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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第10章 第5节 古典概型与几何概型



第十章

第五节

一、选择题 1.已知 α、β、γ 是不重合平面,a、b 是不重合的直线,下列说法正确的是( A.“若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α”是随机事件 B.“若 a∥b,a?α,则 b∥α”是必然事件 C.“若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β”是必然事件 D.“若 a⊥α,a∩b=P,则 b⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析]
? ? a∥b? a∥b? ??b⊥α,故 A 错; ??b∥α 或 b?α,故 B 错;当 α⊥γ,β⊥γ 时,α a⊥α? a?α? ? ?

)

与 β 可能平行,也可能相交(包括垂直),故 C 错;如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直 线必平行,故 D 为真命题. 2.(文)(2013· 宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1、2、3、 4、5、6,将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率 为( ) A. 1 12 B. 1 18

1 C. 36 [答案] A

7 D. 108

[解析] 连续抛掷三次共有 63=216(种)情况,记三次点数分别为 a、b、c,则 a+c=2b, 所以 a+c 为偶数,则 a、c 的奇偶性相同,且 a、c 允许重复,一旦 a、c 确定,b 也唯一确定, 18 1 故 a,c 共有 2×32=18(种),所以所求概率为 = ,故选 A. 216 12 (理)(2013· 皖南八校联考)一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球, 如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( 1 A. 5 2 C. 5 [答案] C
2 C2 3+C2 2 [解析] P= = . 2 C5 5

)

B.

3 10

1 D. 2

3.(文)(2014· 河北衡水中学第五次调研)已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠ABC=150° ,若在

-1-

菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率为( π A. 4 π C. 8 [答案] D π B.1- 4 π D.1- 8

)

[解析] 如图,当点 P 落在图中阴影部分时,P 到菱形的四个顶点 A、B、C、D 的距离都 大于 1,

4×4×sin150° -π×12 π ∴P= =1- . 8 4×4×sin150° (理)(2014· 河北邯郸二模)甲、乙、丙 3 位教师安排在周一至周五中的 3 天值班,要求每人 值班 1 天且每天至多安排 1 人,则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( 1 A. 3 3 C. 4 [答案] A [解析] 第一种情况:甲安排在第一天,则有 A2 4=12 种;第二种情况:甲安排在第二天, 12+6+2 1 2 则有 A2 = . 3 3=6 种;第三种情况:甲安排在第三天,则有 A2=2 种,所以所求概率为 A5 3 4.(文)点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率 为( ) 1 A. 4 π C. 4 [答案] C [解析] 1 B. 2 D.π 2 B. 3 3 D. 5 )

-2-

由题意可知,当动点 P 位于扇形 ABD 内时,动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1,根据几何概 S扇形ABD π 型可知,动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为 = ,故选 C. S正方形ABCD 4 (理)(2013· 石家庄质检)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过 该圆的内接等边三角形的边长的概率为( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] C [解析] 如图,设圆的半径为 r,圆心为 O,AB 为圆的一条直径,CD 为垂直于 AB 的一 r 条弦,垂足为 M,若 CD 为圆内接正三角形的一条边,则 O 到 CD 的距离为 ,设 EF 为与 CD 2 r 平行且到圆心 O 距离为 的弦,交直径 AB 于点 N,所以当过 AB 上的点且垂直于 AB 的弦的长 2 r 1 度超过 CD 时,该点在线段 MN 上移动,所以所求概率 P= = ,选 C. 2r 2 ) 1 B. 3 D. 3 2

5.(2014· 石家庄市质检)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二 次方程 x2-x+a=0 无实根的概率为( 1 A. 2 3 C. 4 [答案] C [解析] 方程 x2-x+a=0 无实根,则 Δ=1-4a<0, 1 1- 4 3 1 ∴a> ,故所求概率 P= = . 4 1 4 6.(文)(2013· 湖南)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大 1 AD 边是 AB”发生的概率为 ,则 =( 2 AB 1 A. 2 C. 3 2 ) 1 B. 4 D. 7 4 ) 1 B. 4 2 D. 3

