(1)D

(2)A

——————————规律· 总结————————————
巧用等差(比)中项变形 等差数列与等比数列的性质应用问题中,等差中项与等比中项是 非常重要的,主要体现在两个方面: (1)等差(比)中项在解决项的计算问题中的应用.将两项之和(或积) 直接转化为数列中的某一项,在等差数列{an}中,有an-k+an+k=2an, 在等比数列{bn}中,有bn-k·n+k=b2 ; b n (2)等差中项在等差数列求和公式中的应用.在等差数列{an}中, n?a1+an? 如n=2k+1(k∈N ),则a1+an=2ak+1,所以Sn= =nak+1. 2
*

————————————————————————

1 5.已知{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a3a5= 4 a1,且a4 9 与a7的等差中项为8,则S5等于 A.35 B.33 C.31 ( D.29 )

1 2 6 解析:设等比数列{an}的公比是q,则a3a5=a 1 q = a1,得a1q6= 4 1 1 9 a7 1 1 3 4,即a7=4.又a4+a7=2×8,解得a4=2.所以q =a4=8,q=2, a1?1-q5? a1=16.故S5= = 1-q
? 1? 16?1-32? ? ?

1 1-2

=31.

答案:C

6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-a7<a1<-a8,则必定有 ( A.S7>0,且S8<0 C.S7>0,且S8>0 B.S7<0,且S8>0 D.S7<0,且S8<0 )

解析:由已知可得a1+a7>0,a1+a8<0,由求和公式易得S7= 7?a1+a7? 8?a1+a8? >0,S8= <0. 2 2

答案:A

7.已知在各项为正的数列{an}中 ,a1=1,a2=2,log2an+1+ log2an=n(n∈N*),则a1+a2+?+a2 013-21 008=________.
an+2·n+1 2n 1 a an+2 n 解析:依题意得 an+1·n=2 ,则 a = n =2,即 a =2,因 2 an+1·n a n 此数列 a1,a3,a5,?,a2 013 是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比 1×?1-21 007? 数列,a1+a3+a5+?+a2 013= =21 007-1;数列 a2, 1-2 a4,a6,?,a2
012 是以


a2=2 为首项,2 为公比的等比数列,a2+
007

2×?1-21 006? a4+a6+?+a2 012= =21 1-2

-2.所以 a1+a2+?+a2

1 008 =(21 007-1)+(21 007-2)-21 008=-3. 013-2

答案:-3

课题12 [典例]

累加(乘)法求通项公式

(2013· 安徽高考)如图,互

不相同的点A1,A2,?,An,?和 B1,B2,?,Bn,?分别在角O的两条 边上,所有AnBn相互平行,且所有梯 形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2= 2,则数列{an}的通项公式是________.

[考题揭秘]

本题主要考查由数列递推公式求通项的方法,

考查考生的逻辑推理能力、归纳推理能力以及运算求解能力. [审题过程] 第一步:审条件.(1)所有AnBn平行;(2)所有

梯形AnBnBn+1An+1的面积相等;(3)OAn=an,a1=1,a2=2. 第二步:审结论.求{an}的通项公式. 第三步:建联系.由于图中所有AnBn都互相平行,所以图 中三角形均相似,可利用相似三角形的面积之比等于相似比的 平方建立an与an-1的关系.

[规范解答]

令 S△OA1B1=m(m>0),因为所有 AnBn 平行且

a1=1,2=2, a 所以 S 梯形 AnBnBn+1An+1=S 梯形 A1B1B2A2=3m.当 n≥2 an OAn 时, = = an-1 OAn-1 故 3n-5 m+?n-1?×3m = m+?n-2?×3m 3n-8 3n-2 ,① 3n-5 3n-8 2 a-, 3n-11 n 3

3n-2 2 3n-5 2 2 2 2 an= an-1,an-1= an-2,an-2=

?? 4 2 2 a2= a1,????????????????????② 1 以上各式累乘可得:a2 =(3n-2)a2.?????????③ n 1 因为 a1=1,所以 an= 3n-2.??????????? ④ [答案] an= 3n-2

[模型归纳] 利用累加(乘)法解决由递推公式求通项问题的模型示意图如下:

[变式训练]
1.已知数列{an}满足:a1=1,(n-1)an=n×2nan-1(n∈N*, n≥2),则数列{an}的通项公式为______.
解析:当n≥2时,有(n-1)an=n×2nan-1, an n 故 = ×2n, an-1 n-1 an-1 n-1 n-1 则有 = ×2 , an-2 n-2 an-2 n-2 n-2 = ×2 ,?? an-3 n-3 a2 2 2 a1=1×2 ,

an 上述n-1个式子累乘,得 a = 1 ×
?n-2 ? ? n-2? ?n-3×2 ? ? ?
n n-1

? n ? n? ? ?n-1×2 ? ? ?

×

?n-1 ? ? n-1? ?n-2×2 ? ? ?

×?×

?2 ? 2 ? ×2 ? ?1 ?
2



? n n-1 n-2 2? ? × × ×?×1? ?n-1 n-2 n-3 ? ? ?

×(2 ×2

×2

n-2

×?×2 )=n×2

n+(n-1)+(n-2)+?+2

=n×2

(n?1)n? 2) ( 2

.

当n=1时,a1=1×20=1,也满足上式. 故数列{an}的通项公式为an=n×2
(n?1)n? 2) ( 2

.

答案:an=n· 2

(n?1)n? ( )2 2

2.已知数列{an}中,a1=2,an+1-1=an+2n,则数列{an}的通 项公式为______.
解析:因为an+1-1=an+2n, 所以an=an-1+2n-1,即an-an-1=2n-1, an-1-an-2=2(n-1)-1, an-2-an-3=2(n-2)-1, ?? a2-a1=2×2-1, 将以上各式相加,

得an-a1=(2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+?+(2×2-1) =[2n+2(n-1)+2(n-2)+…+2× 2]-(n-1) ?n-1??2n+4? = -n+1=(n-1)(n+2)-n+1=n2-1. 2 又因为a1=2,所以an=n2-1+a1=n2+1.

答案:an=n2+1



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