-3-

[答案] D [解析] 由题意知 AB>AD,如图,当点 P 与 E(或 F)重合时,△ABP 中,AB=BP(或 AP),当点 P 在 EF 上运动时,总有 AB>AP,AB>BP,由 1 题中事件发生的概率为 知,点 P 的分界点 E、F 恰好是边 CD 的四等分 2 3 AD 7 AD 7 点, 由勾股定理可得 AB2=AF2=( AB)2+AD2, 解得( )2= , 即 = , 4 AB 16 AB 4 故选 D. (理)(2013· 武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于 4 的概率为 ( ) 1 A. 8 1 C. 4 [答案] C [解析] 设这两个数分别为 x,y,则由条件知 0<x<2,0<y<2,y≥4x 或 x≥4y,则所求概率 1 1 2×? ×2× ? 2 2 1 P= = . 4 2×2 7 B. 8 3 D. 4

二、填空题 7.(2014· 银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a,b,则直线 ax-by=0 与圆(x- 2)2+y2=2 相交的概率为________. [答案] 5 12 |2a| < 2时,直线与圆相交,∴b>a, a2+b2

[解析] 圆心(2,0)到直线 ax-by=0 的距离 d=

15 5 满足 b>a 的共有 15 种情况, 因此直线 ax-by=0 与圆(x-2)2+y2=2 相交的概率为 P= = . 36 12 x2 y2 8.在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上 m n 的椭圆的概率是________.

-4-

[答案]

1 2

x2 y2 [解析] ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. m n

由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 P(m,n),求 P 点落在阴影部分的概率,易知直线 m =n 恰好将矩形平分, 1 ∴p= . 2 9.(文)在区间[-1,1]上随机取一个数 k,则直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概 率为________. [答案] 3 3 |2k| ≤1, k2+1

[解析] ∵直线与圆有公共点,∴

3 3 -?- ? 3 3 3 3 3 ∴- ≤k≤ .故所求概率为 P= = . 3 3 3 1-?-1? (理)(2013· 大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b,则 2b 方程 x=2 2a- 有不等实数根的概率为________. x [答案] 1 2

2b [解析] 方程 x=2 2a- 化为 x2-2 2ax+2b=0, x ∵方程有两个不等实根, ∴Δ=8a-8b>0,∴a>b, 1 如图可知,所求概率 P= . 2 三、解答题 10.(文)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m、n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. [解析] (1)有序数组(m,n)的所有可能结果为:

-5-

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4)共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0,即 n=(m-1)2 由于 m、n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1),(3,4),共 2 个.又基本事件的 2 1 总数为 16,故所求的概率为 P(A)= = . 16 8 (理)(2013· 北京东城区统一检测)袋内装有 6 个球,这些球依次被编号为 1、2、3、?、6, 设编号为 n 的球重 n2-6n+12(单位: g), 这些球等可能地从袋里取出(不受重量、 编号的影响). (1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率; (2)如果不放回地任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率. [解析] (1)若编号为 n 的球的重量大于其编号, 则 n2-6n+12>n,即 n2-7n+12>0. 解得 n<3,或 n>4. 所以 n=1,2,5,6. 4 2 所以从袋中任意取出一个球,其重量大于其编号的概率 P= = . 6 3 (2)不放回地任意取出 2 个球,这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序): 1,2;1,3;1,4;1,5;1,6; 2,3;2,4;2,5;2,6; 3,4;3,5;3,6; 4,5;4,6; 5,6. 共有 15 种. 设编号分别为 m 与 n(m,n∈{1,2,3,4,5,6},且 m≠n)的球的重量相等,则有 m2-6m+12 =n2-6n+12,即有(m-n)(m+n-6)=0. 所以 m=n(舍去),或 m+n=6. 满足 m+n=6 的情形为:1,5;2,4,共 2 种. 2 故所求事件的概率为 . 15

一、选择题 11.(文)(2014· 烟台模拟)在一个盒子中有编号为 1,2 的红色球 2 个,编号为 1,2 的白色球 2 个,现从盒子中摸出两个球,每个球摸到的概率相同,则摸出的两个球中既含有 2 种不同颜 色又含有 2 个不同编号的概率是( )

-6-

1 A. 6 1 C. 3 [答案] C

1 B. 4 1 D. 2

[解析] 设红色球为 A1,A2,白色球为 B1,B2,从中任取 2 个球,则所有不同的取法有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),共 6 种不同取法,其中颜色不 2 1 同且编号不同的情形有(A1,B2),(A2,B1)2 种,∴所求概率 P= = ,故选 C. 6 3 (理)(2014· 东营模拟)在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形 的概率为( 1 A. 5 1 C. 6 [答案] B [解析] 从 6 个顶点中任取 4 个顶点有 C4 6=15 种不同取法,其中能构成梯形的情形有 6 6 2 个,∴所求概率 P= = . 15 5 12 . (2013· 北京海淀期末 ) 一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有 “1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到 父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为( A. 1 12 ) B. 5 12 ) 2 B. 5 1 D. 8

7 C. 12 [答案] A

5 D. 6

[解析] 先从 4 个位置中选一个排 4, 再从剩下位置中选一个排 3, 所有可能的排法有 4×3 1 =12 种,满足要求的排法只有 1 种,∴所求概率为 P= . 12 13.(2014· 辽宁抚顺二中期中)在可行域内任取一点,其规则如流程图所示,则能输出数对 (x,y)的概率是( )

-7-

π A. 8 π C. 6 [答案] B

π B. 4 π D. 2

π [解析] 画出可行域如图所示,正方形内部面积为 2,圆内部面积为 ,由几何概型的概率 2 π 2 π 公式得 P= = . 2 4

14.(文)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA、OB 为直径作两个半圆,在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

2 A.1- π 2 C. π [答案] A

1 1 B. - 2 π 1 D. π

[分析] 在扇形 OAB 内随机取一点,此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题,关键 是求阴影部分的面积,如图设阴影部分两块的面积分别为 S1、S2,OA=R,则 S1=2(S -S△DOC),S2=S 扇形 OAB-S⊙D+S1.
扇形 DOC

-8-

[解析] 设图中阴影面积分别为 S1,S2,令 OA=R,

由图形知,S1=2(S 扇 ODC-S△ODC) R π·? ?2 2 2 2 1 R 2 πR -2R =2[ - · ( ) ]= , 4 2 2 8 S2=S 扇形 OAB-S⊙D+S1 πR2-2R2 πR2-2R2 1 R = πR2-π·( )2+ = , 4 2 8 8 πR2-2R2 4 S1+S2 2 ∴所求概率 P= = = 1- . 1 2 π S扇形OAB πR 4 [点评] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用 几何概型求解; 2. 利用几何概型求概率时, 关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算, 有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 6 (理)在区间(0,1)上任取两个数,则两个数之和小于 的概率是( 5 12 A. 25 17 C. 25 [答案] C 6 [解析] 设两数为 x、y,则 0<x<1,0<y<1,满足 x+y< 的点在图中阴影部分, 5 16 B. 25 18 D. 25 )

1 1 1- ×?1- ?2 2 5 17 ∴所求概率为 P= = ,故选 C . 1 25

-9-

二、填空题 15.(2013· 南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随机取一 个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 落在圆 x2+y2=9 内部的概率为________. [答案] 1 3

[解析] 点 P 的取法有 2×3=6 种, 点 P 在圆内部,则 m2+n2<9, ∴m=2,n=1 或 2. 2 1 ∴所求概率 P= = . 6 3 16 . (2014· 河 南 南 阳 三 联 ) 已 知 f(x) , g(x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g(x)≠0 , f?1? f?-1? 5 5 f ′(x)g(x)<f(x)g′(x), f(x)=axg(x), + = , 则关于 x 的方程 abx2+ 2x+ =0(b∈(0,1)) 2 g?1? g?-1? 2 有两个不同实根的概率为________. [答案] 2 5

f?x? [解析] ∵f(x)=axg(x),∴ =ax, g?x? ∵f ′(x)g(x)<f(x)g′(x),g(x)≠0, f?x? ∴( )′=(ax)′=axlna<0, g?x? 即 lna<0,∴0<a<1. 又 f?1? f?-1? 5 + = , g?1? g?-1? 2

1 5 1 ∴a+ = ,即 a= . a 2 2 5 ∵关于 x 的方程 abx2+ 2x+ =0(b∈(0,1))有两个不同实根, 2 2 ∴Δ=2-10ab=2-5b>0,即 0<b< , 5 2 5 2 故所求概率为 P= = . 1 5 三、解答题 17.(2014· 西北工业大学附中六模)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4}, 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b, 求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

- 10 -

x+y-8≤0, ? ? (2)设点(a,b)是在区域?x>0, 内随机选取的点,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞) ? ?y>0 上是增函数的是概率. 2b [解析] (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= , a 2b 要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,当且仅当 a>0 且 ≤1,即 2b≤a. a 若 a=1,则 b=-1;若 a=2,则 b=-1,1;若 a=3,则 b=-1,1. 5 1 ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5,∴所求事件的概率为 P= = . 15 3 (2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1, +∞)上为增函数, a+b-8≤0, ? ?? ? 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为??a,b???a>0, ?b>0 ?? ? 区域为三角形部分. a+b-8=0, ? ? 16 8 由? a 得交点坐标为( , ), 3 3 ? ?b=2, 1 8 ×8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 1 3 ×8×8 2 18.(文)盒子内装有 10 张卡片,分别写有 1~10 的 10 个整数,从盒子中任取 1 张卡片, 记下它的读数 x,然后放回盒子内,第二次再从盒子中任取 1 张卡片,记下它的读数 y.试求: (1)x+y 是 10 的倍数的概率; (2)xy 是 3 的倍数的概率. [解析] 先后取两次卡片, 每次都有 1~10 这 10 个结果, 故形成的数对(x, y)共有 100 个. (1)x+y 是 10 的倍数的数对包括以下 10 个:(1,9),(9,1),(2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6), (6,4),(5,5),(10,10). 10 故“x+y 是 10 的倍数”的概率为 P1= =0.1. 100 (2)xy 是 3 的倍数,只要 x 是 3 的倍数,或 y 是 3 的倍数,由于 x 是 3 的倍数且 y 不是 3 的倍数的数对有 21 个,而 x 不是 3 的倍数且 y 是 3 的倍数的数对有 21 个,x 是 3 的倍数且 y 也是 3 的倍数的数对有 9 个. 故 xy 是 3 的倍数的数对有 21+21+9=51(个). 51 故 xy 是 3 的倍数的概率为 P2= =0.51. 100
- 11 -

? ?构成所求事件的 ?

(理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小 球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概 1 率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球, 记第一次取出的小球标号为 a, 第二次取出的小 球标号为 b. ①设事件 A 表示“a+b=2”,求事件 A 的概率; ②在区间[0,2]内任取两个实数 x、y,求事件“x2+y2>(a-b)2 恒成立”的概率. n 1 [解析] (1)由题意可知: = ,解得 n=2. 1+1+n 2 (2)将标号为 2 的小球记作 a1,a2 ①两次不放回抽取小球的所有基本事件为:(0,1),(0,a1),(0,a2),(1,0),(1,a1),(1, a2),(a1,0),(a1,1),(a1,a2),(a2,0),(a2,1),(a2,a1),共 12 个, 事件 A 包含的基本事件为:(0,a1),(0,a2),(a1,0),(a2,0),共 4 个. 4 1 ∴P(A)= = . 12 3 ②记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成 平面中的点, 则全部结果所构成的区域 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件 B 所构成的区 域 B={(x,y)|x2+y2>4,x,y∈Ω}, SB 2×2-π π ∴P(B)= = =1- . SΩ 4 2×2

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